Équation d'équilibre de la balance. — Soit AOB le

CARVALLO . — MÉGAN . 9

STATIQUE

triangle isocèle formé par le point d'appui et les points d'application A et B du poids P et du poids Q = P n-p. Si je ne suppose pas ces points en ligne droite, quoiqti'il en soit ainsi réellement, c'est pour montrer par le calcul qu'il y a effectivement intérêt à les mettre en ligne droite. Soit G le

centre de gravité du fléau. Par raison de symétrie, il est situé sur la bissectrice Oft de l'angle AOB. Par suite de la surcharge p, le fléau ësi dévié de sa position première où la droite OG est verticale. Il se met en équilibre dans une certaine position A'OB'. L'équation d'équilibre entre les poids P et Q et le poids nr du levier est alors

(i) m*Q + m*P-hm*TïT = 0.

Cette équation fera connaître l'angle d'inclinaison inconnu, de la balance AOA' = w, dès qu'on aura^évalué ses trois termes au moyen de w et des données, qui sont

OA = OB=/, OG=rf,

HOA = BOK = a.

Je compte les moments positivement quand ils tendent à faire tourner le fléau de droite à gauche. Il vient

"m* Q =-h(P + p)OB' cos KOB' =Hr(P-hp)/cos(aH- w), m* P =— P.OA' cos A'OH = — Pl cos( a — a>), m* w = — TîT.OG cos G'OH = — w.d sin w.

L'équation d'équilibre (1) s'écrit donc

(P-hp)Z COS(aH- w) — p/ C0S(a — a>) — wd sin w = 0.

Dans cette égalité, je remplace cos (a h- w) et cos {a — w)

par leurs développements. J'ordonne ensuite par*rapport à ces o) et sinu>. Enfin je divise par cos (*>, de façon à dégager la valeur de tg w. Il vient ainsi

^^ ^"^""(^P-hpj/sina-^GTc/."

Plus w sera grand pour une surcharge donnée jo, plus la balance sera sensible. La valeur de tg to peut donc servir de mesure à la sensibilité. Or le dénominateur de tg w contient P. Ce terme en P a pour effet de diminuer la sensibilité à mesure que le poids mesuré P augmente. C'est là un grave défaut parce que les frottements, qui augmentent avec la charge P, diminuent aussi la sensibilité. Il y a intérêt à rendre la sensibilité indépendante de P et, pour cela, il suffit défaire sin a = 0, c'est-à-dire a = 0. E^ d'autres tenues, le constructeur devra mettre les trois points A, et B en ligne droite. Dans ces conditions, la formule (2) devient

(3) tga)=-^.

Elle conduit à l'énoncé suivant :

La sensibilité d'une balance est proportionnelle à la longueur 1 du fléau; elle est en raison inverse de son poids m et de la distance d de son centre de gravité au point d*appui.

Ces trois conséquences sont assez évidentes a priori. Lés deux premières montrent que le fléau doit être long et lé^er. La troisième conduit à l'écrou de réglage décrit au n® 123.

f25. Balance de Roberval.' — Cette balance, très employée dans le commerce de détail, est représentée par deux projections (fig. 1 et 2). La figure 1 montre la balance de face ; la figure 2 estuneprojection du plateau gauche B, avec son système d'attache, sur le plan de profil de la figure i. Pour augmenter la commodité de la balance ordinaire et dimi-

STATIQUE

nuer ses dimensions, les plateaux f, p, p% au lieu de pendre au-dessous des couteaux 6, b\ h" fixés aux extrémités A et B du fléau, reposent au-dessus d'eux, comme le montre la figure 2 et la moitié gauche de la figure 1 . Il faut alors les empêcher de basculer autour des couteaux. C'est le but de Tarticulation CDE représentée seulement sur la moitié droite de la figure 1 où on a enlevé le reste pour augmenter

?np

^smi.

Fig. 1

Fig. 2

la clarté. Elle est située dans le plan de symétrie de front, à égale distance des deux tiges AB, B', B" (fig. 1 et 2), qui, liées entre elles, constituent à elles deux le fléau. La tige horizontale CD pivote autour d'un point C, fixé au pied de l'appareil et situé dans le plan de profil du couteau 0. En D, elle s'articule avec la tige verticale DE, fixée au centre du plateau. Ce dispositif laisse entièrement libre le mouvement du plateau dans le sens vertical, lll'empêche seulementrde verser, en maintenant la tige DE verticale. Le jeu des forces est celui-ci : La tige CD oppose une réaction N dirjgée suivant CD. La valeur de N est telle que, par rapport à l'axe du couteau 6, la somme des moments de N et de la charge P du plateau soit nulle (ilO).* Comme le bras de levier de N est toujours beaucoup plus grand que celui de P, par compensation, cette réaction N est faible. La charge du couteau B est la résultante de P et de N. Elle

fST'-n'.iw^k;— >-.

diffère très peu de P. Seulement, la composante horizontale ^ exige que le couteau repose, non pas sur un plan, mais sur une chape de forme curviligne ou, mieux encore, angulaire. Le plateau gauche est maintenu par un système identique au premier ; mais on en a supprimé le dessin pour rendre plus claire la figure 1.

J'ai décrit le mode** d'attache des plateaux qui {n'a paru le plus facile à faire comprendre. If y en a d'autres où les deux tiges identiques à CD sont remplacées par une se^^e, supportée par les tiges^telles que ED. Deux heurtoirs placés sg^ centre l'empêchent de se porter à droite ni à gauche. Ce second dispositif a, pour l'exposition, l'inconvénient de faire croire que la tige inférieure auxiliaire joue le même rôle que le fléau, ce qui compliquerait la théorie. Il n'en est rien, quoi qu'en^pensent quelques auteurs : dans tous les cas, la charge des plateaux repose exclusivement sur le couteau du fléau, qui est le seul organe essentiel. - .

126. Balance Romaine. — Elle se compose d'un levier AOB symétrique par rapport au plan du papier. On voit en 0, sur la face antérieure, un couteau, le tranchant en dessous,

llllllll.i.lMII'll

par lequel il repose sur Un crochet fixe. C'est le point d'ap^ pui. Le petit br^s porte en A et A' deux autres couteaux, le tranchant en dessus. Chacun d'eux supporte un crochet où l'on peut suspendre le corps à peser. Enfin P est un poids mobile le long du grand bras OB. Les positions de

STATIQUE

rées au moyen du curseur H et d'une tout le long du grand bras. Pour fair^ ne le curseur M à la position qui amène lontal. La théorie de cette balance et de blit comme il suit.

vier, appliqué en Gf^'

rdeau, appliqué en A,

le le long du grand bras,

irs de l'équilibre arec le poids Q,

Èqliilibre pour Q = 0. •

i équations d'équilibre :

*.OM=-Q.OA-Hm.OG,

P. OC = 0.00, membre à membre ces deux équations,