V-=-^ IH -COS2(/7Z--l)u

Soient i — ^ et i x les valeurs de r dans les syzygies (u' — u = o ou = i8o") et dans les quadratures (u' — u =r ± 90°), V< et les valeurs correspondantes de V. On aura

{\ ~ x)- \ Il — m

(i œY\ Il — ni 3 m''

Vn Vi — xj 3

Soient p, et po les valeurs du rayon de courbure dans les syzygies et dans les quadratures; les forces centripètes correspondantes seront, d'après le théorème d'Huygens, dans le rapport

pi \i — ^/ V i~ m) F, Mais, d'après la formule (3), on a

si l'on porte ces valeurs de Fo et F, dans la relation précédente, il vient

d'où

(7) ^"=i-3mMn-

Pi \ I — ■

c'est ainsi que Newton a déterminé le rapport des rayons de courbure de l'orbite dans les syzygies et dans les quadratures.

Pour déterminer £r, Newton considère l'orbite lunaire dont il s'agit ici (on a négligé l'excentricité propre) comme une ellipse mobile dont la Terre occupe le centre et dont le périgée suit le Soleil, de manière que le petit axe de l'ellipse correspond toujours à la syzygie et le grand axe à la quadrature. Laplace dit à ce sujet : « Cette considération est exacte, mais elle exigeait une démonstration (' ); ... ces hypothèses de calcul, fondées sur des aperçus vraisemblables, sont permises aux inventeurs dans des recherches aussi difficiles. ... ». On aura donc, dans cette hypothèse,

-, ^^7". -H — \ ' , cû < b\

d'où, avec la précision adoptée jusqu'ici.

Jo}^ ^,2 | 2 b--\-a'

OU encore, en remarquant que la valeur moyenne de r a été prise pour unité

(1) Newton avait démontré que le rayon de la Lune est plus grand dans les quadratures que dans les syzygies {voir la p. 3i de ce Volume).

THÉORIE DE LA LUNE DE NEWTON. 3q

et que l'on doit avoir /•= i — x dans les syzygies et r = i f- ^ dans les quadratures,

On trouve sans peine, en partant de cette dernière expression de r et négligeant que le rayon de courbure p en un point quelconque a pour expression

i 2x cos 2 ( m — I ) u

^ ~ ^ ~ I - [i +4(1^ - /«0^r^cosT(m'-^u '

il en résuite

Pi =

I — ,3: [i H- 4(i — mY]

1 + ^ [iH- 4 (r —

=1 — 2^[4(i — m)^— il.

pi ^

En comparant à la formule (7 ), il vient

Si l'on remplace m par sa valeur numérique m = 0,0748, on trouve ^ pour le rapport - des deux axes de l'ellipse.

18. Pour conclure de là l'inégalité désignée sous le nom de variation, Newton remarque qu'elle provient, en partie, de l'inégalité des aires élémentaires décrites par le rayon vecteur de la Lune, et, en partie, de la forme elliptique de l'orbite. Supposant que la Lune se meuve dans une ellipse ABCD (Jig. 4)autour

Fig. 4.

de la Terre en repos, placée au centre, il remarque que, si le rayon TP décrit des aires CTP proportionnelles aux temps, la tangente de l'angle CTP sera à la tangente de la longitude moyenne correspondante comptée h partir de TC,

4o CHAPITRE III.

TA i — X 69

dans le rapport ^ = '-^-^ = ^; puis que la description de l'aire CTP, lorsque

la Lune passe de la quadrature à la syzygie, doit être accélérée, de sorte que sa vitesse (vitesse aréolaire), dans la syzygie, soit à celle de la quadrature dans le

rapport 4" > et que l'excès de cette vitesse, à un moment quelconque, sur

celle de la quadrature, soit proportionnel au carré du sinus de l'angle CTP. C'est, dit-il, ce que l'on fera assez exactement si l'on diminue la tangente de

l'angle CTP dans le rapport ^ ^— • Par ce moyen, Newton trouve que la

tangente de l'angle CTP sera à la tangente de la longitude moyenne dans le rapport

La différence des deux angles sera maximum dans les octants, où, la longitude moyenne étant de 4^^ la longitude vraie sera l'angle dont la tangente est

^^^^^n, soit 44^27' 28' ; en retranchant de 45«,on a 32'32"pour la plus grande

valeur de la variation.

Il en serait ainsi si la Lune, en passant de la quadrature à la syzygie, décrivait un angle CTA rigoureusement égal à 90°. Mais, en raison du mouvement du Soleil, il faut augmenter le nombre précédent dans le rapport des durées des révolutions, synodique et sidérale, delà Lune, ce qui donne 35' 10"; c'est peu diff'érent de la valeur trouvée par l'observation.

Nous pouvons vérifier la première assertion de Newton :

L'ellipse immobile, décrite conformément à la loi des aires, donne lieu aux formules

„ dv I sin- (' cos^ v

Si l'on fait

dt r

I sin^ {>' cos^ p' tangr'=>. tang/if, =r +

on trouve aisément

donc, dans les quadratures,

/it=:o, c'= bnji~c',;

dans les syzygies.

On a donc

ht = Q0% c = — =: c\.

ci^ Cl b y c\

et il en résulte, à cause de la formule (6) qui donne 4,

ce qui est la formule proposée par Newton. Comme A, a et h sont voisins de i, l'expression (9) de c' varie du reste à fort peu près proportionnellement à sin^'A;, et c'était une condition qu'il fallait réaliser.

Pour obtenir l'inégalité elle-même, il est plus simple d'opérer comme le fait Laplace dans son analyse de la théorie de Newton (Mécanique céleste, t. V, Livre XVI). L'équation (6) donne, en remplaçant /• par i — xcosi(m — i)u.

d'où

/ X . 4 1 — ni .

■J = COnSt.H SH12(l —in\-j\

'2(1 — in ) ^ ' ^

le terme périodique représente l'inégalité cherchée. Son maximum est

OU bien, en remplaçant x par sa valeur et réduisant,

3 ( 1 1 — 1 2 w H- 4 ) 8(1 — m)- (3 — iin){\ — iin)'

19. Newton s'occupe ensuite des variations du nœud et de l'inclinaison, et

[^'2. CllAPlTKE III.

trouve, par des considérations géométriques, ces expressions des mouvements , . dQ , do

horaires^ et ^,

(xo)

[ ^=:—3mhi siii(-j— Ô)sin(u'— Ô)cos(u — u'), \ dt

OÙ n désigne le mouvement horaire de la Lune. Ces valeurs sont identiques à celles que fournissent les formules (a) et (b); en effet, dans ces dernières, z' désigne la distance du Soleil au plan de l'orbite de la Lune, et la considération d'un triangle rectangle facile à apercevoir donne

z' = — sincp sin(u' — 0).

On a, d'ailleurs, en négligeant l'inclinaison,

= [i-7rC0s(u - •.')+ ,

et, en développant suivant les puissances de ^,

1 + ^ cos(u — u') -i- . . . J .

On trouve donc

W = — sincp sin("j' — 9) cos(-j — u'),

et les formules (a) et (b) donneront, en remarquant que Y = u — G, d9 S ni' n ar-^

dt v-\- m Qt /'^

sin — 9) sin(y'-- 9) cos(-j — -J),

dt 1 4- m

Mais on a

nv- — >

et il en résulte que les formules (10) et (11) coïncident quand on néglige les excentricités.

Newton remarque ensuite que le mouvement horaire du nœuxl est tantôt

THÉOr.IK HE I.A LUNE DE NEWTON. ^3

accéléré et tantôt retardé dans le cours d'une lunaison; il prend la valeur moyenne qu'il appelle le mouvement horaire médiocre. On a, par une transformation facile,

dQ 3

sin(-j'— 0)[sin(u'— 9) + sin(2u — u'— 9)] ;

le terme dont l'argument est 2u — u' — 6 prend, dans le cours d'une lunaison, des valeurs positives et négatives qui se détruisent à fort peu près, et il en résulte, pour le mouvement horaire médiocre,

(12) -t:~ /n^ Al sin-('j'— 9) —— - nx^-n + y m-n C0S2(y'— 9),

quantité qui ne devient jamais positive. Newton calcule la valeur moyenne de ^ par un procédé qui revient à poser u' — 0 = d'où, en négligeant l'excentricité du Soleil,

mn dt — dB — ddi, d9 =z - m d<lj.

I H — m sin^

Entre deux passages consécutifs du Soleil par le nœud, G varie de