AFA'F. OE = OK.OE

L'égalité (1) est donc démontrée dans le cas de figure où tous les termes de l'énoncé sont positifs.

THÉORIE DES COUPLES 9i

On voit facilement qu'elle subsiste entre les valeurs algébriques de ses termes : 1® quand le point est à Textérieur de la région du plan du couple comprise entre les droites AF et A'F'; 2* quand OE et OK sont de sens contraire.

Remarques. — !• On sait (91) que Teffet d'un système de forces est connu quand on peut déterminer le moment du système par rapport à tout segment de l'espace. S'il s'agit d'im couple, le dernier théorème permet de déterminer ce moment dès qu'on connaît l'axe du couple. La connaissance de cet axe suffit donc à déterminer l'effet du couple, comme on l'avait annoncé (92). De là résulte toute la théorie des transformations des couples, renfermée dans les théorèmes des n°" 94 et 95.

2* Le moment du couple OK par rapport au segment OD peut être représenté par l'une des trois expressions égales :

OK X proj. OD = OK.OD cos(OKrOD) = OD X proj. OK.

94. Théorèmes. — 1© Un couple n^est pas en équilibre. Car ses deux forces ne sont pas directement opposées.

2® // ne peut pas être remplacé par une force unique. Prenons en effet les moments par rapport à OK, parallèle

à l'axe du couple menée par un point de la force unique ^ R. Le moment de R est nul,

^ tandis que celui du couple ne

y^ l'est pas (93). La force et le

p/ couple ne sont donc pas équi-

/ # valents (91).

Zy A' / 3** Deux couples qui ont

/ même axe sont équivalents.

^ En effet, ils ont même mo-

ment par rapport à tout segment de l'espace (93) ; dès lors ils sont équivalents (91). De

92 STATIQUE

là résulte que Von peut, sans en changer Veffet, déplacer un couple dans son plan, transporter ce plan parallèlement à luimime, et altérer dans ce plan la force et le bras de levier de façon que leur produit ne change pas, non plus que le sens du couple,

95. Théorème. — On peut remplacer l'ensemble de plusieurs couples Kl, Kj, par vn couple

K unique dont Vaxe K s'obtient en prenant

\ la résultante des axes Ki, Kj, ...., comme

■^ \ j^* si ces axes représentaient des forces appli-

^ \.^\ quées en un même point, par la règle du

f\ polygone des forces (32).

En effet, si Ton prend les moments par rapport à un segment quelconque OD, on a

mom* de Ki = OD. proj. Kj. (93)

mom* de K, = OD. proj. K^,

mom* de (Ki, Kg, ) = OD.(proj. Kj-t-proj. KjH- )

= OD.proj.K (37)

= mom* de K. (93).

Le moment de l'ensemble des couples Ki, K, , étant

égal à celui du couple K, ces deux systèmes sont équivalents. G. Q. F. D.

Remarque. — On dira plus brièvement : Les couples se composent par leurs axes ; et aussi : les couples Ki, Kj, .... ont pour couple résultant K.

§ III. — Application de la théorie des couples a la réduction

DES forces appliquées A UN CORPS SOLIDE.

96. Théorème. — On peut transporter une force appliquée à un corps solide, parallèlement à elle-même^ (Pun point (Tapplication à un autre arbitraire, en y adjoignant un couple.

. Soit la force AF et le point arbitraire. Je peux appliquer au point deux forces contrai- K res OF', OF", égales et parallèles à

^ p/ ÀF. La force AF est alors remplacée

I 4 par le système (OF', OF, AF) com-

j/ -j, posé, si Ton veut, de la force OF', qui

r -j n'est autre que AF transportée en 0,

y /et du couple (AF, OF").

Remarque. — L'axe OK de ce couple est perpendiculaire au plan AFO, dans un sens tel que le tétraèdre AFOK soit dextrorsum ; il a pour mesure 2 tr. AFO.

97. Théorème. — Les forces appliquées à un corps solide se réduisent à une force constante en grandeur, direction et sens^ appliquée en un point arbitraire, et à un couple variable avec ce point.

Soient, en effet, Fi, Fg, ... les forces. Je prends un point arbitraire, et j'y transporte les forces parallèlement à elles-mêmes en Fi, Fj, ... en y adjoignant des couples ayant, pour axes Ki, Kg, ... définis par la remarque précédente (96). Les forces FJ, Fj, ... appliquées en ont une résultante R, et comme ces forces sont constantes en grandeur, direction et sens, il en est de même de R ; de plus les couples Ki, Kg, ... admettent un couple résultant dont Taxe K est la résultante de Ki, K^, ... C. Q. F. D.

94 STATIQUE

DÉFINITIONS. — La force constante R s'appelle résultante de translation ; le couple K variable en grandeur et direction avec le point s'appelle couple de translation.

Les théorèmes suivants constituent une véritable discussion de ce mode de réduction.

98 . Théorème . — ^ Pour quun système de forces appliquées à un corps solide soit en équilibre^ il faut et il suffît que la résultante de translation et le couple relatif à un point de Vespace soient nuls,

La condition est suffisante.

Car l'hypothèse étant que R et K sont nuls, le système (R, K) est en équilibre. Le système donné équivalent à (R, K) est donc aussi en équilibre.

Elle est nécessaire.

L'hypothèse est maintenant que le système donné est en équilibre. Le système (R, K), qui lui est équivalent, est aussi en équilibre. Je vais montrer que R et K sont nécessairement nuls tous deux.

1^ Si K n'était pas nul, ni R non plus, le couple K serait équilibré par une force unique R. Il pourrait alors être remplacé par une force unique R' égale et directement opposée à R, ce qui est impossible (94).

^ Si la force R seule était nulle, le couple K serait, à lui seul, en équilibre, ce qui est impossible (94).

3** Si K était nul, R serait, à elle seule, en équilibre, ce qui signifie que R serait nulle.

En résumé, R et K sont nécessairement nuls à la fois.

99. Théorème. — Pour que deux systèmes de forces appliquées à un corps solide soient équivalents, il faut et il suffit qu'ils aient même résultante de translation et même couple résultant par rapport à un point de l'espace, •

idÉHUCnON I>i&3 FORCES

XK'

i^ La condition vst suffisante.

Car si les deux sy^èmes peuvent être remplacés par une même force R et un même couple K^ ils gont équivalents. 2® Elle est nécessaire.

En efiet, en transportant toutes les forces au même point O, les iieux systèmes peuvent être remplacés par une force ^ &et un couple K et par une force

R' et un couple K'. Soient R'' et K" une force «t un couple égaux et directement opposés à R'et K' ; le système (R", K") fait équilibre à (R', K') et par suite au système équivalent (R, K). Donc la résultante de R et R" est nulle et la résultante de K et K* est nulle (19) ; c'est-à-dire que R et K sont égaux et directement opposés respectivement à R" et K* et par suite coïncident avec R' et K'. C. Q. F. D.

Corollaire. — La réduction à une résultante et à un couple de translation rCest possible que d^nne seule manière pour un point donné,

iOO. Théorème. *- Pour que les forces appliquées à un corps solide se réduisent à un couple, il faut et il suffît que la résultante de translation soit nulle,

V La condition est nécessaire.

Car si les forces sont remplacées par un couple, la résultante de traQslation de celui-ci étant nulle, la résultante du système donné est aussi nulle (99).

2® La condition est suffisante.

Car si la résultante de translation est nulle, il ne reste plus que le couple K.