FORCES APPLIQUEES A UN CORPS SOLIDE
(86) verra le triangle ARC dextrorsum. C*est le cas de la
figure ci-contre. Quand le triangle est sinistrorsum, il doit être affecté du signe — . Le double de ce triangle, avec son signe, est ce qu'on appeWe le moment de la force AR par rapport au point C. On peut donc énoncer ce théorème :
Si des forces concourantes sont dans un même plan^ le moment de leur résultante, par rapport à nHmporte quel point du plan, est égal à la somme algébrique des moments de ces forces par rapport au même point.
Ce théorème, dû à Varignon, n'est, comme on voit, qu'un cas particulier du précédent (87).
89. Théorème. — La somme algébrique des moments des forces appliquées à un corps solide par rapport à un segment quelconque^ est égale à la somme algébrique des moments des forces V et Y auxquelles on peut réduire les premières.
En effet, pour réduire les forces données à deux forces U et V (84), on n'a employé que deux modes de transformation (85, 4°) :
1^ Une force est transportée d'un point à un autre de sa direction. Cela ne change pas son moment (86) ; donc cela ne change pas non plus la somme algébrique des moments des forces appliquées au corps solide.
2* Plusieurs forces sont remplacées parleur résultante ou inversement. La somme algébrique des moments des forces remplacées est égale au moment de la résultante. Donc cette opération ne change pas non plus la somme algébrique des moments des forces appliquées au corps solide.
En résumé, la somme des moments des forces données
86 STATIQUE
n'est pas changée quand on les remplace par les forces U et V. G.Q.F.D.
90. Théorème. — Pour qu^un système de forces appliquées à un corps solide soit en équilibre, il faut et il suffit que la somme algébrique de ces forces, par rapport à tout segment de l'espace, soit nulle.
Je réduis les forces données à deux forces AU et BV (84).
I. La condition est nécessaire. — L'hypothèse est que le système des forces données est en équilibre. Donc les deux forces U et V sont, ou bien nulles, ou bien égales et directement opposées (84). La somme algébrique de leurs moments est alors nulle par rapport à tout segment de Tespace (86). Or cette somme est égale à celle des moments des forces données. Ainsi donc, si le système des forces données est en équilibre, la somme algébrique des moments de tes forces par rapport à tout segment de l'espace est nulle.
IL La condition est suffisante. — L'hypothèse est maintenant que la somme algébrique des moments des forces, par rapport à tout segment de l'espace, est nulle. Celles des forces AU et BV qui est égale à la première somme est aussi nulle :
(1) mom' AU -+- mom' BV = 0.
Si l'une des forces, AU par exemple, est nulle, mom' AU est nul et la formule (1) donne mom*BV = 0, et cela par rapport à tout segment de l'espace. Donc BV est aussi nulle. Les forces AU et BV étant nulles, le système des forces données est en équilibre.
Je suppose maintenant que les forces AU et BV ne sont pas nulles. Je vais montrer qu'elles sont, 1® dans un mémo plan, 2® appliquées suivant la même droite, 3® égales et de sens contraire. J'utiliserai, pour cela, le choix que je peux faire du segment arbitraire CD.
!• Je prends les moments par rapport au segment AU
vr
^ FORGBS APPLIQiréfiS A UN CORPS SOLIDB 87
qui représente la première force elle-même. Alors mom*AU est nul et Tégalité (i) donne mom* BV = 0, c'est-à-dire
AUBV=0; AU et BV sont donc
dans un même plan P.
2* Je prends les moments par rapport à une droite AC menée par le point A de la première force, et en dehors du plan P. Alors mom* AU est encore nul et l'équation (1) donne mom' BV=: 0. La force BV doit donc rencontrer le segment AC. Cette rencontre ne peut avoir lieu qu'au point A où la droite AC perce le plan F qui contient BV. Or le point A a pu être choisi n'importe où sur la droite AU. Ainsi BV passe par tous les p<3lnts de AU ; ces deux forces sont donc sur une même ligne droite.
3' Je peux dès lors supposer que les deux forces sont appliquées au même point A. Je prends les moments par rapport à un segment CD quelconque. J'aurai, par hypothèse,
CDAU 4- CDAV = 0.
Ainsi ces deux tétraèdres sont égaux et de signe contraire. Or ils ont même base CDA ; pour qu'ils aient des signes contraires, il faut que AU et AV soient de sens contraire ; pour qu'ils aient même volume, il faut que les hauteurs soient égales, ce qui exige que les forces AU et AV soient ellesmêmes égales.
En résumé, si la somme des moments des forces données est nulle, les forces AU et BV auxquelles on peut les réduire sont ou bien nulles, ou bien égales et directement opposées. Dans les deux cas, le système des forces données est en équilibre. C.Q. F. D.
