Soient deux systèmes de forces appliquées à un corps

solide, PijPî, j et Qi, Q2, Si l'on considère la somme

algébrique de tous les tétraèdres qu'on peut former en prenant pour arêtes opposées une force P du premier système et une force Q du second, cette somme est constante, quels que soient les deux systftnes choisis parmi tous les systèmes équivalents respectivement aux deux systèmes considérés.

il6 STATIQUE

Ce théorème est une conséquence du n^ 91 , comme cela est mis en évidence par la formule symbolique

(Pi + P2+..,.)(Qi + Q2-+-...) = (P'i + Pt + ...XQ'i+.Q'2 + ...),

laquelle exprime le théorème et dont la signification est celle-ci : les P* et Q' sont les forcfts des deux nouveaux systèmes équivalents aux premiers ; on imagine qu'on développe les deux membres par la règle de multiplication de deux polynômes. Enfin, le produit une fois développé, on convient que PQ représente le tétraèdre qui a pour arêtes opposées les forces P et Q. Cette formule, qui conduit à la démonstration de la question 16, conduit aussi facilement à l'énoncé de corollaires remarquables. D'abord, en supposant que le système Q est équivalent au système P et faisant coïncider les systèmes P' et Q' avec P, on obtient cet énoncé :

17. La somme algébrique des tétraèdres construits de toutes les façons possibles avec, une force d'un premier système et une force d*un second système équivalent au premier est égale au double de la somme algébrique des tétraèdres qu'on peut construire avec les forces du premier système prises. deux à deux.

Puis en faisant coïncider Q avec P et Q' avec P' :

18. La somme algébrique des tétraèdres construits sur les forces d'un système, prises deux à deux, égale la somme algébrique des tétraèdres construits avec les forces d'un quelconque des systèmes équivalents au premier. (Mœbius.)

Trois cas particuliers de ce théorème sont les suivants :

19. Si un système de forces est réductible à une force ou à un couple, la somme algébrique des tétraèdres construits avec les forces de ce système prises deux à deux est nulle.

20. De quelque façon qu'on réduise à deux les forces appliquées à un corps solide^ le volume du tétraèdre construit sur ces deux forces est constant. (Chasles.)

21. De quelque façon qu'on réduise à une force et à un couple les forces appliquées à un corps solide, on obtient un tétraèdre constant en menant par un même point trois vecteurs représentés respectivement par la résultante de translation, la force et le bras de levier du couple. Ce tétraèdre est équivalent à celui de la question 20.

La question 21 met sur la voie des suivantes :

rr<^^i»> f

in

22. De quelque façon qu'on réduise à une force et à un couple les forces appliquées à un corps solide, la projection de Taxe du couple sur la résultante de translation est constante.

23. Faire la réduction de façon que le couple soit minimum. Le lieu des points pour lesquels le couple est minimum est une pa* rallèle à la résultante de translation appelée axe central. L'axe du couple minimum est perpendiculaire à cet axe.

24. Etudier la disposition des axes des couples résultants quand le point où Ton transporte les forces occupe toutes les positions de Tespace autour de Taxe central.

25. Réduire les forces appliquées à un solide, à deux forces qui fassent entre elles un angle donné, Tune d'elles ayant son point d'application sur Taxe central et Tautre étant perpendiculaire à cet axe.

Voici un exercice qui peut être rattaché à cette série de questions :

26. On donne deux systèmes de points Ai, Aa, . . ., A»; Bi, B^, . . . , Bp, de masse «i, «a, . . . , a„ ; Pi, Pg, . . . , p/». Les masses totales de ces systèmes sont a et P et les centres de gravité A et B, On considère la force représentée par le segment A.Bfc multiplié par le produit oL^k des masses des deux points Ai et Bjt, et on applique toutes les forces ainsi obtenues en combinant deux à deux les points du premier système avec les points du second. Démontrer que ce système de np forces admet une résultante unique représentée par apAB.

Ce théorème peut se représenter par la formule symbolique

(ajAjH-OtAsH h-anAn)vPiB, -h p.B, + ... + P»Bn) = apAB,

analogue à la formule de la question 16.

Cette question 26 conduit comme la question 16 à des cas particuliers intéressants. Ifous laissons au lecteur le soin de les découvrir. Bien d'autres théorèmes de natures en apparence très diverses peuvent être ainsi représentés symboliquement par la règle de multiplication des polynômes. Je les ferai connaître ailleurs en temps opportun. Dans cette catégorie rentrent les théorèmes suivants relatifs aux moments linéaires.

Dans ces théorèmes, j'appellerai moment linéaire^ ou plus brièvement moment d'une force AP par rapport à un point 0, Taxe du couple qui provient de la translation de la force AP au point (n« 96).

27. Le moment de la résultante de forces concourantes par rap-

118 STATIQUE

port à un point quelconque est la résultante des moments de ces forces par rapport au même point.

28. Adapter à ces nouveaux moments la théorie du § 1 relative aux moments par rapport à un segment de droite (n®* 87 à 96).

Voici un complément d'une tout autre nature qui pourra être (il'une grande utilité pratique pour les élèTes :

29. Ecrire les équations d'équilibre d'un solide gêné par un obstacle, dans les cas examinés aux n«» 109 à 113.