COS COS LV

cette expression, lorsque î tend vers i, se présente sous la forme ^» et elle a pour limite

A; / (' sini('\ \/

' * — — sin ('.

Si l'on n'avait rien négligé pour mettre ù sous la forme (9), en raison du facteur qui croît au delà de toute limite, on pourrait affirmer que le terme précédent finirait par éloigner de plus en plus l'orbite de la forme elliptique. On n'aura pas le droit de formuler la même conclusion si l'on a négligé quelques quantités pour mettre ù sous la forme indiquée ; tout au plus pourra-t-on en déduire qu'on ne devra compter sur l'exactitude de la solution que pendant un petit nombre de révolutions.

Clairaut remarque ensuite que l'on devra accorder la plus grande attention aux termes du développement (9) de Q,, dans lesquels /, sans être rigoureusement égal à I, en différerait seulement d'une quantité très petite; car ces

termes, en passant de Cï à -, acquièrent le petit diviseur P — i, et peuvent

devenir très sensibles dans j, alors même qu'ils l'étaient peu dans Ù.

Les termes pour lesquels i est voisin de o méritent autant d'attention; il est

vrai qu'ils ne changent presque pas en passant de ù dans y.; m'ais, quand on

veut avoir / en fonction de par la formule (i), on est ramené à des intégrales telles que

. , sin n' cosiv dv — — . h const.,

et le dénominateur i est très petit.

Ces termes, dans lesquels ^ diffère peu de i ou de o, constituent la plus grosse difficulté du problème. Quant aux autres, on pourra les calculer d'une façon plus sommaire.

24. Clairaut considère un cas intéressant, déjà examiné dans les Principes de Newton, où l'on aurait constamment

T=:0 Ol 4»= -

de sorte que la Lune serait attirée seulement par la Terre, l'attraction étant

Traitons directement ce cas, en remontant aux formules (2) et (3) qui donnent

ou bien

' dv^ r r

On peut intégrer cette équation linéaire; en désignant par H une constante arbitraire et disposant de la direction de l'axe des x, il vient

H CCS ^ V y/^ I —

L'expression qui en résulte pour r est de la forme

OÙ l'on a

La trajectoire présente une série de maxima et de minima du rayon r; l'intervalle angulaire compris entre un maximum et le minimum suivant est

de sorte que la ligne des apsides tourne dans le sens direct avec une vitesse égale à la vitesse moyenne du rayon vecteur, multipliée par

/ kU \/'-^

On peut écrire

I + e' cos ( (' — cj' ^

en faisant

■us' = (i — lJ.)^•^,

THÉORIES DE LA LUNE DE CLAIRAUT ET d'aLEMBERT. 5|

ce qui prouve que, dans ce cas, la Lune se mouvrait encore sur une ellipse ayant son foyer au centre de la Terre; mais le grand axe de l'ellipse tournerait, dans le sens direct, de la quantité indiquée.

Clairaut remarque ensuite expressément qu'une ellipse invariable ne peut pas servir de point de départ aux approximations successives, car les observations nous apprennent que le périgée accomplit une révolution en neuf ans environ. Donc, au bout de quatre ans et demi, le périgée s'échange avec l'apogée, de sorte qu'il vaudrait mieux alors supposer l'orbite circulaire. Il en conclut qu'il faut prendre une ellipse mobile représentée par l'équation