I-,a variation
39'3o"sin2(0 ■-- C );
V équation annuelle,
— 1 1' lo" sinÇ', où 'C désigne l'anomalie moyenne du Soleil.
On voit que les dérangements de la Lune sont considérables et s'effectuent dans des périodes relativement courtes.
16. Parmi les inégalités du mouvement de la Lune en longitude, Newton n'a développé que la variation, et la méthode qu'il a suivie paraît à Laplace une des choses les plus remarquables des Principes; nous allons en donner une idée, en traduisant les résultats en formules avec les notations actuelles.
Newton fait abstraction de l'excentricité propre et de l'inclinaison de l'orbite.
Fig. 3.
Soient {fig. 3) S le Soleil, T la Terre, P la Lune, ABCD son orbite, L un point pris sur SP de façon que
^ ' ST VSPy'
Les attractions du Soleil sur les unités de masse de la Terre et de la Lune pourront être représentées par les droites ST et SL. Pour étudier le mouvement relatif de la Lune autour de la Terre, il faut appliquer à la Lune une force ST égale et contraire à l'attraction du Soleil sur la Terre. La résultante de LS et ST est la force LT que Newton décompose en deux autres LE et ET, l'une perpendiculaire, l'autre parallèle à PT. La composante LE est la seule qui modifie les aires décrites par le rayon vecteur de la Lune; nous allons calculer son
intensité. Si l'on prend SK = ST, on aura
ST SP + PK, SL = SP + PL ; en portant dans l'égalité (i) et simplifiant, il vient
3SP:PK-h3SP.PK' hP^'=PL.SP',
d'où sensiblement, à cause de la petitesse du rapport
PL 3PK.
On a ensuite, dans le triangle rectangle PEL,
LE = PL sin EPL = 3 PK sin TPK , TE + TP = PL cosEPL = 3PK cosTPK,
d'où, en remarquant que l'angle PKT diffère très peu de 90",
LE = 3PK ~,
I TE=z3PK^| - TP
Soient u et u' les longitudes géocentriques de la Lune et du Soleil, r le rayon vecteur SP; l'angle TPK peut être pris égal à u' — u, et il vient
LE = 3TP sin(u'— u) cos(u' — u), TE.= TP[3cos2(u'-u) -i].
Pour avoir les intensités absolues des composantes, il faut prendre les rapports des longueurs LE et TE à ST et multiplier ces rapports par
^=n-ST, ST
en désignant par m' et n' la masse et le moyen mouvement du Soleil. On trouvera ainsi
Sn'^TP sin(u'— u)cos(u'— u), n'2TP[3cos2(u'— u) -i].
La force centripète qui produit le mouvement circulaire de la Lune est égale
a TP ; représentons par m le rapport - du moyen mouvement du Soleil à ce-
lui de la Lune ; nous pourrons prendre, puisque nous négligeons les excentricités,
v' = mv,
et si nous adoptons pour unité de force l'attraction moyenne de la Terre sur la Lune, nous aurons
force LE = 3?n^ sin(m — i) -j cos(m — i) j = (ï), force ET = [3 cos-(m — i) u — i] =(S)-
La force centripète totale s'obtiendra en retranchant la force ET de l'attraction ^ de la Terre sur la Lune; on pourra écrire
(3) force centripète = ~ [1 + ni^—Sm^- cos^{m — i)u] = F.
Newton cherche ensuite l'accroissement de l'aire élémentaire produit par les deux composantes (S) et (T). La première ne donne lieu à aucun changement; la seconde occasionne une variation de la vitesse normale au rayon vecteur,
r — } et 1 on a
dt
dt
dt
La force (T) laisse d'ailleurs /' invariable. On a, dans ces conditions,
dj\
Le procédé de Newton revient en somme à ce qui précède. La relation (4) est identique à la seconde des formules (a) du Tome I de cet Ouvrage (p. 88); elle équivaut aussi à la troisième des formules (a) du présent Volume (p. 29).
On a ensuite, en remplaçant (T) par sa valeur (2),
(5) — ^— — ^ = - /n^r sm2(AAi —
Si l'on prend comme unité de distance la valeur moyenne de r et que l'on
remarque que l'on a déjà supposé la force centripète moyenne — i, on voit
que la vitesse moyenne de la Lune devra être censée égale à l'unité. On pourra donc prendre, dans le second membre de la formule (5), dt d\j, et il en résul-
tera
^ = - iïi^ f siii 2 ( m — i)vd<j.
dt 1 J ^ '
Newton calcule cette quadrature par un procédé indirect; nous nous bornerons à en écrire immédiatement la valeur, et nous aurons, en désignant par h une constante arbitraire,
at i\ \ — m
La constante h est très voisine de i , puisqu'il en est ainsi de r et de ; il vient donc
