TIC,/'-' I
— — — — — i /•cos«sin((''— 9)smu,
OU bien, en remplaçant M' et r par n'-a'^ et et introduisant d(ù au lieu de dt,
dd a'^ / r' i \ cosi 5in{ç' — 9) sinv
doi ~ dç r'-j cos A
Mais le triangle sphérique rectangle LQN donne
cosu = cos(t^ — 9) cosA et cosi=:: cotutang((^ — ô),
d'où
cos«sin(('' — 9)sinu . , ^ . , ,
Il vient ainsi
/TTTN de a'^ [ r' 1 \ .
Enfin les formules (2) donnent
- — dB cotu = (i9
sini tang((' — 9)
d'où
(IV) <ilogtang«:=
tang(ç' — B)
Euler trouve directement les formules (III) et (IV) qui supposent déjà, comme on voit, la variation des constantes arbitraires ô etf; il détermine ensuite cosX par la relation
tangA =: taiigi sin ((' — B), qui lui donne, en négligeant i\
3 3 cos=»A — I — - tang^i 4- ^ langui cos 2 (c — 0).
32. Nous voulons seulement donner une idée de la théorie d'Euler; pour at-
teindre ce but, nous pourrons supposer i = o et, par suite, p = r. Posons, pour abréger,
' ) sinY) = DU,
les équations (I) et (II) donneront
d"^ V dr dv ^
d(ji'^ doi d(û '
d^ r dv' A ^
d(ù^ d(ji-
On en déduit aisément
d(ji \ d(x)'^ J d(ù d(,)\ do- d(^^ r'- d(^ V do d(^ J
et ensuite
où l'on a posé (5)
(ir ^ d/- V ,
Les formules (4) donnent
do r'^ '
dr r ^ 5! A 1^
et, en combinant les équations (5) et ((3), il vient (7)
diù
dey
PREMIÈRE THÉORIE DE LA LUNE, d'eULER. 69
La première des formules (4) donne
d'où
d(S __ M dp
et, en vertu de la première équation (7),
dp 2 n' D\L j- \J /) dp 2T r \/p
doi y/M dt
cette expression de ^ revient à celle qui résulte de la première des formules (B), t. I, p. 434-
33. On a ensuite, en partant de la deuxième équation (4) et de l'expression connue de la vitesse dans le mouvement elliptique,
n'^-r ^ n'^\dt'' ^ dt'' ) ^ n'-\r a)'
d'où
M d'^ M da
an'^' dcj 2/i'^a^ o?co'
OU bien, en remplaçant par sa valeur (7),
da __ ^n'^'o" ( DlLv/2â'
OU encore, en ayant égard aux valeurs ci-dessus de $ et de
da ^n'a"*' \d\L\Jp l'i i «(1 — é^)
dw \/M L V ''^
,1 1 , • I 1 H- e cos<^ ou, a cause de la relation
On a ensuite
da 2rt'a^ / Dit y//? 'JLes\nw
\/M \ \Ip
70 CIIAPITRK V.
d'où
de 2 \ '^'^ '^/^
d(xi d(x) d(x)
En remplaçant ^ par sa valeur (V) et réduisant, il vient
(VII) -y- — —^ — ^ -^5bsin(ï'.
r/co y/M e V« 'V \IM.
On en tire sans peine, en désignant par u l'anomalie excentrique,
^ = [S sintï-' + T(cos« + cos(p)I) dt ^/m"-
ce qui est d'accord (') avec l'expression (A) de ^ (t. I, p. 433).
On remarquera qu'Euler a obtenu les formules précédentes en supposant que les intégrales premières
conviennent également au mouvement elliptique et au mouvement troublé, pourvu que, dans ce dernier cas, on considère a et p comme des variables.
