CENTRES DE GRAVITE DE VOLUMES

des quatre points A, B, C, D, je compose d'abord les poids égaux appliqués en B, G, D. Leur résultante est appliquée en a; le centre des moyennes distances est donc sur Aa; il est donc à, la fois sur les quatre droites joignant chaque sommet au centre de gravité de la face opposée ; par suite il est à leur intersection et coïncide avec le point G.

75. Remarques. — Le poids appliqué en a est triple du poids appliqué en A ; donc on a

d'où

Ga 1 GA~" 3

ak Ga = —

ainsi, le centre de gravité est au quart de aA à partir de a; il est donc dans le plan BiCiDj parallèle à celui.de la face BGD mené au quart de la distance de cette face au sommet opposé A. Étant dans les quatre plans parallèles aux faces et menés respectivement au quart de la distance de chacune d'elles au sommet opposé, il est à Tintersection de ces quatre plans.

Enfin, on peut considérer le point G comme l'intersection de Aa avec le plan de la section BjC^D, ; on voit ainsi qu'il est le centre de gravité de cette section. Ce dernier résultat est généralisé dans le théorème suivant.

76, Pyramide et cône. — Théorème. — Le centre de gravité (F une pyramide ou d^un cône est au centre de gravité de la section parallèle à la base faite au quart de la hauteur à' partir de la base.

Soit la pyramide SABGDE. Je mène la section AiBiCiDiEi parallèle au plan de la base, au quart de la hauteur à par-

tir de cette base; puis je partage la pyramide par les plans SAC, SAD en trois tétraèdres dont les centres de gravité G,, G,, G, sont ceux des triangles A,B,C,,Ai(::iD,, A,DiEi. D'ailleurs les pyramides ayant même hauteur, leurs poids sont proportionnels aux bases, et par suite aux sections correspond ailles : ainsi en Gi, Gj, Gj sont appliqués des poids proportionnels aux triangles de la section A,B,C,D,E,. Le centre de gravité lotal est donc au centre de gravité de cette section. C. Q. F. D.

On étend le théorème au eûne par des considérations de limites. On trouverait le centre de gravité d'un polyèdre quelconque en le décomposant en pyramides.

* n. Tronc de pyramide et tronc de cAne à bases parallèles- — Soit le tronc de cône BB' pris dans le cône SB, et soit le centre de gravité de la <; base 6 ; la droite SO perce le

plan de la base B' eu son centre de gravité 0'. Les centres de gravité des cAnes SB et SB' sont sur celte droite, en g et g'r à des distances des points et 0' éga-

les