De même que la première approximation
avait fourni à Clairaut une expression approchée de i en fonction de de même la formule (34) lui permet de trouver plus exactement t au moyen de Dans ce cas, la formule (i4) est remplacée par
dt = r'- dv,
S/Mp
OÙ l'on doit substituer pour ret p leurs dernières valeurs.
Clairaut montre ensuite comment on tient compte de l'excentricité de l'orbite du Soleil et aussi de l'inclinaison de l'orbite de la Lune; il perfectionne ainsi la formule qui donne rau moyen de et, quant à /, il le détermine par la formule plus exacte
dt = =^ — dv.
Enfin il étudie les variations du nœud et de l'inclinaison de l'orbite; il ne
6o CHAPITRE IV.
semble pas que ses recherches sur ce dernier point aient ajouté beaucoup à ce que Newton avait donné sur le même objet dans les Principes.
Nous ne suivrons pas Glairaut dans tous ces détails; nous nous contenterons d'avoir donné une idée assez complète de sa méthode et nous renvoyons le lecteur à ses divers Mémoires, notamment à sa Théorie de la Lune déduite du seul principe de l'attraction, 1765.
Glairaut donne partout les valeurs numériques de ses séries plutôt que les expressions algébriques des coefficients, ce qui rend sa théorie plus difficile à suivre.
29. Théorie de d'Alembert. — D'Alembert a consacré à la théorie de la Lune tout le premier volume et une partie du troisième de ses Recherches sur différents points importants du système du Monde (1704 6t lySô) ; il est revenu à plusieurs reprises sur le même sujet dans ses Opuscules, notamment dans le tome V (1768) et le tome VI (1773); mais c'est le tome I des Recherches qui est de beaucoup le plus important. La méthode qu'il emploie présente beaucoup d'analogie avec celle de Glairaut; c'est encore la longitude vraie qui sert de variable indépendante. Soit ^ la projection du rayon vecteur de la Lune sur le plan de l'écliptique, d'Alembert part aussi de l'équation
dans laquelle il fait
u' désignant une nouvelle variable qui sera assez petite, parce que la projection de l'orbite de la Lune diffère peu d'un cercle. L'équation précédente prend la forme
où N désigne une quantité constante qui ne diffère de i que par une quantité
du'
de l'ordre de la force perturbatrice; P est une fonction de u' , de -^y et de sinus et cosinus des multiples de v. Dans une première approximation, on néglige
du'
u' et dans P, à cause de leur petitesse et du coefficient m^ qui entre partout dans P. Alors l'équation (38) peut s'écrire
(89) H- N^w'-H H + B cos(A 4- qv) + C COS(l) 4- SV) + . . . = o.
d^ u dv^
„ 1 du
u dv
2 f'^^' II" J U
THÉORIES DE LA LUNE DE CLAIRAUT ET d'aLEMBERT. 6i
L'intégrale générale de cette équation différentielle linéaire est
(4o) «'==ôcosN.-r-£sinN.-|^ -5-^^^iA±L^ .
d'Alembert modifie les constantes arbitraires § et £ et met u' sous la forme
u'=.d cosNp + £ sinNt^ + H ^^^^^ ~ ' j gCos(A + ^tO B rcos(A + N(') cos(A — N«0'
rcos(A + N(') cos(A — N(0"]
On peut ensuite revenir à l'équation (38) et tenir compte des termes en u' et négligés d'abord; on les calculera par la formule (4i), puis on recommencera l'intégration.
Donnons quelques détails au sujet de la première approximation. En négligeant T-£, remplaçant S par — l'équation (37) devient
d'u M / 2 rTdç\ $
ou bien, en remplaçant T et $ par leurs valeurs (i3) et mettant ^ au lieu de r (nous négligeons ici l'inclinaison),
On peut supposer u constant dans l'intégrale J^^^^^^~'^^'^dv et remplacer v' par mv, ce qui donne
d^u Mr ' ?>ii'^ cos(2 — 2m)p"] dv^ " li^ [' '^W[à J
~71 — ï + — î COS (2 — 2 /?2 ) P z= O .
On remplace w par K + u' , mais on néglige u' dans les termes périodiques multipliés par n'- ; il vient ainsi
On peut prendre
h' = Mp = n'^a-^p = fi-a% K= n''^ II'- m-
Il vient ainsi
(Pu' ( 3 \ ni'-—i Zm"- ( ' \ / s
tJL + I niA + Kh \ iH coS2(i — //i) t' =
dv'^ \ 1 j 2a 2a \ 1 — mj
On pourra donc appliquer la formule (40 en faisant
2 2a ia \ \ — m
On trouvera ainsi, en supposant £ = o,
„ cosN — I 3 [ I \ cos (2 — 2 m) v
fi'r= (5cosN(^ H- H \- — — I +
2a \ 1 — m/ 4(i — '^)^— i OU, plus simplement,
„cosN(' — I nx^ . .
a' = ôcosN^^ + H ^ h — cos(2 — 2 7?0 +
IN'' a
Cette valeur est d'accord avec la formule (34) en posant
On voit que l'argument
s'introduit ici tout simplement et qu'il donne le mouvement du périgée; c'est le terme ScosNt^ que Clairaut introduit au début des approximations comme résultant des observations de la Lune. D'Alembert le trouve naturellement par le calcul même.
Nous ne suivrons pas d'Alembert dans les calculs assez compliqués qu'il fait pour les approximations ultérieures; nous n'essayerons pas non plus de comparer en détail sa théorie à celle de Clairaut. Les deux grands géomètres ont eu à ce sujet des contestations assez vives. Il nous suffira de dire que Clairaut a eu le grand mérite de trouver le second terme du mouvement du périgée, au moins
sa valeur numérique. D'Alembert a donné son expression analytique,
THÉORIES DE LA LUNE DE CLAIRAUT ET d'aLEMBERT. G3
que nous avons donnée plus haut, et il a montré que les termes suivants devaient être pris aussi en considération ; ses calculs algébriques sont, en somme, plus complets que ceux de Clairaut et plus développés. En outre, d'Alembert a introduit l'argument [x^^ d'une manière plus logique. Nous remarquerons en terminant que, s'il avait remplacé aussi u par K -h u' dans le terme
—7^ — 5 cos(2 — 2A?n 2 II' ir
il serait tombé sur l'équation
—r^ + u' + IIÎJ C0S(2 — 2m) ('] =: 3,
que nous avons considérée au Chapitre 1, et qui a fait l'objet des études importantes de MM. Gyldèn et Lindstedt. Cette équation a été rencontrée d'abord par Lagrange, puis par d'Alembert {Opuscules, t. V et VI); mais d'Alembert, tout en s'occupant de cette équation, ne paraît pas avoir indiqué comment on pouvait l'introduire très naturellement.
D'Alembert avait pénétré assez profondément la théorie. Ainsi, en considérant la formule
, dv dt
il remarque que les termes en cos^ç^, pour lesquels k est du premier ordre, seront abaissés d'un ordre dans l'intégration Ces termes entreront ensuite dans l'expression
ils seront combinés avec d'autres termes en m%k'v, et, comme en général k±k' x^^ sera pas du premier ordre, mais fini, il en résulte, qu'en calculant il n'y aura plus d'autre abaissement. Mais les termes en cos^(^ se retrouveront aussi intégralement dans dt, et, dans la nouvelle intégration, ils seront encore abaissés d'un ordre. Si donc, on veut avoir t en fonction de en gardant les
petites quantités de l'ordre q, il faudra calculer, dans —3) les coefficients des
termes en cos^ç', où k est du premier ordre, en y conservant les quantités de
l'ordre a -i- 'i. Pour les autres termes de en cos^<^, où k est fini, il faudra les calculer en gardant l'ordre ^ -f- 1 ; cela n'est nécessaire finalement que pour un
THÉORIES DE LA LUNE HE CI.ATRAUT ET b'aLEMBERT.
petit nombre de termes, mais, comme on ne le sait pas d'avance, on doit procéder ainsi.
On doit encore à d'Alembert cette remarque importante, que les coordonnées de la Lune sont, après les perturbations, développées en séries de sinus et de cosinus des multiples de quatre arguments élémentaires
D'Alembert dit qu'on pourrait employer, pour calculer ces séries, la méthode des coefficients indéterminés. C'est ce qui a été fait plus tard par Laplace et Damoiseau. Le lecteur pourra consulter avec fruit, pour la méthode de d'Alembert et pour les anciennes théories de la Lune, la Thèse de A. Gautier : Sur quelques points des théories de la Lune et des Planètes; Paris, 1817.
Nous croyons utile, en terminant ce Chapitre, de citer quelques passages d'un Mémoire de Clairaut contenant des réflexions sur le problème des trois corps avec les équations différentielles qui expriment les conditions de ce problème (^Journal des Savants, août 1759). Clairaut fait voir que l'établissement des équations différentielles n'offre pas de difficulté, et il en déduit les intégrales premières que l'on connaît; mais il lui paraît impossible d'aller plus loin : « Intègre maintenant^ui pourra. »
« J'ai trouvé, » ajoute-t-il, « les équations que je viens de donner dès les premiers temps que j'ai envisagé le problème des trois corps, mais je n'ai jamais fait que peu d'efforts pour les résoudre, parce qu'elles m'ont toujours paru peu traitables. Peut-être promettront-elles plus à d'autres. Pour moi, je les ai promptement abandonnées pour employer la méthode d'approximation »
ce —
différence des longitudes de la Lune et du Soleil, <• — [clj + (r — c) r] = anomalie vraie de la Lune, V — + ^)(']zzz distance de la Lune au nœud, anomalie vraie du Soleil.
ClIAPlTRli: V. — PREM1ÈRI-: THEORIE DE LA LUNE, d'eULER.
