COS V =: T
Quant aux valeurs de Li, Mi, Ni, elles se calculent, comme il suit, au moyen des données.
Li est la projection de Ki sur Ox, C'est donc le moment du couple Kl par rapport au segment 01, égal à +i, compté sur Ox (93). Or, des deux forces de ce couple, Tune passe par () ; son moment est nul. L'autre force est AiFi. Son moment est la somme algébrique des moments des composantes, savoir :
Li = 6(0lAiXi -+- OlAiYi -+- OlAiZi).
Calculons chacun des termes de cette somme. AiXi étant parallèle à 01, le premier terme
est nul. Pour le second, je peux transporter chacun des sommets Ai et Yi du tétraèdre parallèlement à l'arête 01, sans changer la valeur du tétraèdre. Je peux donc les amener respectivement en Ai et Yi dans le plan yOs, Le tétraèdre OlAiYi estainsi remplacé par le tétraèdre OlAiY* dont la mesure est intuitive.
Ainsi l'on a, dans le cas de la figure ci-contre, où toutes les données Xi , Yi , Zi , oji , yi , ^i sont positives,
OlAiYi = OlA'iY'i = -:^\tr. OA'iYl = -^ 0LA;y;.0C,
et enfin, en remplaçant ces trois segments par leurs valeurs -M, Yi et Zi,
60lAiYi=:— ^lYi.
Cette formule subsiste dans tous les cas de figure. D'abord les valeurs absolues des deux membres sont toujours égales. Quant aux signes, il suffît de remarquer que, si l'un des deux facteurs du second membre change de signe, la disposition de la figure fait que le sens du tétraèdre OlA'iYi est changé. Le premier
membre de l'égalité change donc de signe, comme le second, et
l'égalité reste vraie. On voit de même que Ton a, dans tous les
cas de figure,
60iA,Zi = ^-yiZ,,
En résumé, le moment Li est donné par la formule
Li == t/iZi — xTiYi.
Les valeurs de Mi et de Ni se déduisent de celle-ci par une permutation circulaire simultanée sur les trois groupes de lettres I., M, N ; iï7, y, ^ ; X, Y, Z. On a ainsi
Ml = ^iXi — x{L\, Ni = Xiii — t/iXi.
3® Equations d'équilibre d'un corps solide (98).
En conservant les notations précédentes, écrivant que R et K sont nuls, on obtient les six équations nécessaires et suffisantes pour qu'il y ait équilibre, et appelées pour cette raison les six équations d'équilibre ; on les écrit, en remplaçant Li, Mi, Ni par leurs valeurs,
/ SXizrO, l 2(!/iZi — ;î,Yi) = 0,
(1) \ SYi = 0, (2) j S(:;iXi —xj.,) = 0,
( SZi =0; r 2(a;iYi — t/iXi)=0.
4° Conditions d'équivalence de deux systèmes (99).
En conservant la notation précédente pour un des systèmes, mettant un accent pour les éléments du second et exprimant que R et R' et que K et K' coïncident, il vient
/ sxi = sx;, ' / s(^,Zi - .lYi) = 2:(2/;z;-yiYi),
(l) 2Yi = 2Y;, (2) j 2(.~,Xi-a;iZi)=2(.;Xi-a;;Zl),
5° Conditions pour qu^un système de forces se réduise à un couple (100).
Il suffit d'écrire que la résultante R est nulle :
2Xi = 0, 2Yi = 0, SZi = 0.
6** Conditions pour que les forces se réduisent à une force unique (101).
Pour exprimer que K est nul ou perpendiculaire sur R, on écrit que la projection de K sur R est nulle ; or la projection de K égale la somme algébrique des projections des trois composantes JU, M, N dont les angles avec R sont a, ?, y î on a donc
proj. K = L cos a -4- M cos p + N cos Y = ;
lOO
STATIQUE
OU, en remplaçant cos a, cos p, cos y par leurs valeurs -jr»
rr-, T^, et chassant le dénominateur R,
LX + MY-hNZrrO.
T Coordonnées dupoint d'application de la résultante unique ( i 1 ).
Je porte la longueur
sur une perpendiculaire 00'* h OR, dans le plan M perpendiculaire à OK et dans un sens tel que le moment de R par rapport à 0' (*) soit de sens contraire à OK. O'R', égale, parallèle à OR et de même sens, est la résultante cherchée (101). Cela posé, j'ima^ gine la force qui serait représentée par RK', égale, parallèle à OK et de même sens. 00' est dirigé dans le sens du moment OG de cette force. D'ailleurs ce moment hypothétique a pour valeur
(2) OG=:KXR.
Divisant membre à membre les égalités (1) et (2), il vient
