PREMIÈRE THÉORIE DE LA LUNE, D'EULER

30. L'Ouvrage d'Euler a pour titre : Theoria motus Lunœ exhibens omnes ejus inœqualitates ; il a paru en 1763 et se termine par un Additamentum étendu, qui est plus simple et plus élégant que le reste, et dont nous parlerons seulement.

Soient x, y, z, r, p, v, \ les coordonnées rectangulaires, la distance de la Lune à la Terre, sa projection sur l'écliptique, enfin la longitude et la latitude de la Lune; f et v' le rayon vecteur et la longitude du Soleil, A la distance de la Lune au Soleil, M la somme des masses de la Terre et de la Lune, M' la masse du Soleil (ces masses étant supposées multipliées par le facteur f); les équations (a") de la page 92 de notre tome I donnent

dp dv dt dt

OÙ l'on a

P = X cos V + Y sin v,

X sin -h Y cos r.

p =r r COS>i,

cosX^

on en conclut, en posant v — v' =r\ = longitude C — longitude O,

d^p dv^ ^ cos^X /p — cosY) co

-ri- — = P= — M — 5 M' J \

de- ^ de \ /•

d'^ V dp dv ... ( r' i \ •

T. - IIL

CllAPl'l'KE V.

On a

(i) M'=n''^a'\ doi = n'dt,

en désignant par w l'anomalie moyenne du Soleil. Si l'on prend w pour variable indépendante, les équations différentielles précédentes deviennent

d'^v dp dv ... / /■' I \ .

nu ^'P o"^'^- , M cosn ,/p-/-^cosr] cosYjX

On a d'ailleurs

A = 1 / — + r''^— 20 r' cosY).

y cos-A '

31. Eulèr n'introduit pas la troisième coordonnée z, mais la longitude 6 du nœud ascendant et l'inclinaison i de l'orbite de la Lune, relativement à l'éclip-

tique. Si l'on se reporte aux formules (A) de notre Tome I, page 433, on pourra écrire

. .d9 M' na

dt M ^i — e-

di M' na

= TTF , Wrcosu ;

dt M

u est la distance de la Lune à son nœud ascendant; W a pour expression (t. I, p. 466)

Y> 'il A3 ,./

OÙ s', représente la distance du Soleil au plan de l'orbite de la Lune; on a(y?^-. 5)

sinPS = — sin«sin((^' — Ô);

il en résulte donc

dB M' na f r' i \ . , , ...

PREMIÈRE TIIl':ORIE DE LA LUNE, d'eULER.

On a d'ailleurs, par le théorème des aires,

et il en résulte

„ dç dQ

=z na'^ \J \ — cos /,

^ di