CENTBB8 DB GRA.V1TE DB VOLUMES

centres de gravité. Sur 00' je prends de part et d'autre, e

à égale distance du milieu G de cette droite, des segment

égaux mn, m'a' et je mène par le

f points m,n, m',n' des sections pa

rallèles aux bases : ces section:

déterminent deux petites lames cy lindriques. Si on fait tendre vers ( la longueur mn, les centres de gra vite de ces lames ont pour limites n et m'; d'ailleurs leurs deux volumei sont égaux; donc le point d'application de la résultante de leurs poids a pour position limite le point G On peut ainsi décomposer le volume du cylindre en élÉments tels que le centré de gravité de deux éléments correspondants a pour position limite le point G. Donc le centn de gravité total du cylindre est aussi au milieu G de 00' C. Q. F. D.

' Remarque, — La démonstration s'applique an prisme ; mai) on peut dans ce cas éviter tes considérations de limite. Pour cela on considère d'abord un prisme triangulaire. Le plan parallèh aux bases, mené au milieu de leur distance, étant un plan diamé Irai pour des cordes parallèles au.f arêtes latérales, contient It centre de gravité. Mais un plan passant par deux médiane! correspondantes des deux bases est aussi un plan diamétral poui des cordes parallèles aux côtés où aboutissent ces médianes ; et plan contient donc le centre de gravité : celui-ci est dès lors dan» les trois plans médians et par suite sur leur droite d'intersection laquelle joint les centres de gravité des deux bases. Ainsi, 1( centre de gravité du prisme triangulaire est à l'intersection de 11 droite qui joint les centres de gravité des bases avec le plan parallèle êquidistonl de ces deux bases.

73. Tétraèdre. — Thâorème. — Le centre de gravité d'un tétraèdre est à tinterseclion dei sixplans déterminés par ckaqw arête et le milieu de l'arête opposée.

Soit le tétraèdre A6CD. Le plan ABM mené par l'arête A£

STATIQUE

et le milieu M de Tarête opposée CD est un plan diamétral pour des cordes parallèles à CD ; il contient le centre de gravité G du tétraèdre; celuici étant également dans les plans menés parles cinq autres arêtes est à l'intersection des six plans de Ténoncé,

Remarques. — 1° Comme les deux plans menés respectivement par les arêtes opposées AB et CD passent par le point G, et les milieux N et M de ces côtés, ces trois points appartiennent à Tintersection des deux plans ; donc la droite MN passe par le point G. Ainsi, le point G étant sur les trois droites qui joignent les milieux des couples d'arêtes opposées, est à leur intersection.

2^ Les deux plans menés respectivement par les arêtes AB et AD passent par le point A, par le point G et par le centre de gravité a de la face BCD. Ces trois points sont donc sur l'intersection des deux plans, et la droite ka passe par le point G. Ainsi, le point G étant sur les quatre droites qui joignent chaque sommet au centre de gravité de la face opposée est à l'intersection de ces quatre droites.

Corollaire. — Les six plans menés par chaque arête et le milieu de l'arête opposée, les trois droites joignant les milieux des couples d'arêtes opposées, les quatre droites joignant chaque sommet au centre de gravité de la face opposée concourent en un même point.

74. Théorème. — Le centre de gravité (Tun tétraèdre coïncidé avec le centre des moyennes distances des quatre sommets.

En effet, pour obtenir le centre des moyennes distances