I X I X ... X X I X ... X «,„/, XIX

permutons les premiers indices; le terme deviendra ou bien, en vertu de la première des relations (9),

(Ji^ qi^-i^ __ ql^i„ [A] [<o I ['0] [h \

On aura donc, en désignant par (II) la portion de A qui provient des permutations de deux indices.

On peut poser ce qui donne

(ii)=-i; 2

OU bien

On peut obtenir des valeurs simples des coefficients de q\, ql, .... On a, en

effet, en se reportant à la signification (9) de [?o] et de [4 + ^1 et posant

Or la décomposition des fractions rationnelles donne

OÙ l'on a fait

2dk{2d — k) ^ 2dk{2d-hk)

On a d'ailleurs, par une formule connue,

71 cot7i0=2 ëTT^ ="2 ""2 ô-^^^iTa- ="2 ô^ir^w' où /„ varie de — co à + co. La formule (12) donnera donc

TTCOt-^

En portant dans l'expression (11), il vient ensuite

Nous représenterons par (I) le terme principal de A, ce qui nous donnera (i4) (!)= + '•

10. Permutations de trois indices. - Soient les trois termes de la diagonale

nous devons permuter les premiers indices 4, h^H de façon que tous changent de place; nous n'aurons que les deux permutations

qui résultent d'un nombre pair d'échanges de deux lettres. Les termes correspondants doivent donc être affectés du signe +, ce qui nous donnera

On aura donc, en désignant par (III) la portion de A qui provient des permutations de trois indices,

['o] [^'l] Ui\

On peut poser

k et k' désignant des entiers positifs différents de o; il viendra

(111)=- 2 y y y <hnk'q,^v

Si nous attribuons à X; et ^' les solutions k = \, k' = i ; k = i, k=i k= 1, k = \ \ k = i, k' =?>', k= 1, k' =-2; ... des équations

nous trouverons

\[^oJ ['o+ J] ['o+ 2] i] 3] ~^ [ïo+ 2] [^0+ 3]

y ( q±Qz!h ^ q\qk qyqzqu

Si l'on considère les quantités comme petites et d'un ordre marqué par l'indice i, on peut se borner à la première ligne de l'expression précédente, en négligeant seulement le huitième ordre. On trouve ensuite aisément, en opérant comme plus haut,

[«o] [i'o+A:] [4+ A'] i6 q{q^- k'^) iq-'-k'-') [q''- ^ ^01 -

et il en résulte

[4] [^"0+ i] [4+2] 16 q{q^-iy{rf- 4) ^ 2 V.

^ 3r/2-7 TT

[4] [4+2] [4+3] 16 q{q'^-i) (r/^-4)(r/^9) ^cot-ry;

(III) =71 COt- q