APPLICATIONS DES CENTRES DE GRAVITE
en Gi, G2, Gs, et on peut les supposer respectivement égaux à ceux-ci sans changer le point d'application de la résultante.
Supposons maintenant la pesanteur dirigée suivant les projetantes, dans le sens Âa pour la surface, et dans le sens aA pour sa projection ; les forces appliquées en Gi , ^ri ; Ga , <7a ; G3 , g-A , étant égales et directement opposées, ce système supposé appliqué à un corps solide est en équilibre ; donc la résultante des forces appliquées en g^, ^2 , gz est directement opposée à la résultante Gg des forces appliquées en Gi, Ga, G3. Le centre de gravité de abcde étant sur cette droite, est au pçint g où elle perce le plan P. ' C. Q. F. D.
S^il s'agit enfin d'une surface quelconque, on la considère comme limite d*un polygone inscrit dont les côtés tendent vers 0. On peut aussi appliquer le raisonnement précédent en considérant la surface quelconque comme limite d'une somme de triangles ou de rectangles, par exemple, qui tendent vers et dont le nombre croit indéfiniment.
Corollaire. — Les centres de gravité des sections d^une surface prismatique ou cylindrique sont tous sur une même droite parlailèle aux arêtes latérales ou aux génératrices.
Car ces centres de gravité, ayant tous pour projection sur une section droite le centre de gravité de celle-ci, sont tous sur une même projetante.
* 70. Théorème. — Le volume d'un tronc de prisme ou de cylindre égale le produit de sa section droite par la distance des
centres de^ gravité des deux bases.
Soit d'abord le tronc de prisme ABCDE A'B'C'D'E'.
Je le décompose en troncs de prisme triangulaires par les plans diagonaux ACA'C, ADA'D', et je mène la section droite abcde. Je désigne par si^ $2, sz, s les aires des triangles de la section droite et leur somme ; par t?i, Vg, i?3, v les volumes des prismes triangulaires et du prisme total; par yi, 72, ys, Y les distances des centres de gravité des triangles et des deux polygones des bases. J'aurai, d'après un théorème de géométrie,
(I) viz=zs^X -^ ;
fc
ru ■«a
STATIQUE
d^ailleurs on a (45 et 61)
A A' -h BB' -f- ce
£n portant cette valeur dans Tégalité (1) et appliquant aux deux autres prismes Pégalité obtenue, il vient
et en ajoutant ces égalités membre à membre,
V = *iYi 4-JiYâ + *3Y3.
D*ailleurs le second membre a pour valeur *y (*^) î on a donc
V = 5. Y- Ci. Q. F. D.
Le théorème s*étend au tronc de cylindre par des considé* rations de limites.
* 71. Théorème. — Le volume d'un tronc de prisme ou de
cylindre quelconque égale Vune des bases mui^ tipliée par la distance à celle-ci du centre de gravité de Vautre base.
Soient B, B' les deux bases ; G, G' leurs centres de gravité ; je mène la section droite *, él de G' j'abaisse G'H perpendiculaire sur B ; Tangle GG'H sera égal à Tangle a de B avec 5^ dès lors on a successivement, en désignant par 1? le volume du tronc de cylindre,
t? = *X GG' = (B cos a) X GG' = BX (GG' cos a),
ou enfin
t? = BXG'H.
§ VI. — Centres de gravité de volumes.
72. Prisme et cylindre. — Théorème. — Le centre de gravité d*un prisme ou d'un cylindre est au milieu de la droite gui joint les centres de gravité des deux bases.
Soit par exemple un cylindre ; B, B' les bases; 0, 0' leurs
