THÉORIES DE LA LUNE DE CLAIRAUT ET DALEMBERT

On a ensuite, par la formule (12),

fl faut égaler à zéro le coefficient de cos(^ puisqu'on a introduit cosjjl^ au heu de cos(^; on en déduira une équation propre à déterminer c,, mais qu'on pourra laisser de côté, car c, ne figure dans aucune autre relation. On simplifiera ensuite l'écriture en faisant

- =H-ecos/x(^+ (3cosA(^ + ycos(A- fji) c + â cos( A + ju)

(29) i + Va =

g— X Boe X Ca X

Ea X

On a représenté par e le coefficient de cospif. afin de retrouver la première approximation = I + ecosîx.. Remplaçons, dans les autres, les quantités A, B, . . . , P par leurs valeurs ( 27), X par 2 - 2m et ^ par la quantité qui lui est égale, d'après la formule (19); nous trouverons

2(1 — 2W) {'i-~mi)\ '^i--mp

IH

(3-^ — 2m) (2m + ^-i) \ p 2-ix ^^^i ^ 4"

(3 + ^ — 2m)(i + ^2/n) 2 4-/JL — 2m 4 ]I

(32) ^=:t fî + 3m^

.2(i-m) ■ (2 + ^-2m)(2-|ui-2m)J' 3em2

Cette dernière relation, qui provient de (3o), peut s'écrire, après lasuppres

sion

56 CHAPITRE lY.

du facteur e,

La constante a définie par la formule (i5), dans laquelle on peut remplacer M par n'a\ diffère très peu du carré du rapport du moyen mouvement du Soleil à celui de la Lune; a doit être considéré comme une petite quantité du second ordre. La formule (32), dans laquelle on remplace ji. par sa valeur (33),

donnera^ par des approximations successives. On aura

= 1 + une quantité du second ordre ;

nous pourrons prendre ici ^ = i, a m% et les formules (3i) et (33) donneront

p.2 I — - m\ fjL = I — ^ + . . . ,

On remarquera qu'un facteur m a disparu du numérateur de y, parce^qu'il se trouvait aussi en facteur au dénominateur dans 2/72 + [i- - i = 2m - ^ m-. On aura donc finalement

- =z I ecosfJK' + m2 cos(2 — 2m) v + -g-mecos(2 - 2m — .a) v

— ^em^ cos(2 + — 2m) + . . . ,

La formule (34) représente l'équation de l'orbite en coordonnées polaires, au moins d'une manière approchée, car on a négligé beaucoup de choses, notamment l'inclinaison. Glairaut ne donne pas, comme nous l'avons fait, les parties principales algébriques des coefficients (3, y et S, mais leurs valeurs numé-

riques.

THÉORIES OE LA EUNE DE CLAIRAUT ET d'aLEMBERT. 5y

27. Le rapport des moyens mouvements du Soleil et de la Lune a pour valeur

il en résulte

et l'observation donne

p. = 7 /n^ = o , oo4 20 ;

La théorie fournit donc, pour le périgée, une vitesse qui n'est guère que la moitié de la vitesse réelle. Il fallait en conclure, ou que l'attraction newtonienne ne donne point le vrai mouvement, ou que la solution précédente n'est pas propre à le déterminer. Clairaut s'est borné d'abord à la première alternative et il a pensé que la loi de Newton, qui rendait compte des attractions à grandes distances, devait être modifiée par un terme complémentaire, sensible seulement à des distances assez petites, ce qui est le cas de la Terre attirant la Lune. Il avait remarqué (p. 5o) que, si la loi d'attraction était exprimée par la formule

M km

le terme additionnel ^ aurait pour effet de produire un mouvement direct du périgée; il était donc facile de déterminer le coefficient /c de façon à rétablir l'accord entre les deux vitesses fournies par l'observation et par la théorie. Il est bon de se rappeler que le même désaccord était constaté presque aussitôt par d'Alembert et Euler. Ce fut Clairaut qui montra le premier (') qu'il avait pour cause, non pas l'inexactitude de la loi de Newton, mais l'imperfection (le la solution.

Il remarqua, en effet, que si la valeur de ~, substituée dans les diverses parties de l'expression (i6) de Ù [savoir, dans p, ^ — sin (2<^ — 2^^') et

-(-) cos(2P — 2(^') , avait contenu, comme elle le devait, outre la partie i-hecos[j.(% les termes

|3 CCS >, r -h y CCS ( A — pL ) (• + . . . ,

dont on a appris qu'elle était composée, le produit des termes de celte espèce, surtout ceux en cos(X — renfermés dans , avec les sinus et co-

(•) On no peut s'empêcher de rappeler que Newton avait obtenu lui-môme, mais sans la publier, une valeur bien plus exacte de (a, qui ne lui avait suggéré aucun doute sur l'exactitude de la loi de la gravitation (p. \5 de ce Volume).

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