r e COS^J-V

25. Expressions des composantes et T. — Il serait bien facile de les déduire des formules du Chapitre précédent, mais nous préférons les retrouver directement.

Soient X et Y les composantes de la force perturbatrice, parallèles aux axes, X ety les coordonnées de la Lune, x' etf, r' et v' celles du Soleil, D la distance de la Lune au Soleil, M' le produit de la masse du Soleil par la constante f. On a

— 0/-=;Xj7 4- Yj, T> —xY —yX,

d'où

On a, d'ailleurs,

^ = /-cos^', j — /-sinp, œ' =z r' cosp', /•' sin t^',

+ jj'= rr' cos((^ — ç'), x' y — y' x ziz rr' sin(p — v'), D- = /'^H- r''^ — irr' cos(p — t^'),

= ,-:7ïï[i--7tCos((^-(/) + -^J ,

d'où, en développant suivant les puissances de ^ ^quantité voisine de et négligeant^,

î)3 = 7:^ 77-cos(c- r') .

Il en résulte

<^ = TTT [' - 3 cos^'Cc - r')], T =- sin(c - r') cos(r - ;

OU bien, on remplaçant M' par /l'^a'' et transformant,

I /a'Y $=r — - n'-rl-jj [i + 3cos(2r — 2v')\,

T— — 2' vT'/ — ^* )

Quand on néglige l'excentricité de l'orbite du Soleil, on a

r'=a', rt'^ + const.,

et il en résulte ces expressions assez simples

/ T=— -/i'^r sin(2r — 2c').

Les formules (t), (3) et (4) donnent ensuite

2 p = — / /" SI n ( 2 (' — 2 r ) ar,

/ /s I r'-dv

(x/0 dt~

V^M/)( I H- ap)

T 3 n'^r- dr + 2p) — ïT— [1 H- 3 cos (2 (• — 2 (V)] r-r T- sin (2 r — 2 1'') — 2p.

Soit X une quantité voisine de p, dont la signification sera fixée plus loin, et

les formules précédentes donneront

I 2p = — 3a~ y(^) sin(2c- 2r') f/c,

('^) 1 r //A^ 3 //A 2 dr

-al-) [i + 3 cos(2 (' — 2r')] 4- - a - — ^ sin ( 2 c — 2 -h 2 p 2 \x/ ^ 2 \-kJ xdç ^ ' '

Il ne s'agit plus que de cbasser r et — de ces formules, et de réduire 12 en une série de cosinus des multiples de v.

26. Nous prenons donc, comme point de départ de la première approximation,

j -t- e cos ij. ('

THÉORIES DK LA LUNE BE CLAIRAUT ET d'aLEMBERT. 53

nous en déduisons, en négligeant e-,

( 1 8) (-1=1 — 4^ cos/ji. r, 1-1 =1 — de cosfj(.v, — -7- = ixe sin/JLc ;

on peut, pour cette première approximation, négliger p dans l'expression (i4) de dt, ce qui donne

ûfi = -— = == ( I — 2 e cos[ji.(^) i/^', s/Mp \/Mp

d ou, en intégrant,

i + const. = , i ^' — — sinuLi^

Nous négligerons complètement l'excentricité e' de l'orbite du Soleil ; nous aurons donc

v' = n' t ~\- const.,

et, si l'on porte dans cette formule l'expression précédente de il vient

V— mç H- G- sin ac.

(T est une constante que l'on peut supposer nulle si, à l'origine, le Soleil et la Lune ont été en conjonction, la Lune étant en même temps au périgée, car on a alors ^ = 0, v'=o, et la formule (17) donne, pour r, un minimum. On peut d'ailleurs éviter ces hypothèses qui ont été reprochées à Clairaut, en laissant subsister la constante cr, qui n'est pas gênante, et écrivant