Même question pour le tronc de cône

28. Un jeu de cartes est placé sur une table. On avance la carte du dessus dans le sens de sa longueur, aussi loin qu'elle peut se tenir horizontale. Sans déranger la position de cette première carte sur la seconde, on avance celle-ci aussi loin que l'ensemble des deux cartes du dessus peut se tenir horizontal, et ainsi de suite jusqu'à la carte du dessous, qui demeure immo-

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bile. Déterminer les distances dont les cartes successives avancent Tune sur l'autre (Jullien).

29. n points également distants sont disposés en ligne droite. En chacun d'eux est un poids qui a pour mesure son. numéro d'ordre augmenté du poids précédent. Trouver le centre de gravité et le poids total du système.

30. Dans un cône de révolution, dont l'ouverture est 2a, on inscrit n sphères tangentes entre elles. Le rayon de la sphère la plus rapprochée du sommet est r. Trouver le centre de gravité du système.

31 . Même question lorsque, la plus grande sphère étant donnée de rayon R, on inscrit des sphères indéfiniment entre la plus grande et le sommet.

Les questions suivantes complètent la théorie.

32. Trouver le centre de gravité de la surface latérale : i^ d'une pyramide ; 2* d'un cône.

33. Trouver le centre de gravité de la surface latérale d'un tronc de pyramide ou d'un tronc de cône.

34. Centre de gravité de la surface totale : 1° d'une pyramide ou d'un cône ; 2* d'un tronc de pyramide ou d'un tronc de cône.

35. Un polygone est circonscrit à un cercle. On le décompose en triangles ayant pour bases les côtés du polygone et pour sommet commun le centre du cercle. Aux trois sommets de chacun de ces triangles, on applique des poids qui ont pour mesure l'aire de ce triangle. Déterminer : 1<* le centre de gravité des poids qui sont aux sommets du polygone ; 2^ le centre de gravité de ces poids réunis à ceux qui sont appliqués au point 0.

36 . Conclure des résultats de la question 35 ce théorème : Les centres de gravité de l'aire et du contour d'un polygone circonscrit à un cercle sont sur un même ravon du cercle ; leurs distances au centre sont entre elles comme 2 et 3 (Brassine).

37. Adapter le théorème de la question 36 au cas d'un polygone gauche circonscrit à une sphère.

38v Adapter les questions 35 et'Sôaucas d*un polyèdre circonscrit à une sphère.

Les questions suivantes ont un caractère plus marqué de théorie générale .

39. Si l'on joint un point quelconque aux points d'application Aj, Aa, . . ., An des forces parallèles d'intensités j9,, Pi,.,,, Pm et au centre G de ces forces parallèles, on a entre les carrés de ces longueurs la relation

Tpi^' = ÔG'Sp/ -h Sp/GÂ? .

40. La somme des carrés des distances mutuelles de n points égale n fois la somme des carrés des distances de ces n points à leur centre des moyennes distances.

41. Démontrer que les relations des questions 39 et 40 sub- .sistent quand on remplace les segments qui y figurent par leurs projections sur une même droite quelconque.

42. Appliquer la méthode du n® 38, relative à la réduction des forces parallèles, à la discussion du cas où la somme algébrique de toutes les forces est nulle.

43. Appliquer la même méthode en choisissant pour le point désigné par A dans le n" 38 le point G de la question 26 proposée sur le chap. 1. Voir ce que devient alors cette méthode dans le cas de deux forces.

Les exercices suivants forment le canevas d'une théorie directe des couples. Un couple n'est pas en équilibre d'après le principe expérimental (n» 19). On démontrera les théorèmes suivants.

44. Un couple ne peut pas être remplacé par une force unique.

On raisonnera comme au n* 25, en faisant tourner le système autour d'un axe perpendiculaire au plan des forces du couple et mené par le centre du parallélogramme construit sur ces deux forces. Puis on remarquera, que la position de ce centre n'est pas entièrement déterminée, puisque les deux . forces du couple peuvent être transportées le long de leurs directions.

45. Si l'on fait tourner un couple, dans son plan, autour du centre du parallélogramme construit sur ses deux forces, on obtient un second couple équivalent au premier.

46. Si Ton transporte un couple parallèlement à lui-même, on obtient un nouveau couple équivalent au premier.

47. Si, dans le plan d'un couple, on change Tintensité des deux forces du couple et leur écartement de façon que Taire du parallélogramme construit sur les deux forces ne change pas, on obtient un nouveau couple équivalent au premier.

48. Étant donné deux couples quelconques, on peut, en appliquant les théorèmes des questions 45, 46, 47, faire en sorte que les deux forces du second couple aient les mêmes points d'application que les deux forces du premier couple. En déduire une méthode pour la composition de plusieurs couples en un seul.

Voici enfin, sur les centres de gravité, une série d'exercices qui m'ont été communiqués par mon confrère et ami M. Laisant. On y reconnaîtra son imagination féconde et orij^inale. Avec l'auteur j'emploierai le mot « barycentre », pour remplacer la locution a centre de gravité ».

49. Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le barycentre des quatre centres des cercles inscrit et exinscrits.

50. On donne un polygone fermé ABCDE; on fait subir à chaque côté une translation correspondante. Les côtés viennent en AjBi, BiCJ, CiDi, DiEJ, EiA',. Démontrer que le barycentre des points Ai, Bi, Ci, D| coïncide avec celui des points Ai, Bj, C}, Do Ej.

51. On donne un triangle ABC et un point ; par les trois sommets d'un second triangle LMN, on mène des droites LL', MM', NN' parallèles, égales respectivement à AO, BO, CO et de mêmes sens. Démontrer que le point et les barycen très des trois triangles ABC, LMN, l/M'N' sont les quatre sommets d'un parallélogramme.

Les propositions 50 et 51 peuvent être regardées comme des cas particuliers de la suivante :

52. On considère deux systèmes de points correspondants A, B, G, ... et A', B', C, . . . dont les barycentres sont G et G'. On mène arbitrairement des droites LL', MM', NN', . . . égales, parallèles respectivement à AA', BB', CC', ... et de mêmes sens Démontrer que les barycentres H et H» des systèmes de points

Irv ' ♦■

L', M, N, . . et LV M', N', ... forment avec G et G' les quatre sommets d*un parallélogramme.

53. On donne un triangle ABC dont le b.irycentre est G, et un point dans son plan. Sur les droites AO, BO, CO comme bases on Construit trois triangles directement semblables entre eux, AOA', BOB', CGC Démontrer que le barycentre G' du triangle A'B'Ç' s'obtient en construisant sur GO un triangle directement semblable aux trois premiers.

54. Soient Ai, A2, . . ., An un système de n points, G son barycentre. A chaque point Ap de ce système, on fait correspondre le barycentre de tous les autres G;,. Démontrer que la figure des G;; est bomothétique inverse à la figure des Ap, Le centre de similitude

est G et le rapport de similitude est -•

Ces questions sont extraites du traité des équipollences de M. Beliavitis, traduction de M. Laisant Voici d'autres exercices puisés dans le traité dont M. Laisant est lui-môme Tauteur.

55. Aux sommets A, B, G d'un triangle, on applique les poids 1, 2, 3, puis 2, 3, 1, puis 3, 1, 2. Soient Gj, Ga, G3 les trois barycentres. Démontrer : \^ que les triangles ABC et GiGjGs ont le même barycentre G ; 2° que les médianes de chacun de ces deux triangles sont parallèles aux côtés de l'autre.

56. Le barycentre de deux poids a et ^ placés en A et B est G. Si Ton change le signe de Tun de ces poids, le nouveau barycentre est conjugué harmonique de G par rapport au segment AB.

57. Le barycentre des poids a, ?, y placés en A, B, C est G. On change les signes isolément de chacun de ces poids. On obtient, pour les poids (— a, p, y), (a, — P, y), (a, P, — y) ^gs trois barycentres Ai, Bi, Ci. Démontrer que AAi, BBi, CCi se rencontrent en G.

Les questions suivantes ne sont extraites d'aucun ouvrage :

58. Trouver les barycentres des lettres A, V, M, T, E. Tous les traits sont supposés égaux et de poids 1, sauf les traits qui sont à mi-hauteur des lettres A et E, lesquels traits sont suppo-

ses de longueur et de poids 5'

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59. Barycentre du périmètre d'un triangle dont les côtés ont des densités inversement proportionnelles à leurs longueurs.

60. Barycentre de la table de multiplication, chaque case ayant un poids mesuré par le nombre qui s'y trouve.