V. — Treuil

132. Descrij^tion du treuil — Comme le levier et le palan, le treuil a pour objet de vaincre une résistance avec une puissance plus faible. C'est un corps mobile autour d'un axe fixe. Il se compose d'un cylindre horizontal AB, généralement en bois, appelé arbre. Ses deux extrémités A et B sont terminées par deux tourillons t, t, reposant sur des coussinets c, c et qui déterminent l'axe de rotation. Au pro-

longement de l'un des tourillons est fixée une manivelle m. Sur l'arbre s'enroule une corde dont une des extrémités est fixée à l'arbre en un point D. L'extrémité libre porte le fardeau Q. Pour le soulever, on tourne la manivelle m, dans le sens de l'enroulement de la corde, en y appliquant la puissance P qui est engénéral l'effort de l'homme. Le treuil que nous avons décrit est souvent installé au-dessus des puits. L'arbre peut, dans d'autres cas, être vertical, comme dans le cabestan utilisé par les marins.

133. Équilibre du treuil. — Pour qu'il y ait équilibre, il faut et il suffît (111) que la somme algébrique des moments des forces P et Q par rapport à Taxe de rotation AB soit nulle. Les bras de levier de ces forces sont leurs distances à Taxe. Comme elles sont dirigées tangentiellement aux circonférences que décrivent leurs points d'application, les bras de levier sont les rayons de ces cercles, savoir: pour Q, le rayon q de l'arbre ; pour P; le rayon p de la manivelle. L'équation d'équilibre est donc

Pp = Qî.

Quant à la charge des tourillons A et B, elle est déterminée comme il suit :

134. Charge des tourillons. — Les forces P et Q peuvent être transportées en P' et Q' aux points où l'axe est coupé

par les plans des cercles que décrivent leurs points d'application. On doit, il est vrai, adjoindre à chacune des forces transportées un couple, mais ces couples se détruisent : cela résulte de la condition d'équilibre du n^ 133. La force P' peut être décomposée en deux autres pi et pj, appliquées en A et B d'après la règle de composition des forces parallèles (41). De même Q' peut être remplacée par deux forces qx et </j, appliquées en A et B. La charge du tourillon A sera la résultante de pi et çi. La charge de B sera' la résultante de pj

135. Treuil des carriers. — Les treuils installés au-dessus des puits des carrières ne diffèrent des précédents que par le mode d'application de la puissance. La manivelle est remplacée par une grande roue à chevilles. Un homme

monte sur ces chevilles comme sur une échelle. Quand il est au bas de la roue, son poids tend à maintenir la roue dans cette position. S'il s'élève, il tend ii la faire tourner de

façon à L'Ire ramené au bas par la rotation. Cette tendance, duc au moment du poids de l'homme, augmente avec son bras de levier, c'est-à-dire jusqu'au moment où l'homme atteint l'extrémité du diamètre horizontal. Si donc, avant qu'il atteigne cette position extrême, le moment de son poids P atteint et dépasse le moment du fardeau qui agit en sens contraire, il entraînera le treuil et soulèvera le fardeau Q. La condition d'équilibre est que la somme

algébrique des moments de P et Q soit nulle. Le moment de la résistance est encore Q9(i32). Le moment de la puissance AP est — P.OD. Or dans le triangle ADO, rectangle en D, on a

OD = OA cos AOD.

Si Ton porte cette valeur dans l'équation des moments, en posant

?Q OA = p et ÂOD = i,

il vient, pourra condition d'équilibre, (1) P. p. cos i = Q.q, *

p eiq sont comius par construction. On connaît le poids de rhomme P et celui du fardeau Q. La formule (i) permet alors de calculer Tangle i qui définit la position du manœuvre sur la roue. On obtient

cos t = -r-i P.p

Pour que le problème soit possible, et par suite pour que rhomme puisse monter le fardeau, il faut que Q ne soit pas trop grand, de façon que la valeur de cos i donnée par la formule (2) soit inférieure à i. Il faut donc que Ton ait

Q?<Pp

ou

Telle est la limite de la charge Q que peut monter rhomme de poids P.

136. Remarques générales sur les machines et sur la statique. — Pour terminer, nous devons rappeler que nous avons examiné les machines simples au seul point de vue

CARVALLO. — MiCAIf. 10

146 STATIQUE

Statique, Le sujet est loin d'être épuisé. Les propriétés cinématiques et dynamiques des machines sont du plus haut intérêt. Je crois même devoir signaler la plus importante de ces propriétés pour le levier, le palan et le treuil, afin d'éviter une illusion qui pourrait naître de l'étude restreinte que nous en avons faite. Nous avons vu qu'on peut, à l'aide de telles machines, vaincre une résistance aussi grande qu'on veut avec une puissance donnée, pourvu qu'on dispose de machines assez résistantes et en même temps assez légères. Il importe de se rendre compte que, ce qu'on gagne ainsi d'un côté, on le perd de l'autre. Si, pour équilibrer Q, il suffit d'une puissance #> dix fois plus faible, par exemple, il faut en revanche, pour donner au fardeau Q un certain déplacement, que la force motrice P imprime à son point d'application un déplacement dix fois plus grand. C'est là un principe tout à fait général, exprimé par cet adgige : « Ce qu'on gagne en force, on le perd en vitesse, »

Son importance et sa généralité sont telles qu'on en pourrait faire la base de la statique, en l'adoptant comme principe fondamental. Les programmes en ont décidé autrement pour des raisons très valables et qui ne peuvent être exposées ici; mais il importe que des débutants ne se figurent pas que la méthode suivie parleurs maîtres est la seule possible. C'est seulement celle qui a été jugée la meilleure, soit absolument, soit pour l'état de maturité des élèves à qui elle s'adresse.

Ce ne sont pas seulement des exercices sur les iiiachines simples que je réunis ici, mais aussi sur les systèm^gs à liaisons. Je n'ai pas cru devoir les faire entrer dans le chapitre III, déjà très chargé, et où Tétude des liaisons joue un rôle secondaire.

1. Une force P parallèle à la ligne de pente d'un plan incliné maintient en équilibre un poids Q- Quelle est Tinclinaison du plan ?

Exemple .'0 = 3, P = 2.

2. Un CQfps repose en équilibre sur un plan incliné. La pression N qu'il exerce sur ce plan, la puissance P qui le maintient en équilibre et son poids Q sont proportionnels aux trois nombres n, p, q. Trouver Tinclinaison du plan et Tangle de la puissance avec le plan incliné.

Application .•n=:4, j9 = 5, (^=6.

3. Une sphère du poids P qui repose sur un plan dont l'inclinaison est t est maintenue en équilibre sur ce plan par un fil horizontal. Calculer la tension du fil.

Application : i = 30 ^ P = 2ogr.

i. Un poids P est maintenu en équilibre sur un plan incliné

P par trois forces égales à — , Tune horizontale, l'autre verticale et

la troisième parallèle à la ligne de pente, chacune dans le sens où elle combat l'effet de la pesanteur. Calculer l'inclinaison du plan.

5. Un levier AB est formé par une barre rectiligne homogène de longueur l et dont le poids p n'est pas négligeable. Le point d'appui C est tel que AC = 2CB. Conditions pour que ce levier soit en équilibre sous l'action de forces parallèles F et F' agissant à ses extrémités A et B.

6, Un levier est composé de deux bras rectangulaires, pesant

148 STATIQUE

pkg par mètre. Leurs longueurs sont 1" et 2" : !<> Quel poids faut-il attacher à l'extrémité du bras le plus court pour qu'il soit incliné à 45° sur le plan horizontal? 2^ Quelle est son inclinaison en i*absence de cette force ? 3® Dans ces deux cas, calculer la charge du point d'appui.

7. Une tige OBA pèse p kilogrammes par mètre. On veut en former un levier du premier genre en fixant son extrémité . Une résistance verticale donnée Q, dirigée vers le bas, est appliquée en un point donné R de la tige. En quel point du prolongement de OB faut-il couper la tige supposée trop longue, pour rendre minimum la puissance verticale qui, appliquée à l'extrémité de la tige ainsi raccourcie, maintient le levier en équilibre dans la position horizontale ?

3. On pèse un corps dans Tuii des plateaux d^nne balance, et l'on constate que, pour lui . faire équilibre, il faut placer dans Tautre un poids de \^^* On le place alors dans ce second plateau et Ton trouve qu'il faut cette fois { 200 grammes dans le premier plateau pour lui faire équilibre. Quel est le rapport des bras de levier du fléau et le poids réel du corps ?

9. L'un des bras de levier d'une balance fausse surpasse l'autre

de la fraction — du plus petit. Lorsqu'on se sert de cette balance,

on met aussi souvent les poids d'un côté que de l'autre. Combien le marchand perdra-t-il ou gagnera- t-il pour cent ?

10. Un marchand ambulant pèse des fruits dans une voiture inclinée sûr le plan horizontal. Sa balance est juste, mais il la dispose suivant la ligne de pente de la voiture: 1* Dans quel plateau doit-il placer les fruits pour faire tort au client? 2® Le client, s'apercevant de la supercherie, note le résultat P de cette première pesée et fait placer les fruits pesés dans le second plateau. C'est alors le poids P' qui leur fait équilibre. Quel est le poids dont on lui aurait fait tort par la première pesée? S'il connaît l'inclinaison i de la voiture, peut-il utiliser les résultats des deux pesées pour évaluer la sensibilité de la balance employée?

11. Un^e^on est composé d'un levier muni d'une aiguille qui est verticale dans la position d'équilibre, en l'absence de toute charge. On place une charge P sur \% plateau qui porte à cet effet le peson. L'aiguille est déplacée d'un angle i. Démontrer que tg i est proportionnelle à P. En déduire un mode de graduation de l'instrument.

12. Quelle force faut-il employer pour soutenir un poids de 50^9 à Taide d'une poulie mobile, les brins de la corde faisant un angle de 60* ?

13. Quel angle doivent faire les deux brins de la corde qui passe sur une poulie mobile, pour que la puissance soit égale à la résistance ?