SO , SO
et '—. Soit G le centre
SB' et du tronc de cône B
tante des poids appliqué:
G, g, •/ sont en ligne droite, et l'on
quelconque
mom' g = mom' G + mom* g',
de gravité du tronc de cône. Le cône SB étant composé du cône le poids appliqué en g est la rêsulet g' ; donc les trois points par rapport à un plan
CENTRES DE ORAVITE DR VQLUMES 65
d*où Ton déduit (i) raom* G = mom* g -— mom^ g\
Nous nous proposons de trouver le rapport des distances du point G aux deux bases, et pour cela nous appliquerons deux fois Téquation (i) en prenant les moments par rapport à ces deux bases.
Notations, — Soient
B, B' les deux bases du tronc de cône,
h, h' les hauteurs des deux cônes,
X, y les distances du point G aux deux bases,
V le volume du tronc,
a — r> le rapport des hauteurs .
. Le rapport des bases sera
op peut prendre pour mesure des poids les triples des volumes ; aux points G, g, g', correspondent
les poids 3V, B^, Wh'
etlesbrasl ^' V __, pour la base B.
de levier) U — W — /*' , , ^,
On a donc
(2) 5Va? = Bft. (* - B'h'. ^^'^^^' ,
(3) . .- ^Yy = m. ^^'^^^' -^B'h'.j,
et en divisant les égalités (2) et (3) membre à membre,
^^ y~Bh(U — W) 4- B'h'-' '
La fraction du second membre ayant ses deux termes homogènes de même degré par rapport aux lettres B et B', on peut remplacer B et B' par des quantités proportionnelles, savoir : B par a^ et B' par 1 . La même équation ayant ses deux termes homogènes de même degré par rapport aux lettres h et h', on peut remplacer ces lettres par des quantités proportionnelles, savoir : h par a et h' par 1. 11 vient ainsi
Si Ton fait a = 1, le numérateur et le dénominateur du
. CARVALLO. — MÉCAN. 5
' fT
'•-"-fi
STATIQUE
second membre s'annulent; donc ces deux termes sont divisibles par a — 1 . 11 vient, en supprimant ce diviseur,
Pour a = 1 , les deux termes du second membre s'annulent ; ils sont donc encore divisibles par a — 1, et on a
* § VII. — Théorèmes de Guldin.
* 78. Théorème I. — La surface [engendrée par une ligne plane exécutant une révolution complète autour d'un axe situé dans son plan et ne la traversant pas égale la longueur de cette ligne multipliée par la circonférence que décrit son centre de gravité.
Soient
ABCDE une ligne brisée tournant autour de Taxe X ;
iy hi h, h, h les longueurs de cette ligne et de ses côtés, longueurs qui peuvent être prises pour mesures des poids ;
G, Gi , Ga , Gg , G* les centres de gravité de la ligne et de ses côtés ;
r, ri, ra , rs , ri. leurs distances à Taxe X.
Si Ton prend les moments par rapport à un plan passant par X, ces dernières distances sont les bras de levier des poids l, Z^ , l^, h, h.
On a donc pour équation des moments
(1) Ir =. Zjri 4- l^ri + hr^ -+- hri ou ^l^r^ . En multipliant par 27r les deux membres, il vient
(2) 2r.rJ = H^izr^l^.
Or 2'Kr^li est l'expression de la surface du tronc de cône engendré par le côté AB ; ll2Tzr^ly est donc la surface décrite par la ligne brisée, et l'équation (2) s'écrit, en désignant par s cette sur-
THÉORÈMES DE GULDIN face et renTersant l'ordre des membres,
Celle formule démontre le théorème.
2° Si au lieu de ^60 degrés, la ligne ne décrit qu'un angle de u> degrés, la surface décrite est la fraclion — jr de la surface totale, c'esUà-dire 577; X Snnl.
' 19 . Théorème II- — Le volume engendré par une aire plane einéeutani une révolution complète autour d'un axe situé dnns son plan et ne la traversant pas égale sa surface multipliée par la circonférence que décrit son centre de ffravité.
Examinons d'abord le cas d'un rectangle A BCD dont un des côtés est parallèle à X.
Par son centre de gravité G, je mène une perpendiculaire à X rencontrant X, AD, BC respectivement en H, K, L, et je pro longe AB, CD jusqu'à leurs rencontres en M, N avec X.
J'aurai successivement
Vol. ABCD = cyl. MBON — cvl. MADN
= «.ÏÏL' X aiN — 77.HK' X MN = Tr.MN(HL' — HR^) = it.MN(HL — HKKHL + HK) = 7r.MNXLKX2GH =1 surf. ABCDXSti.GH, ce qui démontre le théorème pour le cas considéré.
Soit maintenant une surface quelconque S dont le centre de gravité G est à une distance B de X ; je trace un réseau de droites parallèles à X et do droites perpendiculaires ; je décompose ainsi la surface en rectangles tels que ABCD : il est vrai qu'il j aura des petites surfaces irrégulières sur les bords ; mais leur somme tend vers zéro en même temps que la longueur des divisions. Dès lors soit s la surface du rectangle ABCI), r la distance
-- fr"^7«
STATIQUE
de son centre de gravité à X; on a, d'après le théorème -des moments,
(1) S.R = lim Ssr.
En multipliant les deux membres par 2it, il vient
(2) S X 2irR = lim S(5 X 27tr).
Mais s X 27tr est le volume engendré par ABCD, d'après la première partie de la démonstration ; donc lim S(* X Sitr) est la limite de la somme de ces volumes, c'est le volume V engendré par la surface totale ; on a donc
V = SX^TtR. C. Q. F. D.
Remarque. — Si la rotation est de w degrés, le volume engen-
dréest ^SX2irR.
* 80. Applications des théorèmes de Guldin. — Les théo^ rèmes de Guldin ont pour formules :
s = IX Sirr, V = S X 2TtR.
Ces deux formules permettent de calculer s ou V, c'est-à-dire des surfaces ou des volumes de révolution quand on connaît l. ou S, c'est-à-dire les longueurs ou les aires des lignes ou des surfaces planes, et r ou R, c'est-à-dire la position de leurs centres de gravité, inversement, si on connaît s ou V, en même temps que l ou S, on peut en déduire r ou R, c'est-à-dire une coordonnée. du centre de gravité. Nons allons donner un exemple de chacune de ces applications.
* 81 . Surface et volume du tore de révolution.— Définition. — On appelle tore de révolution le volume engendré par un cercle tournant autour d'un axe situé dans son plan.
Soient :
le centre du cercle,
d sa distance à l'axe X,
r le rayon,
S la surface du tore,
V^ son volume.
On aura (78 et 79)
S = cire. X 2rul = ^r^rd, V = cerc. X 27rc? = âirV^d.
Telles sont les expressions cherchées.
^i^çr^^rr^
THÉORÈMES DB GULDIN
* 82. Centre de gravité d'un arc.de cercle. — Soit à trouver le centre de gravité G de Tare ACB de la circonférence ; ce
point G est sur le rayon moyen OC qui est un axe de symétrie.
Soient :
X la longueur cherchée OG,
a la longueur de Tare,
c celle de la corde AB,
r le rayon.
Je fais tourner Parc autour du diamètre OX parallèle à AB. J'aurai (78)
surf. ACB = a X 27t. a?,
ou en remplaçant surf. ACB par sa valeur connue, qui est celle d'une zone,
SttB.c = aX 2^:07;
d'où l'on tire
Rc
"■ 83. Centre de gravité du secteur circulaire. — Soient :
OACB le secteur circulaire, G son centre de gravité, X la longueur OG.
Je^garde d'ailleurs les notations précédentes et je fais tourner la figure autour de OX. J'aurai (79)
vol. OACB = surf. OACB X 27ra7.
En remplaçant vol. OACB et surf. OACB par leurs valeurs connues, il vient
d'où l'on tire
2irRc X I = Ç X 2110;,
2 Rc
Ainsi, par l'application des théorèmes de Guldin, on retrouve (82, 83) les résultats obtenus par le théorème des moments (59, 65).
• •' . ;'V î *i^>;i:^''!Br79'^S35MBES^r
7Ô STATIQUE
i. Le poids P d'une tige AB est appliqué en son milieu C. Sur une perpendiculaire à AB, au point C, se déplace un poids Q. A quelle distance du point C faut-il placer le poids Q pour que le centre des deux forces parallèles P et Q soit à une distance d du point C ?
Application : P = 75?', Q = 15s^ d = 5"".
Cette question trouve son application dans le réglage de la sensibilité d'une balance (n» 123).
2. Trois forces parallèles données, P, Q, R, sont appliquées aux trois points A, B, C situés en lignedroite et tels que AB = BC= h La troisième force R est de sens contraire aux deux autres. Déterminer le centre de ces trois forces parallèles.
Application : P = 1,5, Q = 2, R = 3.
3. Un tableau rectangulaire ABCD a pour côtés AB = a, BC = h\ et pèse^kg par mètre carré; il repose contre un mur vertical, par son côté horizontal AB, sur deux clous E et F situés à des distances AE = BF = c des bords verticaux. On suspend à ce tableau un poids Q, à une distance d du bord vertical AD. 4° Calculer la charge supportée paries points d*appui. 2<> Calculer en fonction de la distance d le poids qu'il faut suspendre pour faire basculer le tableau autour du point d'appui E.
Application : a = 1°^,20, b = 0">,90, p = lO^g,
AE = BF = 40c, Q = 40kg.
4. Un triangle dont le poids P est appliqué au centre de gravité de sa surface repose parses sommets sur un plan horizontal. Démontrer que la charge est également répartie sur les trois points d'appui.
5. Déterminer le point où il faut que soit appliqué le poids d'un trépied équilatéral pour que les charges des trois points d'appui soient entre elles comme les nombres l,-2, 3.
6. Aux trois sommets d'un triangle sont appliquées trois forces parallèles entre elles, de même sens et proportionnelles aux côtés
opposés du triangle. Déterminer le centre de ces trois forces parallèles.
7. On considère deux forces parallèles de grandeurs données P et Q. Le point d'application  de la première est fixe; celui delà deuxième, B, décrit une droite donnée. Trouver le lieu géométrique du centre de ces deux forces parallèles.
8. Même problème, quand le point B décrit un cercle. Trouver un théorème général qui renferme, comme cas particuliers, les solutions des questions 7 et 8.
9. Trois forces égales, parallèles et de même sens, sont appliquées aux trois sommets d'un triangle. Le point d'application d'une quatrième force, double des précédentes, parallèle à ces forces, mais de sens contraire, décrit le cercle qui passe par les milieux des trois côtés du triangle. Trouver le centre de ces quatre forces parallèles.
10. Quatre forces égales, parallèles et de même sens, sont appliquées aux quatre sommets d'un tétraèdre. Le point d'application d'une cinquième force, égale aux précédentes, parallèle, mais de sens contraire, décrit la sphère circonscrite au tétraèdre. Trouver le lieu du centre de ces cinq forces parallèles.
Trouver un théorème qui renferme, comme cas particuliers, les solutions des questions 7, 8, 9 et JO.
Ces dix premières questions se rapportent aux forces parallèles en nombre limité. Voici maintenant des applications de la théorie des centres de gravité. Les questions 11 à 15 s'appliquent à des objets matériels qui sont entre les mains des élèves.
11. Un double décimètre a la forme d'un prisme droit de hauteur h ; la base est un trapèze isocèle. Les deux bases de ce trapèze sont distantes de d et ont pour longueurs respectivement a et h. Déterminer son centre de gravité.
Application : h = 20'*', d = 4»™,
12. Trouver le centre de gravité de la surface d'une boite de carton rectangulaire et ouverte, connaissant les trois arêtes a, b, c de la boite, et en négligeant l'épaisseur de ses cinq faces.
Application : a = 12^, & = 10°, c = 9''.
72 STATIQUE
13. Trouver le centre de gravité de la même botte ttiunie de son couvercle dont la hauteur est c' ; les deux autres dimensions sont encore a et è, parce qu'on néglige Tépaisseur du carton.
Application : c' = 3®.
14. Un T à dessiner se compose de deux bras rectangulaires ABCD et EFGH. Le premier bras, ABCD (tête du T), a pour épaisseur e et le second e'. Leurs dimensions superficielles sont AB = a, BG = &, EF = c, FG = d. Sur Taxe du second bras et à la distance f de Textrémité FG la plus éloignée de la tête ABCD, se trouve un trou circulaire de rayon r. Déterminer le centre de gravité de ce T.
Application : e = i«,2, e' = 0«,2,
15. Une équerre de côtés a, b, est percée d'un trou circulaire de rayon r, concentrique au cercle inscrit dans le triangle de Téquerre. Déterminer le centre de gravité de cette équerre et sa position d'équilibre quand on la, suspend à un clou par son ouverture circulaire.
Application : a = 31®, 6 = 15^7, r = 0^,8.
16. Deux tiges métalliques de même section ont pour longueurs h et h' et pour densités d et d\ On les soude bout à bout. Trouver la position du centre de gravité de la tige bimétallique ainsi obtenue.
Application : A = 17^, h' =z 22e.
La première tige est en fer : d =z 7,79.
La deuxième est en platine : d' = 24 ,45.
17. Deux sphères de rayons R et R' et de densités d et d' sont liées par une tige. L'axe de cette tige passe par les centres des deux sphères situées à la dislance D et la section en est négligeable. Trouver la position du centre de gravité de ce corps.
Application : R = 3«, R' = 4s5, D = 50c.
La première sphère est en plomb : d = 11,35.
La deuxième sphère est en étain : d' = 7,29.
18. Sur les trois côtés d'un triangle rectangle, on construit trois carrés. Trouver le centre de gravité de Taire formée par ces trois carrés et le triangle.
ËXËRCIGBS SUQ LE CHAPITRE II 73
19. Dans un carré ABGD de centre 0, on enlève le triangle AOB. Trouver le centre de gravité de Taire restante.
20. Dans un carré ABGD, trouver un point M tel que, si on enlève le triangle AMB, le point M soit le centre de gravité de la partie restante.
21. D'un hexagone régulier ABCDËF on détache un triangle ABC formé par trois sommets consécutifs. Déterminer le centre de gravité de Taire restante.
22. Un corps solide homogène de densité d a ia, forme d'un cube ABCDEFGH de centre et de côté a. On en détache la pyramide OABGD. Trouver le poids et le centre de gravité du corps restant.
Application : a=z 35®, d =z 2,7.
23. Trouver le centre de gravité de la surface d'un hémisphère.
24. Dans une sphère pleine de rayon R, est pratiquée une cavité sphérique de rayon r. La distance des centres est D. Trouver le centre de gravité du solide ainsi formé.
Application: R=25*, r=:2% D = 3^
25. Deux cônes ont même base circulaire de rayon R ; leurs sommets sont situés sur Taxe à des distances du centre du cercle de base égales à A et h\ Trouver le centre de gravité du volume limité par les deux surfaces coniques.
Application: R=3% A = 15«. /i'=:25«.
26. Appliquer les théorèmes de Guldin à la recherche de la surface et du volume du cône droit à base circulaire.
