r'"" sin^^' ^, 3/9 \ i-h-msin-'j

Newton a déterminé cette intégrale par un procédé spécial. Pour avoir l'accroissement de 6 pendant une révolution sidérale du Soleil, il faut diviser par

I — jm, ce qui donne

3/3 \ — - m II — -Jr . . . j 2Ti:.

En multipliant par on a le mouvement horaire médiocre

— -jm^n + -irvn — ...

obtenu par Newton qui y ajoute encore un petit terme correctif inexact de l'ordre de m" ; mais il arrive finalement qu'il avait calculé la durée de la révolution des noeuds de la Lune à moins de 7^ de sa valeur. Il avait trouvé en outre

dans G un terme en sin2(u'— G), correspondant à une inégalité découverte par Tycho Brahe et ayant à fort peu près le même coefficient.

44 CIIAPITRR III.

Pour ce qui concerne l'inclinaison, la seconde des formules (lo) donne

~ =■ — - w^n 9 sin(-j' — ô) [cos(u' — 5) -H cos(2u — u'— 0)] ;

en négligeant le terme en cos(2u — u'— 6) qui se détruit à très peu près, Newton obtient, pour le mouvement horaire médiocre de l'inclinaison relatif à la durée d'une lunaison,

— 7 m"- o sin 2 (u' — B).

Pour l'ensemble des positions du Soleil, cette quantité s'annule, de sorte que l'inclinaison a une valeur moyenne constante; il n'y a qu'une inégalité périodique principale en cos2(u'— 0), qui cadre bien aussi avec ce que fournit l'observation.

Dans le scolie final qui termine la théorie de la Lune, Newton dit : « Qu'il a voulu, par les déterminations précédentes des mouvements lunaires, montrer comment on peut y parvenir au moyen de la cause qui les produit. » Il annonce ensuite avoir trouvé plusieurs autres inégalités, sans exposer les méthodes par lesquelles il y est arrivé. 11 dit notamment avoir reconnu l'équation annuelle, et l'avoir trouvée de ii'5o"(la vraie valeur est de ii'io").

20. Un Ouvrage publié tout récemment jette un nouveau jour sur les progrès que Newton avait fait faire à sa théorie de la Lune ; il a pour titre : A Catalogue of the Portsmouth Colleclion of Books and Papers written hy or helonging lo Sir Isaac NewLon (Cambridge, i888).

Les manuscrits de Newton, après avoir passé en diverses mains, appartenaient, en dernier lieu, au comte de Portsmouth, qui les a livrés à l'Université de Cambridge, en la priant de faire un choix et de conserver pour elle tout ce qui se rapportait directement à la Science. Une Commission, composée de MM. H.-R. Luard, G.-G. Stokes, J.-C. Adams et G.-D. Liveing, fut nommée le 6 novembre 1872, à l'effet d'examiner et de classer les très nombreux papiers de Newton. Nous lisons, dans la Préface de l'Ouvrage en question, que l'on n'a trouvé de résultats importants et non publiés que sur trois théories : celle de la Lune, celle de la réfraction atmosphérique, et la détermination de la forme du solide de moindre résistance ; les manuscrits correspondants étaient souvent en mauvais état, ayant souffert du feu et de l'humidité. Le plus intéressant se rapporte au mouvement de l'apogée lunaire : Newton établit d'abord deux lemmes qui font connaître le mouvement de l'apogée dans une orbite elliptique d'excentricité très petite, tel qu'il résulte d'une force perturbatrice agissant dans la direction du rayon vecteur ou dans une direction perpendiculaire. Ces deux lemmes étaient rédigés avec soin, comme s'ils avaient été préparés pour

l'impression, devant figurer sans doute dans une nouvelle édition des Principes. Newton fait ensuite l'application de ses deux lemmes pour trouver le mouvement horaire du périgée, et il arrive à un résultat qui peut être représenté par la formule

, I H C0S(2U'— 2GT)

/ o\ dmy 2

^'^^ -dï = " ^SM ^

d'après la Préface, la déduction de cette formule n'est pas entièrement satisfaisante, et les corrections apportées au manuscrit montrent que Newton n'était

pas bien sûr du coefficient ^•

Nous verrons plus loin que la formule exacte, limitée à ses premiers termes, est

on a, d'ailleurs.

= ^ H- 0 cos(2u' — 2Gî)J ;

m rz; 0,07^80, j m- —

il en résulte la même formule (i3), sauf que le facteur — est remplacé par 5. La

Préface ajoute que Newton déduit, tout à fait correctement, de la formule (i3), que le mouvement moyen annuel de l'apogée est de 38°5i'5i", tandis que celui qui est donné dans les Tables astronomiques est de 4o°4''>5.

Nous dirons, en terminant, que la portée des deux lemmes de Newton se comprend mieux si l'on remarque que la sixième des formules («) donne, en supposant l'inclinaison nulle,

dt

— H j^— S cosHP' + T ^1 + sinup-J ,

OÙ H désigne une constante. Quand on néglige aussi l'excentricité dans le second membre, cela devient

e ^ = H(— S cosM' 4- 2T sint^t')-

Les deux lemmes de Newton reviennent à la démonstration de cette formule, lorsque S ou T est nul.