Réactions de deux corps solides l'un sur l'autre

i» Soient deux corps solides se touchant par leurs surfaces S et S' au point M de la première, et au point M' de la deuxième. Si la surface S par exemple est fixe, le point M' obéira à toute force tendant à lui donner un déplacement extérieur à S; au contraire, tout déplacement normal à S et dirigé vers l'intérieur est impossible. Si donc on exerce sur le point M' une force dans cette direction, cette pression sera dotruite par la réaction de la surface S. Une force oblique peut se décomposer en deux, Tune normale, détruite par

la réaction de la surface, l'autre tangentielle et qui produit le mouvement.

2° Quand on dit qu'un point matériel M est assujetti à décrire une surface S, on imagine qu'il soit compris entre la surface

s- :*^'^*?^jFr.

106 STATIQUE

s et une surface infiniment voisine Si de façon que ees surfaces puissent réagir chacune dans un sens.

3» Si le point M est assujetti à décrire une ligne C, on doit

imaginer qu'il est dans Tin-

térieur d'un tube de très

\N^>^::^^^^^^^ petit diamètre, ayant pour

'^<:^;;'v:^C^\^\\^^ C axe la ligne G. Dès lors le

point M ne pouvant subir N aucun déplacement normal

à cette ligne, toute force N appliquée au point M dans le plan normal sera détruite par la résistance de la ligne.

108. Mode d'action d'un fil. — Un fil ne résiste qu'aux efforts de traction, ce qu'on exprime de la façon suivante :

Pour que deux forces V et Q appliquées aux extrémités d^un fil rectiligne tendu AB Se fassent équilibre, il faut et il suffit que ces forces soient égales et dirigées suivant les prolongements du fil.

Partageons par la pensée ce fil en deux parties AM et BM ; la partie AM étant en équilibre sous l'action de la force P, le point M est soumis à une force T = P dirigée en sens inverse de P ; de même la partie BM est soumise à une

force T' = Q appliquée au point M en sens inverse de Q. Donc au point M sont appliquées deux forces contraires égales à la valeur commune de P et Q. Cette valeur des deux forces T et T est la tension du fil. Elle tend à rompre le fil au point M.

Corollaire, — La tension est la même tout le long d'un fil tendu libre.

gf^^^^?^'^:^

SCSJOm «BRB PA£ DUS OBSTACLES

Lorsqu'un fil s'appuio sur un obstacle nous admettrons

encore que la condition d'équilibre est que les tractions P et Q soient égales, et appliquées suivant les prolongements des brins CA et CB.

On voit, comme précédemment, que la tension est la même tout le long du fll.

Au contraire si un fil est fixé par un de ses points 0,

une force AP appliquée au brin OA ne se communique pas à la partie OB où la tension peut être nulle et ne dépend que des forces appliquées au brin OB.

109. Théorème. — Pour qu un corps qui repose sur un 'plan inébranlable soit en équilibre^ il faut et il suflît que les forces qui agissent sur lui se réduisent à une résultante normale au plari^ dirigée vers lui et le perçant à Vintérieur du contour d'appui:

Soit P le plan inébranlable. Je réprésente par deux projections C, C, un corps qui repose sur le plan P par la surface d'appui S, S'. J'examine d'abord quelles réactions peut ofl'rir le plan P. Il ne peut exercer sur le corps C que des réactions normales, dirigées vers le haut et appliquées aux divers points de la surface S. Toutes ces forces ont une résultante N, N' normale au plan P et dirigée vers le haut. Enfin son point d'application est intérieur à la surface S. Cela posé :

■tWK.

108 STATIQUE

1° La condition de V énoncé est nécei-saire. — L'hypothèse est qu'il y a équilibre. Ainsi la réaction N du plan fait équilibre à l'ensemble des forces appliquées au corps C/ Ces forces ont donc une résultante égale et directement opposée à N. Cette résultante satisfait aux trois conditions de renoncé, d'après ce qu'on vient de dire sur .N.

2° La condition est suffisante. — L'hypothèse est maintenant que les forces appliquées au corps C se réduisent à une force R normale au plan P, dirigée vers lui et le rencontrant en un point intérieur à S. Cette force est détruite par la réaction du plan P. C. Q. F. D.

Remarques. — i* On peut, en se basant sur la règle de composition des forces parallèles, répartir la réaction résultante N d'une infinité de manières entre les différents éléments de la surface S. La répartition semble donc indéterminée. Mais ce résultat théorique ne répond à aucun cas naturel. Et, en effet, dans l'étude des corps solides, on néglige les déformations dues aux efforts qu'ils supportent (il). Cette approximation, suffisamment légitime en général, cesse de l'être dans cette partie de la question. Car ce sont précisément les déformations des corps solides qui mettent enjeu leurs réactions élastiques. La théorie de rélasticité des corps solides est la science qui traite de ces questions. Elle est nécessaire pour résoudre entièrement celle qui nouroccupe.

2' On peut, dans des cas particuliers simples, déterminer facilement la répartition de la réaction N. Si le corps G est un cylindre droit, homogène, reposant par sa base sur un plan horizontal, on peut admettre que, sauf une légère irrégularité sur le contour d'appui, la pression due au poids du corps se répartit également sur toute la surface S. Stle coçps pesant repose sur trois points d'appui, ce qui est le cas d'un trépied, on aura h décomposer le poids du corps en trois forces verticales appliquées en ces trois points. Je laisse au

lecteur le soin do résoudre ce problème indiqué dans les exercices. Dès qu'il y a quatre points d'appui, comme dans une table, le problème devient indéterminé.

3** Si la surface d'appui est remplacée comme dans le cas du trépied et de la table, par un certain nombre dépeints d'appui isolés, A, B, C, D, E, F, on doit, dans renoncé du théorème, entendre par contour d'appui le polygone ABCD qui enveloppe tous les points d'appui, et dont les sommets sont eux-mêmes des points d'appui. Pour définir facilement ce polygone, on peut imaginer un fil dans la position fgh^ entourant l'ensemble des points d'appui marqués par des piquets.

Tirant alors sur les brins f et h jusqu'à tendre le fil, on amène celui-ci dans la position f'g'h' qui définit le polygone d'appui.

4° Si la verticale du centre de gravité d'un corps pesant tombe à l'extérieur du polygone d'appui, le poids du corps et la réaction du plan forment un couple dont relTet est de faire basculer le corps autour d'une ligne ou d'un point d'appui. C'est ainsi qu'une voiture dont la charge est trop élevée au-dessus du sol risque de verser si une des roues vient à être accidentellement soulevée par un obstacle ou ^une inégalité du terrain.

110. Théorème. — Pour quun solide qui a un 'point fixe soit en équilibre, il faut et il suffit que le couple résultant relatif à ce point soit nul.

La fixité du point ne peut offrir qu'une réaction N passant par ce point. Je transporte les forces en ce point ; soient R et K la résultante de translation et le couple. Cela posé :

STATIQUE

i"* La condition de lénoncé est nécessaire.

Car s'il y a équilibre, le couple résultant des forces et de N relatif au point est nul (98) ; comme le couple de N

est nul, ce couple résultant se réduit à K, qui par suite est nul .

2* Elle est suffisante.

Car si K est nul, il ne reste que R, qui sera détruite par la réaction du point fixe, et il y aura équilibre.

Remarque. — La réaction du point fixe est égale et directement opposée à la résultante de translation.

411. Théorème. — Pour qu^un solide qui a un axe fitre soit en équilibre^ il faut et il suffit que le moment résultant des forces par rapport à cet axe fixe soit nul.

En effet, l'axe ûxe X ne peut offrir que des réactions telles

que AiNi passant par Tun de ses

X points. On peut transporter cette

réaction en un point de X, en Ori, en y adjoignant un couple dont Taxe ki est perpendiculaire sur X. Si on fait de même pour toutes les réactions, on aura une résultante de translation r; les axes des couples A*i, A',, .... étantdans un même plan perpendiculaire à X, leur résultante k

sera perpendiculaire sur X. Je transporte aussi les forces au point 0. Soient R et K la résultante et le couple de translation. Cela posé :

1° La condition de l'énoncé est né^ ces s aire.

Car la résultante de K et de k de-

vant être nulle, K doit être directement opposé à /:, c'està-dire perpendiculaire sur X. Donc la projection de K sur X, c'est-à-dire le moment résultant des forces par rapport à X, est nul.

2° Za condition est suffisante.

Car si le moment résultant des forces par rapport à X est nul, K est perpendiculaire sur X, on peut alors faire passer par X le plan du couple K ; dès lors les forces du couple, rencontrant l'axe, seront détruites par la résistance de cet axe. D'ailleurs il en est de même de R. Donc il v a équilibre.

Remarque. — Les réactions de l'axe sont indéterminées : i*» à cause de l'indétermination du point 0; 2<* par suite dos transformations qu'on peut faire subir au couple K. La théorie de l'élasticité est nécessaire pour terminer la question.

* 112. Théorème. — Pour qu'un solide qui peut seulement glisser le long d'un axe fixe soit en équilibre^ il faut et il suffit que la somme des p^'ojections des forces sur cet axe soit nulle.

Chaque point A est assujetti à décrire une parallèle AA' à

Taxe X. La réaction de cette ligne ^ ne peut donc être que perpendicu-

laire à AA' au point A.

Si donc on transporte ces réactions en un point quelconque de l'espace, leur résultante de translation r sera perpendiculaire à la direction X. Je transporte aussi les forces au point 0. Soient R et K la résultante et le- couple de translation. Cela posé :

i^ La condition de l'énoncé est nécessaire.

Car s'il y a équilibre, la résultante de R et de r est nulle ; donc R directement opposée à r est perpendiculaire sur X, et la somme des projections des forces sur X est nulle.

2° Elle est sufpsa7ite.

En effet, si elle est satisfaite, R est perpendiculaire sur la pa-

STATIQUE

rallèle à X menée par le point 0. Elle est donc détruite par la résistance de cette ligne. En second lieu, la direction des forces du couple K est arbitraire dans ,1e plan de ce couple, et on psut prendre cette direction parallèle à l'intersection des plans perpendiculaires sur K et sur X. Ces forces étant perpendiculaires sur X, leur action est détruite par la résistance des parallèles à X menées par leurs points d'application. •

* H3. Théorème. — Pour qu'un corps solide qui peut tourner autour d'un axe et glisser le long de cet <zxe soit en équilibre, il faut et il suffit que le moment résultant des forces appliquées à ce corps par rapport à cet axe soit nul et que la somme de leurs projections sur cet axe soit nulle.

En effet. Taxe X ne peut offrir que des réactions normales.

Si donc on transporte ces réactions en un point quelconque de l'axe, on obtient Une résultante de translation r et un couple k tous deux perpendiculaires sur X. Transportons aussi au point les forces appliquées au corps.

Soient R et K la résultante et le couple de translation. Cela posé :

1° La condition de l'énoncé est nécessaire.

Car s'il y a équilibre, les résultantes de R et r, et de K et ^ sont nulles ; c/est-à-dire que R et K sont égales et directement opposées respectivement à r et ^. Donc la somme des moments par rapport à X, et la somme des projections des forces sur X sont nulles.

2° La condition est suffisante.

Car si elle est satisfaite, R et K sont perpendiculaires sur X. Dès lors R est détruite par la résistance de l'axe. D'ailleurs on peut faire passer le plan du couple K par X et choisir dans ce plan les forces du couple perpendiculaires sur X ; elles sont alors détruites par la résistance de cet axe et il y a équilibre. ^

EXERCICES PftOPOSÉS SUR LE CHAPITRE III

Voici d*abord quelques applications simples relatives aux forces situées daus un même plan. Dans les applications numériques, à moins d'indication contraire, les unités seront le mètre et le kilogramme.

i. Trouver une force dont les composantes par rapport à deux axes rectangulaires Oo?, Oy sont X = H-5, Y = — 3 et dont le moment par rapport au point est A = — i ,3.

2. Une force AP est donnée en grandeur et position ; trouver le lieu des points tels que le moment de AP par rapport au point ait une valeur A.

Application : AP = 25, h zn — 12,5.

3. Un corps solide, mobile autour d'un point 0, est sollicité par une force fixe AP dont le moment par rapport au point a pour valeur k. Trouver le lieu des projections du point sur les forces BQ, de grandeur donnée et capables d'équilibrer A P.

Application : AP = 250, k — 275, BQ = 300.

4. Aux données de la question 2, on ajoute celle d'un point B du plan GAP ; puis on considère toutes les forces BQ de grandeur arbitraire, mais issues du point B, et qui sont capables d'équilibrer AP. Trouver: {«le lieu des projections du point sur ces forces BQ ; 2° le lieu de leurs extrémités Q. 3<» Déterminer parmi ces forces BQ celle qui a la grandeur donnée

5. Trois forces données dans un même plan sont appliquées à un corps solide. Quel point de ce corps faut-il fixer pour que les trois forces soient équivalentes sur le solide qui a ce point fixe ?

6. Trouver une force qui ait pour moments k, k', /t" par rapport à trois points donnés 0, 0', 0" non situés en ligne droite.

Application : k =z-{-^0, k' = -\- 25, k" =z — 30.

CARVALLO.

MECAN.

7. Qu'arrive-t-il si les trois moments donnés de la question no 6 sont nuls?

8. On donne deux axes rectangulaires Oa?, Oy et, dans leur plan, trois forces Pj, P2, P3. Leurs bras de levier par rapport au point sont en grandeur et en signe cîj, t/j, do. Elles font avec Taxe Ox les angles aj, aj, as. Déterminer la résultante de ce système.

Application : Pi = i^s^ Pg = 2^^^ Pa = ^^« ;

a; = — 30S oLi = -h 30°, ag = H- 45°.

Les exercices suivants sont d'un ordre de difficulté un peu plus élevé.

9. On donne un tétraèdre OABG dont Tangle trièdre est trirectangle. Suivant les arêtes du tétraèdre sont appliquées six forces représentées par OA, OB, OC ; BC, CA, AB,

Déterminer : 1° la résultante de translation ; 2° l'axe du couple relatif au point 0. 3° Prouver que les six extrémités des composantes de ces deux vecteurs suivant les trois arêtes du trièdre sont sur une même sphère.

Application : OA = 4% OB = 6% OC = 10°. De plus, la longueur OA représente une force de 2^B,

10. On donne deux forces AP et BQ. Trouver un point tel que si Ton y transporte ces forces, le couple qui provient de P soit équivalent à un couple donné dont le plan est parallèle à AP et que le couple qui provient de Q* ait un moment de grandeur donnée.

11. Electromagnétîsme,. — L'action d'un élément de courant MN sur un pôle magnétique austral A est une force F perpendiculaire sur le plan AMN, dans un sens tel qu'elle porte A vers la

. T-11 • • UA 1? MN. sin AMN .

gauche du courant. Elle a pour mtensité v = {x. =2 » '^

constante {jl ne dépendant que des intensités du courant et du pôle magnétique. Enfin la force F est appliquée, non pas au point A lui-même, mais passe par le point où est situé l'élément de courant. Cela signifie que si le pôle A appartient à un corps solide aimanté, ce corps solide se déplace comme s'il subissait la force F en un point qui coïnciderait avec la position actuelle de l'élément MN. C'est paradoxal, mais c'est une donnée de l'expérience. Cette loi étant admise, établir les résultats suivants:

EXERCICES SUR LE CHAPITRE III il5

d*» Si Ton transporte la force F au point A, Taxe du couple qu'il faut lui adjoindre est représenté en grandeur, direction et sens par la perspective mn de cet élément sur une sphère de centre A et de rayon fx ;

2° Le couple résultant de toutes les forces dues aux éléments d'un courant fini CC a pour axe la droite ce' qui joint l'origine à Fextrémité de la projection du courant CC sur la même sphère.

Ces résultats sont d'une grande utilité dans Tétude des expériences d*Ampère.

. 12. Des couples représentés en grandeur et orientation par les faces d'un polyèdre fermé (vues toutes de l'extérieur dans le sens dextrorsum, par exemple) se font équilibre.

On pourra aYantageusemcnt, pour démontrer ce théorème, utiliser le résultai du nO 106.

13. Des forces normales aux faces d'un tétraèdre, proportionnelles à ces faces, appliquées à leurs centres de gravité et dirigées toutes vers l'extérieur ou toutes vers l'intérieur, se font équilibré. Étendre ce résultat à un polyèdre quelconque.

Les dernières questions ont une généralité et une importance qui en font un complément à la théorie. Ce caractère s'accentue dans les questions suivantes. Voici d'abord un groupe de propriétés qui rentrent dans la théorie des moments par rapport à une droite.

14. Si n forces se font équilibre sur un corps solide, et si une droite rencontre n — 1 d'entre elles, elle rencontre la n«.

15. Appliquer le théorème de la question 14 au cas de trois forces. En conclure que si trois forces se font équilibre, elles sont dans un même plan.