W/- COS T
Wr sinT,
lia'- \J 1
T( T + — ^ sintpl + 2e sin^ - ^) \ P ) J dt
drn
. .0 de
I i/i dt 1 dt
fm'S, fm'T et fm'W désignant les projections de la force perturbatrice sur les trois axes rectangulaires considérés plus haut (rayon vecteur, etc.).
Représentons par x' , y', z' les coordonnées de la planète perturbatrice relativement à des axes parallèles menés par le centre du Soleil, par r' son rayon vecteur et par A sa distance à la planète troublée, et nous aurons (t. I, p. 466)
Ce que dit Newton de la proportionnalité plus ou moins approchée des aires aux temps découle immédiatement de la troisième des formules {a).
Ses remarques sur les variations de l'inclinaison et du nœud ne sont en quelque sorte qu'un commentaire, en langage ordinaire, de la quatrième et de la cinquième des mêmes formules.
14. Entrons, à ce sujet, dans quelques détails : du point S comme centre
Fig. 2.
(fig. 2), avec ST comme rayon, décrivons un cercle qui coupe l'orbite en deux points C et D, pour lesquels on aura A = r' .
Si le corps S est très éloigné, de façon que le rapport ^ soit petit, les
angles CTS et DTS seront très voisins de 90°, et les positions C et D du corps P différeront peu de celles des quadratures. La troisième des formules (a) donne
d\]p dt
na^ ry'
Quand P passe en C et D, le facteur ^ - change de signe; en A et B, il en
est de même pour l'autre facteur/. On en conclut aisément que l'aire décrite en un temps donné par le rayon vecteur PT reçoit sa plus grande augmentation
dans les syzygies, et sa plus forte diminution dans les quadratures. C'est ce que Newton montre directement dans le corollaire II de la proposition LXVI, en remarquant que la composante de la force perturbatrice, qui est parallèle à ST, est la seule à modifier les aires, et que, de C en A et de A en D, cette composante est dirigée vers la gauche de la figure, tandis que, pour l'autre moitié de l'orbite, elle est dirigée vers la droite. Si on la décompose en deux forces, l'une dirigée vers le point T, l'autre normale au rayon vecteur, on voit que la dernière augmentera l'aire de G en A et de D en B, et la diminuera dans les deux autres quadrants.
Newton en conclut (corollaire III) que, toutes choses égales d'ailleurs, le corps P se meut plus vite dans les syzygies que dans les quadratures, et ensuite (corollaire IV) que l'orbite de P est plus courbe dans les syzygies que dans les quadratures. Ces deux propositions supposent que l'excentricité propre est nulle. On a, en désignant par V et Y' la vitesse en C et A, par p et p' les rayons de courbure correspondants, et par N et N' les composantes normales de la force,
d'où
Or on a V'>V; en C, la composante normale de la force perturbatrice est nulle, et elle est négative en A; d'ailleurs, la composante normale provenant de l'attraction de ï est la même dans les deux cas. On a doiîc
N'<N et, par suite, p' > p-
Il en résulte (corollaire VI) que, toutes choses égales d'ailleurs, le corps P s'écartera plus de T dans les quadratures que dans les syzygies.
La plupart des autres corollaires de Newton fournissent des données sur les variations des éléments elliptiques quand deux des composantes S, T et W sont nulles. Supposons d'abord T = o, W = o, S < o, de sorte que le corps P soit soumis à une force perturbatrice centrale.
Les formules (a) donneront
de m' 1 . dp
-77=- /ïaWi — s sinrp, -f- = o,
dt \ ^ m ^ ' dt '
dv5 m' I
e —77 = iicû- VI — S ces w.
dt I + ^
Donc, l'excentricité croît quand P va du périhélie à l'aphélie; elle décroît dans l'autre moitié de l'orbite. Soient A et B les extrémités du grand axe , C et D
les points de l'orbite situés sur une perpendiculaire à AB menée par le point T. On aura, sur l'arc DBC,
costp > o, ":77 >
le grand axe tournera dans le sens direct. Sur l'arc CAD
cosw < o, 'di '^^^
la rotation se fera dans le sens rétrograde.
Un changement de sens de la force S échange l'une dans l'autre les deux conclusions précédentes.
Supposons, en second lieu, S = o, W = o, ï > o; la force perturbatrice est donc normale au rayon vecteur et agit dans le sens du mouvement. Les formules (a) donnent
da
dJ ~
na
~df ~
de
na
e drs
na
dt ~~
/la^ y/i — T(cosi< + cos(P'), — ^ no} v/i — e'T ( i 4- - ) sin«^ ;
aetp augmentent sans cesse, et il en est de même de la durée de la révolution. Entre le périhélie et l'aphélie, le grand axe tourne dans le sens direct; son mouvement est rétrograde dans l'autre moitié de l'orbite. On a
e cos^tv + 2C0S(t^ + e e{co?,n> -+- a) (coscv + (3) cos u + ces .V = f^^-^ = , + .cos.v '
i —Ji — e^ „ H- \/i — e"2 Les points pour lesquels on a
cosw =: — a,
et, par suite,
de
cosw + cosw = o, — =o,
sont voisins des points C et D, dont on a parlé plus haut, si e est petit. On peut donc dire que, sur l'arc DBC, e augmente, et diminue sur l'arc CAD.
Les corollaires 6-10 de Newton contiennent une bonne partie des résultats ci-dessus.
Enfin, supposons S = o, ï = o, W < o ; les formules
dQ m' na „. . ^,
sin cp = — W sin i ,
^ dt 1 m J i gi
d(p m' na
dt 1 m [^/j'—
W/'CGsT
permettent de déterminer les signes de ^ ^t de ^ d'après ceux de sinY et de
cosY. Ainsi, tant que la planète reste au-dessus du plan de référence, on a
d9 ^ sinY>o, < o, le nœud rétrograde. Quand P passe en dessous du plan fixe,
si W garde le signe — , le nœud a un mouvement direct.
Ce que nous dirons plus loin prouvera que Newton connaissait l'expression (a) de ~ à l'aide des composantes S et T de la force perturbatrice et, très probablement aussi, celles de ~ et J'incline à penser qu'il connaissait
toutes les formules (a), mais qu'au lieu de les publier il a préféré en tirer un grand nombre de propositions géométriques qu'il a obtenues en ne considérant chaque fois que l'effet de l'une des composantes.
15. Avant d'indiquer les beaux résultats auxquels il est arrivé dans la théorie de la Lune, il convient de rappeler ce que l'observation avait appris sur les mouvements de notre satellite.
On savait que la Lune peut être supposée se mouvoir dans une orbite elliptique dont deux éléments éprouvent des variations considérables; la ligne des nœuds est animée d'un mouvement rétrograde presque uniforme, en vertu duquel elle décrit l'écliptique en i8 ans f environ (6793 jours); il y a en outre une petite inégalité périodique qui peut écarter le nœud ascendant de sa position moyenne de 1^26' en plus ou en moins. L'inclinaison garde une valeur moyenne constante et oscille entre 5°o' et 5" 18'.
L'ellipse tourne dans son plan dans le sens direct, d'un mouvement presque uniforme, en vertu duquel le périgée effectue une révolution en un peu moins de 9 ans (32'^3 jours); il y a en outre une inégalité périodique qui peut écarter le périgée de sa position moyenne d'environ 8°4i' au maximum, en plus ou en moins.
La longitude de la Lune est affectée de trois inégalités périodiques principales :
L'eVec'^/o/?,
i°i6'26"sin[2(0 ~ C) — Ç], T. - IIL 5
en représentant par © et C les longitudes moyennes du Soleil et de la Lune, par '( l'anomalie moyenne de la Lune ;
