FORCES APPLIQUEES A UN CORPS SOLIDE

3* La première partie de la démonstration prouve que lès forces appliquées à un corps solide se réduisent à trois forces AP, BQ, CR appliquées en trois points arbitraires A, B, C.

4® La méthode du n" 84 repose sur deux transformations seulement : La première consiste à transporter le point d'application d'une force d'un point à un autre de sa direction'; la deuxième consiste à remplacer plusieurs forces concourantes par leur résultante ou inversement.

5** Nous allons chercher une expression numérique des conditions d'équilibre et d'équivalence des systèmes de forces. Ces conditions sont exprimées par les théorèmes des n^'OÔ et 91. Pour les établir, il convient d'introduire la notion du signe d'un tétraèdre. Cette notion, qui est la base du calcul barycentrique de Mœbius ^^\ est analogue à celle du signe d'un segment, dont on a vu -de nombreuses applications dans tout le cours de mathématiques élémentaires.

86. Déf initioas : Signe d'un tétraèdre. Moment d'une force par rapport à un axe. — De même que le sens (Tun segment est déterminé par l'ordre dans lequel on énonce les lettres

qui désignent ses extrémités, de môme

le sens d'un tétraèdre est déterminé par

D l'ordre dans lequel on énonce ses qua-

/\ tre sommets. Pour définir le sens d'un

// \ tétraèdre ABCD, je le déplace sans le

/ / \ déformer, de fagon à rendre horizon-

^f / -^Q tal le triangle ABC formé par les trois

\ I y^ premiers points. Enfin j'imagine un

\^ mobile parcourant le contour de ce

triangle dans le sens ABC, puis un observateur placé debout, à l'intérieur de

(1) Der barycentrische Calcul. Leiptzig, 1827.

CAUVALLO» — m£CAM. 6

88 STATIQUE

ce triangle. Si F observateur toit le mobile tourner de droite à gauche^ en même temps que le quatrième sommet D est en des- «us, je dis que le tétraèdre a le sens direct ou dextrorsum. On peut toujours satisfaire à Tune des deux conditions de cette définition, en retournant s'il y a lieu le tétraèdre, sens dessus dessous. Si la deuxième condition n'est pas réalisée emnême temps, je dis que le tétraèdre a le sens rétrograde ou sinistrorsum. Ainsi le sens direct se reconnaîtra, soit à ce que le point D est en dessus et que le mobile tourne de droite à gauche, soit à ce que le point D est en dessous et que le mobile tourne de gauche à droite. Le sens rétrograde du tétraèdre se reconnaîtra, soit à ce que le point D est en dessus et que le mobile tourne de gauche à droite, soit à ce que le point D est en dessous et que le mobile tourne de droite à gauche.

Je désignerai par vol. ABCD la mesure de ce tétraèdre et par ABCD seulement, en supprimant « vol. », ce volume précédé du signe 4- si le tétraèdre a le sens direct, et du signe — si le tétraèdre a le sens rétrograde. Ce nombre accompagné de son signe est la valeur algébrique du tétraèdre ABCD. Dans le cas de la figure, on a

ABCD = -+- voL ABCD,

parce que le point D est en dessus et qu'un mobile qui tournerait dans le sens ABC, irait de la droite à la gauche de Tobservateur défini plus haut, en passant devant lui. On a, au contraire,

BACD ^ — vol. BACD,

parce que, pour le même observateur, un mobile qui tournerait dans le sens BAC irait de la gauche à la droite de l'observateur. Le lecteur vérifiera facilement que l'expression ABCD change de signe quand on échange deux lettres consécutives quelconques, A avecB, B avec C, ou C avec D. On peut alors ranger les lettres dans tel ordre que Ton veut par une suite d'échanges entre lettres consécutives.