THÉORIES DE LA LUNE DE CLAIRAUT ET D'ALEMBERT
21. « Dans le Livre des Principes, Newton, après avoir assigné la cause des perturbations du mouvement elliptique de la Lune, a fait voir, de plus, comment on pouvait calculer les grandeurs d'une partie d'entre elles avec assez d'exactitude pour fournir déjà une confirmation remarquable de la gravité universelle. Mais Clairaut est le premier qui ait donné une théorie du mouvement de la Lune, fondée sur l'intégration, par des séries, des équations différentielles du problème des trois corps, qu'il avait obtenues en même temps qu'Euler et d'Alembert ( '). »
Clairaut suppose d'abord que le mouvement se fasse dans le plan de l'écliptique ; soient r et v les coordonnées polaires de la Lune, l'origine étant au centre de la Terre ; S la composante de la force motrice suivant le rayon r, comptée positivement dans le sens du prolongement de r; T la composante perpendiculaire, comptée positivement dans le sens des longitudes croissantes. Les équations auxquelles arrive Clairaut peuvent se déduire des formules (a") de notre Tome I, page 91, en y supposant u = -,' Elles sont, en prenant v pour variable indépendante et désignant par h une constante arbitraire,
dt
di''^ r
(1) Cette citation est empruntée au Mémoire de Poisson ; Sur le mouvement de la Lune autour de la Terre.
THÉORIES DE LA LUNE DE CLAIRAUT ET d'aLEMBERT. 4?
OU, ce qui revient au même,
/•- dv
(i) . dt =
a- — ■ , , S /'^ — 1 /■ -r , . /• h' dv (2) TTl- ^
Tr^ di>.
Clairaut pose ensuite, en désignant par M le produit de la somme des masses de la Terre et de la Lune par la constante f,
, T d, M M dv ^ I H- 2p
moyennant quoi la formule (2) devient
^ est la force centrale qui produirait le mouvement elliptique; la force perturbatrice de ce mouvement est donc représentée par ses composantes — <ï> etT, relativement aux axes rectangulaires mobiles définis plus haut.
22. Clairaut multiplie l'équation ( 6) par cosvdç; il intègre, et trouve, en désignant par une constante arbitraire,
—r- cosv' 4- U sm v -\- \ iicosv^ = Co. dv J
Il multiplie cette nouvelle équation par intègre, et désigne par c^ une
nouvelle constante arbitraire, ce qui lui donne
+ J i^J 12 dosv dv^ <^tangp Cotangp + Cj, ou encore, en intégrant par parties.
48 CIlAPITrxE IV.
En tirant de là U pour le reporter dans la formule (5), il vient
(7) — = I — c'o sini' — c'i cosc + A, en posant
(8) Atnsinc/ dv — cosr I Q.sin^>d^'.
Si l'on suppose A = o, on retrouve l'ellipse de Képler.
23. La quantité A se calculerait aisément, si l'on avait mis ù sous la forme
(9) ^ = ^ A; cos iV,
«désignant une série de quantités réelles quelconques.
Les formules (8) et (9) donnent en effet, par un calcul facile,
d'où, en ayant égard à la formule (7),
On aurait donc ainsi l'équation de l'orbite, avec les coordonnées polaires r et ç^. On peut disposer de la direction de l'axe des x de manière à avoir = o, et si l'on fait
il vient
Le rapprochement des formules (9) et (12) montre que chaque terme du développement de ù engendre d'une manière très simple un terme du développement de
Les formules souffrent un cas d'exception pour 1 = 1; car alors le dénominateur — I s'annule. Il est facile de voir comment la formule (12) doit être mo-
THÉORIES DE LA LfNE DE CLAlliVlT ET d'aLEM liEUT .
difiée, en rapprochant les deux termes
I A,- I A,- . A^- cosc — cos/r
