Théorème. - Pow que deux systèmes de forces

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appliquées à un corps solide^ soient équivalents, il faut et il svffU que, par rapport à tout segment de l^ espace, la somme algébrique des moments des forces du premier système soit égale à celle des forces du second système.

Soient A et B les deux systèmes de forces, B' un système faisant équilibre à B ; a, b, b' les sommes des moments des systèmes A, B, B' par rapport à un segment arbitraire. Le système (B, B') étant en équilibre, d'après la définition de B', on a (90)

Cela posé, je vaisdémontrer les deux parties du théorème.

i^ La condition de V énoncé est nécessaire. — L'hypothèse est que les systèmes A et B sont équivalents. Alors, comme le système (B, B') est en équilibre, le système (A, B') est aussi en équilibre ; on a donc (90)

et, en retranchant membre à membre cette égalité (2)

de (1),

a — ^ =0, ou a =: b,

La somme algébrique des moments du premier système de forces est égale à celle du second système.

2® La condition est suffisante. — L'hypothèse est maintenant

Si, dans l'égalité (1), on remplace b par le nombre a qui lui est égal par hypothèse, il vient

a 4- fc' = 0.

Donc le système (A, B') est en équilibre (90). Mais alors, les systèmes A et B sont équilibrés par un même système B', autrement dit ils sont équivalents (18). C.Q. F. D.

Remarque. — D'après cela l'effet mécanique d'un système de forces est déterminé quand on sait trouver la

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somme algébrique des moments de ces forces par rapport k tout segmentde l'espace. Pour cette raison, nous dirons plus brièvement « le moment d'un système de forces », au lieu de t ia somme algébrique des moments des forces du système ».

§ IL — Théorie des couples.

92. Définitions. — - On appelle couple (Cf. n* 42) Tensemble de deux forces parallèles, égales et de sens contraire,

AF, A'F'. Leur plan est le plan du couple; la valeur commune des deux forces est la force du couple; leur distance en est le bras de levier.

Nous verrons (94) que l'effet mécanique du couple est bien représenté par un segment de droite OK qu'on appelle axe du couple. Ce segment est défini en grandeur, direction et

LYJ.

sens, mais peut être transporté parallèlement à lui-même dans tout l'espace ^*^ Il est perpendiculaire au plan du cou- * pie. Pour définir le sens OK, je suppose le point à l'intérieur du parallélogramme AFAT', puis j'imagine un mobile parcourant, dans le sens AFA'F', c'est-à-dire dans le sens des forces elles-mêmes, le contour de ce parallélogramme. Le sens OK est tel qu'un observateur placé les pieds au point et la tête vers le point K voie le mobile

(1) Ces conditioDS sont celles qui définissent en général ce qu'on appelle un vecteur, La considération des vecteurs joue un rôle très important en géométrie, en mécanique et en physique mathématique, particulièrement dans la théorie de rélectricité. 11 serait peut-être plus naturel de dire le vecteur d'un couple que Vaxed'un couple^ mais ce n*est pas Tusage.

r -- '-Te- .

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tourner de droite à gauche. Enfin la mesure de OK est égale au produit de la force par le bras de levier. C'est, si Ton ireuW Taire du parallélogramme AFA'F'. Elle est égale à la soouae des triangles AFO, A'F'O. Si Ton considérait un point (y, totgours dans le plan du couple, mais extérieur à la région du plan limitée par les deux droites indéfinies AF et A'F', Taire du parallélogramme AFA'F' serait égale à la différence des deux triangles AFO', ATO'. Mais dans tous les cas on peut dire qu'elle est égale à la somme al^brique de ces deux triangles, comptés positivement, s'ils sont dextrorsum par rapport à Tobservateur OK et négativement dans le cas contraire.

93. Théorème. — Le moment d'un couple par rapport à un segment quelconque égale la valeur algébrique du produit de Vaxe du couple par la projection du segment sur cet axe.

Soit (fig. du n° 92) AF, AT le couple; OD le segment par rapport auquel on prend les moments et que je peux toujours transporter le long de sa direction jusqu'à l'intersection avec le plan. Soit enfin OK Taxe du couple. Je projette le point D en E sur OK. Je dis que Ton a

(1) 6AF0D4-6A'F'0D=r0K.0E.

En effet, les deux tétraèdres du premier membre ont pour hauteur OE, et Ton a