DEUXIÈME THÉORIE DE LA LUNE, D'EULER
37. Cette seconde théorie est développée dans un gros volume publié en I 772 sous le titre : Theoria Motuum Lunœ nova methodo pertraclata... incredibili studio atque indefesso labore trium Academicorum J.-A. Euler, W.-L. Krafft, J.-A. Lexell; opus dirigente Leonhardo Eulero.
Nous croyons intéresser le lecteur en reproduisant le commencement de la Préface d'Euler :
« Quoties jam quadraginta abhinc annis theoriam Lunse evolvere ejusque motum ex principiis gravitationis receptis definire sum conatus, tôt semper ac tantse dilFicultates se obtulerunt, ut labores meos et ulteriores investigationes abrumpere sum coactus. A principiis enim mechanicis tota qusestio statim ad ternas sequationes differentiales secundi gradus reducitur, quas non solum nuUo modo integrare licet, sed etiam adproximationes, quibus utique in hoc génère est acquiescendum, maximis obstaculis impediebantur, ita, ut nullo modo perspicerem, quemadmodum haec investigatio ex sola theoria, non tam absolvi, quam tantum aliquatenus ad usum accommodari posset. Principio quidem plurimum desudavi, ut memoratas illas œquationes differentiales ad integrationem perducerem; continuo autem magis magisque intellexi, omnes labores hujus generis inutiliter insumtum iri; neque etiam hujusmodi integrationes admodum sunt desiderandse ; facile enim intelligitur, formulas intégrales maxime futuras esse prolixas et intricatas, ita, ut inde nullus plane fructus in usum Astronomie expectari posset. ...»
Il y a là, au sujet de l'intégration rigoureuse des équations différentielles du problème des trois corps, une opinion d'Euler qui demandait à être reproduite, et qui coïncide, du reste, avec celle que Clairaut avait émise antérieurement (p. 64 de ce Volume).
DEUXIÈME THÉORIE DE LA LUNE, d'eULER. 77
Établissons d'abord les équations différentielles qui servent de point de départ.
Prenons pour origine la Terre T, pour plan des œy le plan de l'écliptique supposé fixe. Soient ^Pq» Jo» ^o» ^ = -^fl + 'es coordonnées de la Lune L, j?', y, o, r'= y/^'^+ya celles du Soleil S, A la distance SL, m' la masse du Soleil, mo la somme des masses de la Terre et de la Lune. On aura, pour déterminer le mouvement de la Lune, trois équations différentielles
dû- M A
Euler prend pour variable indépendante l'anomalie moyenne 'C du Soleil et pour unité de distance le demi grand axe a! de l'orbite du Soleil, ce qui donne
dZ! = n' dt, n'^ a" — n" = f ( m' + ) , irrio = y n'-, f m' = ^ n'^,
m' + niQ m' -+- ' '
soit en outre cp la longitude géocentrique du Soleil, de façon que Les équations différentielles pourront s'écrir.e
'/■'cOSCp ■ — .Tq C0S(P \
dt!^
38. Euler introduit deux axes mobiles tournant d'un mouvement uniforme autour du point T dans le plan de l'écliptique et les coordonnées X et Y de la Lune par rapport à ces axes. On aura donc
(3) ^o=Xcos/ — Ysin/, jo = X sin/ + Y cos/, Zo = Z, ~=o.
dp
On en tire sans peine
cPX dldY ^ dt' d^'-x, . d''-y,
dr^'-' ^dK'dK'~^W~ """^''^"^''"^W^'
dK'' ^ dK' dK' dK'^ -
d'où, en remplaçant et par leurs valeurs (2) et posant
(4) 4; = i8o'>+ /— cp,
d^H dl dX ^ dV vX /X + r'cosO; cos^;
c^C'' dt! dt! d^'^ ^\ A* r'-
, d^Y dl dX dP vY /Y— /-'sin^ , &\n^\
' A- ^ =zO.
r2 =:X2-+- Y^+ZS
A2 = /-'S + X^ + Y^ + Z^ + 2 ( X ces — Y sin 4; ).
Euler prend l'angle / égal à la longitude moyenne de la Lune, de sorte que l'axe mobile TX passe constamment par la position moyenne de notre satellite;
^ sera donc égal au rapport des moyens mouvements sidéraux de la Lune et
du Soleil, 13,3689 On fait ainsi
(7) dK''^"^'^^' m = 12,3689= ^, •
39. Les rapports p' p> -, sont petits, au plus égaux à On peut développer ^ en une série très convergente suivant les puissances des rapports en question; on trouve, en négligeant seulement les quantités du troisième ordre,
I I X cos4' — Y sirn]; ^ — pi ~" ■
SScos^i]; — I 3 5 sin- d; — ! 3 Z^ i5sinj^cosj;
— I- — A. + — 77 i , » /s Al.
Si l'on porte cette valeur de ^ et aussi l'expression (7) de dans les équations (5), on trouve qu'elles deviennent
1 ^ ,,sind;cosJ; 3 ^„ 5 cos^^ — 3 cos J; 3 5sin^^cos^ — cos^ (a) { +3/^Y + yr, ^-f^Y p,
3 „, cosJ; „ Scos^ij; sirn]; — siin]; - -l^^^—^ -3/^XY -7^
^ DEUXIÈME THÉORIE DE LA LUNE, d'eULER. -yg
et
40. Soit /' la longitude moyenne du Soleil, son anomalie moyenne est'C; nous la supposerons, comme Euler, comptée à partir de l'apogée. 9 étant la longitude vraie du Soleil, on aura
cp = ^' — 2 e' sin Ç' + -j e'"^ sin 2 C +
On néglige e'^ et l'on pose
n — l—V— longit. moy. (C — longit. moy . © ;
il en résulte
(ij> — l — 1) — 2e'sinÇ',
d'où, en ayant égard à la relation (4),
=: 1 80» + Yî + 2 e' sin Ç', puis
siin|/ =r— siny] — 2e'sinÇ' cosy], cos^l^ r=— cosYî + 2e'sinÇ' sinvî,
On a ensuite, avec la même précision,
' + ^' cosC, = I 3e' cosÇ', ^ = I - /ie' cosÇ' ;
il faut substituer, dans les équations {a), {b), (c), les développements précédents de sin'^, cos'-j^, r' , et il convient de transformer en même temps les puissances et produits de cosinus en cosinus de multiples des deux arguments v] et 'C. C'est l'objet du Chapitre VIII de la Théorie d'Euler. Nous ne donnerons que le résultat qui concerne l'équation (a), et nous ferons en même temps avec Euler [ji.r= i.
8q chapitre VI,
On trouve alors
— - X(n- 3 C0S2Y]) + - Ysinam
— - XM3C0SY] + 5cos3n) 4- 7 XY(sinY) + 5 sin3r)) 8 ^ 4
— - Y2(cosY] — 5 cosSy)) + -Z^ cosY)
, e'X [2 cosr+ 7 cos(2-n — K') — cos{2n + K')]
, e' Y [ 7 sin ( 2 Y] — C ) — sin ( 2 YH- )]
-e'X^ [9 cos(y) — + 25 cos(3y) — Ç') + 3 cos(y] + C) - 5 cos(3y] + Ç')]
- -e'XY [3 sin(Yi - C) + 25 sin(3Y] — Ç') + sin(Y] + C) — ^ sin(3Y] + Ç')]
4- - e'Y^ [3 cos(y] - Ç') — 25 cos(3Yi — K') + cos(y] + Ç') 4- 5 cos(3y) + Ç')]
I ^e'Z2[3cos(Y]-Ç') + cos(y]
41. La distance moyenne de la Terre au Soleil ayant été prise pour unité, la distance moyenne de la Terre à la Lune, que nous représenterons par a, sera une petite fraction voisine de ~ 11 convient de remarquer que, la Lune s'écartant assez peu de sa position moyenne, les coordonnées X, Y et Z différeront assez peu de a, o et o. On pourra donc faire
(g) \z=a{i-h œ), Y = ay, 7. = az,
et les nouvelles variables x,y, z resteront constamment assez petites. On aura Il convient de poser
et de se faire immédiatement une idée de l'ordre de grandeur de 1. On a
.n^^s — fmo, n'- —î{m' m^),
DEUXIÈME THÉORIE DE LA LUNE, DEULER. Si
d'où
et, par suite.
On aura ensuite
vX. ,
On pourra développer cette expression suivant les puissances de x, y et z. En substituant dans {a!) le développement précédent, ainsi que les expressions (9) et supprimant le facteur dz, il viendra
— X \ m'-\- 2A?i + - + aXj — - ^cos2ri + - y sinay)
On a posé
on déterminera a de façon que x n'ait pas de partie constante. Or on verra plus tard que x sera donné par une série de cosinus et y par une série de sinus, de sorte que, en substituant dans {a"), le terme constant X - - 2m - -, qui est seul de son espèce (*), devra nécessairement s'annuler, ce qui donne
X = (a« H- j)2 4 1, puis a=(^ .
Euler prend
au lieu de 179,227567 qui résulterait de sa formule.
Nous allons écrire complètement les trois équations différentielles que l'on déduit de (a), (b), (c) pour déterminer x, y, z.
(') Il pourra y avoir d'autres termes semblables, mais très petits, provenant des termes suivants,
qui contiennent ^-^ ...,de sorte que la différence X - ,«2 ^ devra être très petite aussi;
les termes correctifs modifieront, comme on le verra plus tard, les rïouvements du périmée et du nœud. ' ®
T. - III
, - 5 «(3 cos-^ + 5 cos3-r)) + je' [2 cosÇ'+ 7 cos(2n - Ç') - cos(2y) + Ç')] (A) ( 8 ' 4
+ ye'o; [2 COSr+ 7 COS(2-0 — — C0S(2ï] + Ç')]
— ye'y [7 sin(2Y] — C') — sin(2Y) + Ç')]
+ ^a(sin-/i + 5sin3n) - y e' [7 sin(2ri - - sm(2Yi + Ç')]
— y e'ic [7 sin(2Y) — C') — sin(2-^ 4- Ç')]
+ ^e'/ [2 COSÇ'— 7 C0S(2Y) — C') + C0S(2Y) 4- C')]
(C) o=^,-\-{l + i)z-3lxz + 6lx^'z-hz{y^+z^)-^e'zcosK'^.-..
Nous n'avons pas reproduit tous les termes donnés par Euler; ceux que nous avons conservés suffiront amplement pour les explications qu'il nous reste à donner.
42. Il est aisé de voir que x se composera d'une suite de cosinus et 7 d'une suite de sinus. On peut vérifier tout au moins que, en supposant qu'il en soit ainsi, il n'y aura que des cosinus dans le second membre de l'équation (A) et des sinus dans (B). Euler considère à part les trois premiers termes des équations (A) et (B) et il suppose que l'on ait trouvé des valeurs approchées des termes complémentaires, de sorte que les équations en question puissent s'écrire
- 3>,^ = 2 M cosi2,
dx '^dZ'
= M' sinl2,
dil
où = consl.
DEUXIÈME THÉORIE DE LA LUNE, d'eULER.
Il cherche les valeurs de x et j sous la forme
(12) ^ = 2^008^2, 7--^N'sin£2.
En substituant ces expressions dans les équations (ii) et égalant à zéro les coefficients de cosO et de sinO, il trouve
(c2+3A)N + 2(/n + i)cN'=:M, 2(m + i)cN -+-c2N' = M',
d'où, en tenant compte de la valeur de X,
Ces formules tomberaient en défaut si l'on avait
c = o ou c = s/'k~ 2;
elles donneront seulement de grandes valeurs pour N et N', si la quantité c est seulement voisine de o ou de \/X — 2.
Euler ne tient pas compte des intégrales générales des équations (11) dans lesquelles on supprime les seconds membres. Ces intégrales sont, comme on le trouve aisément,
( /r=A + BC'4-CcosaÇ'+DsinaÇ',
en faisant
et désignant par A, B, C et D quatre constantes arbitraires, x ne devant pas contenir de partie constante, on doit avoir B — o.
On voit que les expressions précédentes de x et dey introduiront l'argument
c'est l'anomalie moyenne de la Lune.
De même, l'équation différentielle (G) pourra se meltre sous la forme
^ +(A + i)^ = -2M"sini2,
qui a pour intégrale
2 = E cos v/A H- I Ç' + E' sin v^A^ l' Ç' + ^
L'argument \l\ ^ l 'C'-hconst., qui s'introduit ici, est l'argument u de la latitude de la Lune.
Nous remarquerons que l'on a
V/A + I Ç' = ^ + I )2 + ^ = /l' ^ y/^ + ^ = + ^ ^ + const.
On peut déjà en conclure que le périgée est animé d'un mouvement direct égal à /zi (^1 — y/i — ^ et le nœud d'un mouvement rétrograde égal à
nti^\ — \J ^ + \ La connaissance exacte des mouvements moyens du périgée et du nœud dépend des termes complémentaires dans la partie constante de l'équation {a").
On comprend ainsi qu'il y aura à considérer quatre arguments fondamentaux ;
Y] et 'C, qui figurent déjà directement dans les équations différentielles, puis l'anomalie moyenne de la Lune et l'argument moyen // de la latitude.
43. Euler suppose maintenant que les quantités .r, y, z peuvent se développer en séries convergentes de la forme
^ = 0 + eP + e2Q + H- + aeT + e'U + ee'¥ + e^e'Y (i5) { y = 0'+e^'+e^Q'-\-e^V.'^a^'+aeT+e'\}'+ee'?'^ e^e'N'
z ~ ip -+- ieq 4- ie^ r H- ie' s + «H + lav ,
OÙ l'on désigne par e et i des constantes absolues qui sont les valeurs moyennes de l'excentricité et de l'inclinaison de l'orbite lunaire; 0,P, ...,0', P', p, q, ... sont des fonctions des quatre arguments dont on a parlé, lesquels sont de la forme a + ^z. Il substitue les équations (i5) dans les équations différentielles (A), (B), (C), et égale a zéro les coefficients des diverses puissances et produits des quantités e, i, e\ a.
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Il trouve ainsi d'abord, en égalant à zéro les termes indépendants des quantités précédentes,
^ -2(/n + i)-^ -3X0- -(n-0)cos2y)
+ ?0'sin2Y) + 3A (^0^-1 0'2^ — 4X0^ + . . .=:=o, d'O' , ,^0 3^ „^ .
__.4-2(m + l)^ + - (l + 0)Sin2YÎ
0'cos2Y] -sxoo'+exo^o
En égalant à zéro les coefficients de e, il obtient
d'P . .dP' ^ -2(m + i) — -SAP
di:
+ P |cos2Y) +6X0-12X0^+6X0'^^ + P'(^ I sin2y)-3XO'+ 12X00'^ +
d^P' , ,dP -^+2(m + i)^
+ P (^^ sin2Y) - 3X0'+ 12X00'^ I +P'(^|cos2Yi-3XO+ 6X02-|X0'2^ + . . . =0.
On voit que les équations (16) ne contiennent que les deux fonctions inconnues 0 et 0'. Les équations (17) renferment 0 et 0' et, en outre, les deux fonctions inconnues P et P'.
En somme, pour a? ety, il forme vingt-six équations différentielles en considérant les coefficients des quantités
o, e, e^, e' , e' e, e'e^; a, ae, ae' ; i^, i-e, i^e';
pour z, il en forme cinq en considérant les coefficients des quantités
soit en tout trente et une équations différentielles du second ordre.
44. Plus de 45o pages de l'Ouvrage sont consacrées à l'intégration des trente et une équations différentielles dont nous venons de parler. Les coefficients
des divers sinus et cosinus, dans les intégrales, sont des fonctions de m dont on ne détermine pas les expressions algébriques, mais que l'on calcule numériquement. Chacun de ces calculs numériques s'appuie sur les précédents, de sorte que l'exactitude doit diminuer assez rapidement, au fur et à mesure que l'on avance.
Donnons quelques détails sur l'intégration des équations (16). 0 et 0' étant petits, on peut prendre d'abord
^çTj — 2(m + i) — — 3A0 — -C0S2y)=ro,
6^20' , ,dO 3 .
dt^'^ ^ ' dç 2
C'est la forme (il) avec
3 3 dQ, dl
2 2 dç dç
Euler applique les formules (i3) et trouve des valeurs approchées de 0 et 0',
0 = Ncos2Y), 0'=N'sin2Yî,
qu'il substitue dans les termes négligés d'abord dans les équations (16), ce qui
1 1 i sin , sin ^ ensendre des termes en „^„4^» nn«"^'
On applique de nouveau les formules (i3), et l'on trouve
0 = NoH- Ni C0S2Y) + N2 cos4io, 0'= N'i sin2Y) -t- N'2 sin4Y] •
On calcule immédiatement les quatre quantités
— -C0S2Y] + 6A0 - i2A02 + 6ÀO'%
qui figurent comme coefficients de P et P' dans les équations (17) que l'on peut maintenant chercher à intégrer.
Sans introduire directement l'anomalie moyenne '( par l'intégration même, comme nous l'avons indiqué page 83, Euler suppose que les expressions de P
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et P' sont de la forme
P = [3 cos C + ya cos ( 2 m + y4 cos(4'n
P' = (3' sin Ç + y 2 sin ( 2 m + y; sin (4 Y)
