CHAPITRE II. — INTRODUCTION

Nous nous bornerons à ces indications, renvoyant, pour le développement complet du déterminant, au beau Mémoire de M. Hill, On the Part of the lunar Périgée... {Acta mathematica, t. YIIl). C'est la reproduction, avec quelques additions, d'un Mémoire publié à Cambridge (États-Unis) en 1877.

11. Il nous reste à donner quelques indications sur la manière d'éliminer les quantités des équations (3) : deux quelconques de ces équations peuvent s'écrire

[y] 6y — ^ biqj-i — o, L = j étant excepté dans le^j

d'où, en multipliant ces équations respectivement par + 1 et — '^^-y de façon à éliminer b^,

i ne doit prendre, dans cette formule, aucune des valeurs J et v. On peut écrire ce résultat sous la forme symbolique

On pourra de même éliminer b^' entre deux telles relations, et le résultat pourra être mis sous la forme

Ur''''bj-^b,gJ4> = o;

dans cette formule, on ne devra attribuer à i aucune des valeurs y, v et v'. On peut continuer ainsi jusqu'à ce que tous les b ayant des valeurs sensibles aient été éliminés; il ne restera plus que l'équation

d'où, en supposant que l'on ait pris / = o,

C'est l'équation qui détermine [x, dont on peut calculer ainsi la valeur numérique sans faire usage du déterminant A. Cela revient à éliminer successivement les quantités b^, au lieu de les chasser d'un coup.

12. Newton a fait le premier pas dans l'étude des mouvements de trois corps soumis à leurs attractions mutuelles. Ses tentatives, pour le cas général, ont abouti aux propositions LXVI à LXIX du premier Livre des Principes (Section XI), qui donnent plutôt des indications que des conclusions précises sur les mouvements des corps. Voici deux des énoncés :

Proposition LXVI. — Trois corps s'attirent en raison inverse du carré de la distance; les plus petits, P et S, tournent autour du plus grand, T. Je dis que le corps P, le plus voisin de T, décrira autour de ce dernier des aires qui approcheront plus d'être proportionnelles au temps, et que l'orbite de P approchera plus d'une ellipse ayant T pour foyer, si le grand corps T est attiré lui-même parles deux autres, que s'il était en repos, ou soumis à des attractions suivant une loi différente.

Proposition LXVII. — Le corps extérieur S décrit des aires plusproportionnelles au temps et une orbite plus voisine de la forme elliptique autour du centre de gravité 0 des corps intérieurs P et T qu'autour du plus intérieur T.

Sans suivre Newton dans ses démonstrations, nous croyons utile de reproduire sa construction géométrique pour la décomposition de la force perturbatrice.

Soit SN = ST (Jig\ i) la moyenne distance des corps P et S; l'attraction de S sur P, à cette distance moyenne, peut être représentée par la longueur SN. Si l'on prend sur son prolongement un point L tel que

SL /SNy

SN "~ V SP j '

SL représentera l'attraction exercée par S sur l'unité de masse de P, à la distance SP. La force SL peut ensuite se décomposer en deux autres, LM et MS, LM étant mené parallèle à PT.

Si l'attraction de S sur l'unité de masse de T est représentée par la longueur ST, il faudra, dans la détermination du mouvement relatif de P autour

de T, retrancher ST de SM. Il restera donc, en somme, trois forces agissant sur P : la force dirigée suivant PT, provenant de l'attraction de T, et inverse-

ment proportionnelle à PT ; la force égale et parallèle à LM, qui sera centrale comme la précédente, mais dont l'intensité sera beaucoup plus compliquée; enfin, une force égale et parallèle à MT.

Les deux premières n'ont pas d'influence sur les aires décrites par le rayon PT; ces aires sont altérées seulement par la troisième. C'est aussi cette dernière seule qui modifie l'inclinaison et le nœud de l'orbite relative de P autour de T.

Dans les vingt-deux corollaires de la proposition LXVI, Newton analyse les effets des forces précédentes au point de vue des dérangements du corps P. Les considérations qui le guident sont d'une grande finesse, parfois difficiles à suivre, en raison de la concision du langage.

Ces recherches, qui avaient pour but, non le calcul précis et détaillé, mais l'explication simple des principales perturbations, ont été développées depuis, surtout dans la patrie de Newton. Nous renverrons le lecteur aux deux Ouvrages suivants : J. Herschel, Outlines of Astronomy; — Airy, Gravitation, an elementary explanation of tlie principal perturbations in the solar System.

Dans un beau Mémoire, Théorie géométrique du mouvement des aphélies des planètes, pour servir d' addition aux Principes de Newton (OEuvres, t. Y), Lagrange a donné une démonstration géométrique élégante des formules différentielles qu'il avait obtenues antérieurement par l'Analyse pour le mouvement des aphélies et les variations du grand axe et de l'excentricité.

M. Lespiault [Théorie géométrique de la variation des éléments des planètes (^Mémoires de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux; 1867)], en s'appuyant sur les Leçons professées au Collège de France en i856, par

M. J. Bertrand, et s'aidant de la considération des couples, a pu donner des démonstrations géométriques des formules relatives aux inclinaisons et aux longitudes des nœuds, et compléter ainsi le Mémoire de Lagrange.

Dans le même ordre d'idées, il faut citer encore un beau travail de Môbius : Vanationum quas elementa motus perturhati planetarum subeunt nova et facilis evolulio (^Journal de Crelle, t. XXXII), et l'Ouvrage du même géomètre, Die Elemente der Mechanik des Himmels aufneuem Wege ohne Hûlfe hôherer Rechnungsarten. Leipsig; i843. {Voir aussi le tome IV des Œuvres complètes de Môbius, publiées par Scheibner et Klein.)

13. Les recherches de Newton et de ses successeurs dans la voie indiquée ci-dessus découlent aujourd'hui très simplement des formules qui expriment les dérivées des éléments elliptiques d'une planète en fonction des composantes de la force perturbatrice, suivant le rayon vecteur, la perpendiculaire au rayon vecteur dans le plan de l'orbite, et la normale à ce plan.

Si l'on se reporte aux pages 433 et 436 du Tome I de cet Ouvrage, et que l'on désigne par a, n, e, p, 9, 6, £, m, r, w, u, Y le demi grand axe, le moyen mouvement, l'excentricité, le paramètre, l'inclinaison, la longitude du nœud, celle du périhélie, celle de l'époque, la masse, le rayon vecteur, l'anomalie vraie, l'anomalie excentrique, et enfin l'argument de la latitude pour la planète troublée (P); par m' la masse de la planète troublante (S), la masse de T étant prise pour unité, les formules dont il s'agit sont

da 1 m' na^

dt i -\r m ^ i

de m'

dt I -t- m

Se sintp + T y )>

1 — e'^ [S sin w + T (cos u -\- o.o'&w)'].

dJp m' 1^ dt I -f- m

d(!^ m' lia

sm œ

(a) / ^ + y/i — edB m' na ' dt I + m y'j gï

dt I H- m

dt 2 m

dt I --t- m