Etude de l'équation

Si nous posons

nous pouvons écrire

Nous avons vu, dans le Chapitre précédent, que l'intégrale générale de cette équation peut être mise sous la forme

(I) x^^bjXy-^^L

On en tire

En portant ces valeurs de x et de -j^ dans l'équation (ft), on trouve d'où la relation générale

liNTRODUCriON.

qui donne, une fois développée,

ou bien

( F- + 2,/ )- bj — bj + bj+, y, H- bj^. 72 H- . .

... — bj,q. — ^y-i 7i 4- [y] 6y — ^y+i r/i — Va — • • • = O,

en faisant, pour abréger,

Si l'on donne à j les valeurs . . — 2, —1,0, h- i, -1-2, . . ., il vient

•■ [— 2] />-2— Vi ^-1 — qtbçi — q^b^ — (:j.^b.^ — ...= o, •• —q\b-i y^b^i— q^b^ ~ q.2b^ — q.,b^ — ... = o,

(3) <! ••• —(lib-% —q\b^^ +\s>\bQ~ q^b^ ~ q^b, —... = 0,

■■ —q-^b-v —qib^y — + [i]^^, — vi*^2 —... = 0,

.. —q,,b-^ —q-ib^i — V260 — Vi ^1 + [2]62 — • . • = o.

Les calculs du Chapitre précédent, qui se rapportent au cas de q^ — o, q.i = o, donnent à penser que è±/ décroît rapidement quand i augmente. S'il en est ainsi, et si l'on peut négliger b.^ et b^^, les équations (5) se réduisent à cinq équations homogènes et du premier degré, contenant les cinq inconnues b 2, ,, ^2- L'élimination de ces inconnues donnera

— qi

qi

[— 1] — <7, — qi — qi

— 7i [o] —qx —q-i

— qi —qi [0 —qi -q-i —q-i — vi [2]

Les éléments de ce déterminant sont des fonctions de quantités connues, les qi, et de p. qui figure dans les quantités [— 2], [2], d'après la relation (2). L'équation (4) est du dixième degré en [x. Les équations (3) donneront les rapports ~, ^— , ~ et ^- Si l'on conservait b^ et b,,, on aurait, pour

déterminer jj., une équation du quatorzième degré, obtenue en égalant à zéro un déterminant de sept lignes et de sept colonnes. En continuant ainsi, on tendra vers un déterminant ayant un nombre infini d'éléments.

8. La convergence d'un tel déterminant a été examinée par M. Poincaré (Bulletin de la Société mathématique , t. XIV, p. 77-90). Il faudrait, pour la rigueur

absolue, faire intervenir le Mémoire précédent; nous nous bornerons à y renvoyer le lecteur.

Soit0([j,) = o l'équation transcendante obtenue en égalant à zéro le déterminant limite. On peut pressentir certaines propriétés des racines de cette équation en supposant q^ = q.,= . . o. Dans ce cas, le déterminant se réduit à sa diagonale

et l'équation = O devient

ses racines sont

elles sont égales deux à deux et de signes contraires. Les racines de = o différeront peu des précédentes si les quantités q^,q.,, ... sont très petites. Prouvons qu'elles sont aussi, deux à deux, égales et de signes contraires; il en est même ainsi de toutes les équations A3 = o, == o, — En effet, si l'on change [i. en — [X, [— 2] et [— i] se changent respectivement en [2] et [i], et inversement, et le déterminant (4) conserve la même valeur au signe près.

D'après les conclusions du Chapitre précédent, l'équation = o doit être de la forme

C0Sf^Tr=/(7r, q, qy, q^x, . . .).

On voit que ses racines sont bien égales et de signes contraires. Si \k est une racine de l'équation (5), [j. h- 2 en est une autre. Il en est bien de même pour l'équation limite = 0. Considérons, par exemple, A5 , et soit AJ ce qu'il

devient quand on change [x en pt.4-2, ce qui remplace [— 2], [2] par [— 1], . . ., [3]. On aura

On voit que, si dans A3 et A^ on supprime une ligne et une colonne, comme on l'a indiqué par des traits, on obtient le même déterminant. Or, en admettant la convergence, la soustraction indiquée produit un effet qui tend vers zéro,

lorsqu'au lieu de A5 on considère Ag, A^, Ainsi donc, si \k est racine, il en

est de même de [jt.±2, 4, .... Soit [Xq l'une des racines; l'équation (5)

pourra s'écrire (6)

On peut faire cos/jL7r = lim ( I ^ ) ( I

cos [xr. — cos/j-oTï = o.

pour n — cc,

UmA„.4-i, pour /? = oo.

Les équations étant du même degré, ayant des racines égales deux à deux, ou, du moins, dont la ditïérence tend vers zéro, leurs premiers membres doivent avoir un rapport F,, indépendant de \x. On aura donc

cos/JtTT — cospoiT = limF„ En faisant p. = o, il vient

{^ — iny—cf- —q, —qt

(7) 1 — cosfJ!.oîT = lim F„

— q, {in — iY—q''

■ qn-i

— q,i —qn-i ••• (2/0'—^?'

Si l'on suppose g, = q. = . . . = 0, l'équation (a) se réduit à

on a donc

On peut donc faire, dans l'équation (7),

d'où

iJ-o=q, gi = g2

{2ny-— q'^

I — cos g 71 = limF„

o o {2ny—q^

i - COSq n = Vim F n[{2ny-q'] [{2 n-2y-q-']... [{2 ny—q^].

Si l'on divise (7) par (8), et que l'on divise par — la première ligne, par {n — 2)^ — la seconde ligne du déterminant qui figure dans la formule (7), il viendra

sur - /jio 2 '

sin^ - q

■=. lim

(2 /i — if' — • q- — q>i

(2 IL — 2)-- — q"^

ou bien, en mettant en évidence les parties centrales du déterminant,

sin- - [jLo sin^ - q

32 — qi-

Il ne reste plus qu'à ordonner suivant les puissances des petites quantités ... ce déterminant, dans lequel tous les éléments de la diagonale sont égaux à + I.

Désignons l'un quelconque des éléments par a^j, i étant un entier positif nul ou négatif qui représente le rang d'une ligne horizontale au-dessous ou audessus de la ligne médiane du Tableau (c); y représentera de même le rang d'une colonne verticale, à droite ou à gauche de la colonne médiane. On voit immédiatement que l'on aura

Les éléments de la diagonale seront donc

Considérons, en particulier, dans cette diagonale les termes

(ïo) a,,,,-,, Uuj,, ai^j^,

En permutant les premiers indices deux à deux de toutes les manières possibles, et prenant les divers résultats avec le signe -h ou le signe — suivant que le nombre des permutations est pair ou impair, on aura les divers termes du déterminant.

Le terme principal de A est -f- r ; les termes déduits des permutations des deux indices contiendront les produits de deux des quantités q^, q.^, ... ; il en entrera trois dans les permutations de trois indices, etc. Les quantités q^,q-i, ... étant supposées très petites, on comprend qu'on pourra s'arrêter assez promptement dans ces opérations.

9. Permutations de deux indices. — Distinguons dans la diagonale deux termes quelconques, en écrivant