Ç) + (52COS(2Y) + Ç

Ç) + (5^ cos(4y) + Ç) +. . . ,

Ç) + sin(2Y] + Ç)

0 + ô;sin(4ri+C)+...-

P et P' ne contiennent que sin'C et cosl^, comme cela doit être, puisque P et P' ne sont accompagnés que du facteur e.

Euler emprunte aux observations la valeur numérique de la quantité ce

qui revient à dire qu'il ne cherche pas à trouver l'expression théorique du mouvement de l'apogée, mais qu'il accepte des astronomes sa valeur numérique. Dès lors, il est facile de comprendre comment on peut intégrer les équations (17) par des approximations successives, en négligeant d'ahord les termes les moins importants.

Il en est de même pour l'argument u de la latitude; la dérivée ^ est tirée

de l'observation; il en est de même, par suite, du mouvement du nœud. Euler arrive finalement, pour x,y, z, à des expressions de la forme

où V, v', v" sont des entiers positifs et a, a', a" des entiers positifs ou négatifs; seulement il n'a jamais supposé v'> i ; autrement dit, il a négligé le carré de l'excentricité de l'orbite du Soleil.

Nous croyons devoir présenter ici une remarque importante d'où il résulte que la méthode adoptée par Euler ne pourrait pas fournir les éléments d'une théorie rigoureuse. Les recherches ultérieures ont montré, en effet, que, dans les expressions (18), si l'on fait

les coefficients b et b' peuvent se développer en séries convergentes procédant suivant les puissances de m, e% e''^ et P. Par conséquent, on ne peut pas, comme l'a fait Euler dans les formules (i5), développer x, y, z en séries convergentes suivant les puissances de e, i et e' , ou du moins les coeflicients P, Q, R, P', Q', R', ou au moins quelques-uns d'entre eux, cesseront d'être des fonctions périodiques et contiendront 'C en dehors des signes sinus et cosinus. Par exemple le terme eP devra contenir une partie telle que e x He^'^; donc,

const..

Ç'+ const.,

88 CHAPITRE VI. — DEUXIÈME THÉORIE DE LA LUNE, d'eULER.

au lieu d'avoir dans x le terme e^'R, il faudrait prendre e^(R -h H'C^). Au surplus, le calcul précédent semble bien lui-même se charger de fournir ces parties gênantes, car nous avons déjà trouvé dans les formules (i4) un terme en il en amènerait d'autres en dans les équations suivantes. Euler n'a pas rencontré cet inconvénient parce qu'il ne s'est jamais préoccupé des intégrales générales de ses équations différentielles, mais seulement des solutions particulières.

Néanmoins l'idée d'Euler de partager les inégalités en divers ordres, de calculer d'abord complètement celles du premier, d'en déduire celles du deuxième, etc., est une idée heureuse, permettant de séparer le problème en plusieurs autres, et elle a été recommandée encore dans ces derniers temps par MM. Adams et Hill.

Théorie de Laplace. — Cette théorie peut être considérée comme le développement de celles de Glairaut et de d'Alembert; mais la méthode est singulièrement perfectionnée; les calculs s'enchaînent d'une façon systématique. Toutes les inégalités du second et du troisième ordre sont obtenues et même quelques-unes du quatrième; les Tables qui résument la théorie représentent les positions de la Lune à moins d'une demi-minute d'arc près. Dans le cours de ses recherches, Laplace a fait plusieurs découvertes fondamentales dont nous parlerons en temps utile.

45. Équations différentielles et fonction des forces. — On prend pour origine des coordonnées le centre de gravité de la Terre, pour plan des œy le plan de l'écliptique de 1750; soient oc, y, z les coordonnées rectangulaires de la Lune et r son rayon vecteur. On introduit, au lieu de ce, y, z, les variables u, V et s, définies par les formules

cosi^ sili V s v/i + ■">'

de sorte que est la longitude dans le plan des ccy, u l'inverse de la projection du rayon vecteur sur ce plan et s la tangente de la latitude de la Lune audessus du même plan. Si l'on prend pour variable indépendante et que l'on désigne par ù la fonction des forces et par h une constante, on aura (t. I, p. 90)

dUi \ / 2 rd9^ di'\ I â£l du 1 dQ, s dç^ J \ tf' J dv ) u'^ d^' dv li^ du If- a ds '

d^s \ f 2 rm dv\ I d^l ds^ j d9. 1 + .s^

(i) / \dv^ J\ J u"- ) if-u- dv h^udu li^ lû Os

dt —

T. — IIL

Si l'on suppose les unités choisies de façon que la constante f de l'attraction soit égale à i et qu'il en soit de même de la somme des masses de la Terre et de la Lune, on aura

, /I xx' -+- yy' zz'

ûo\ y', z', r' , m' sont les coordonnées, le rayon vecteur et la masse du Soleil, A sa distance à la Lune. On a (t. II, p. 230)

Places 6, Po^-COS^Ô 5 P3~-COS''0 cos6', ....

ces 6

jcx' -\- yy' zz'

la série qui représente ^ est très convergente parce que le rapport p est petit et voisin de Soient, pour le Soleil, a' , v' et s' les quantités analogues à m,

et s. On aura

u a COS((-' — v') + ss'

(2) cos9= .

L'expression de ^ donne

I xx' + y y' + zz'

cos-y I +

- ) + ( - cos^Ô — - cos0^ +

En remplaçant cosO par sa valeur (2), négligeant a'^ convertissant les puissances de cos(ç^ — ç^') en cosinus des multiples de v — et substituant dans l'expression de O, on trouve sans peine

il' *