Bornons-nous, pour le moment, à
Il ni' u'^
Si nous formons ^5 ^ et et si nous les portons dans les équations (i), les deux premières deviendront
Il I m' U'^ r r> ,
+ „ i + -^[Hr3cOS(2(.-2P')]
sin (2 p — 2 r' ) ~ i ~h u\ — sin (2 r — 2 v' )dv = o,
3jn' u'^ du . , ?>in' f d^
ih} là dv
?,m' Li'^ ds . , Im' ( d^^ \ r 11'^ .
Si l'on suppose m' = o, on obtient le mouvement elliptique de la Lune, et les équations précédentes deviennent
La première donne, en désignant par y et 0 deux constantes arbitraires,
(6) .9 r- y sin(r — 9),
92 CHAPITRE VTT.
et, en portant dans la seconde, il vient
Cette équation est satisfaite, comme on s'en assure aisément, en donnant à u
la valeur ^' ^ — l'iiitéafrale générale est donc
, > y/n- 5- + e cos(<' — gt)
en désignant par e et deux nouvelles constantes arbitraires.
On peut remarquer que les formules du mouvement elliptique sont ici un peu compliquées, parce que la projection de l'orbite sur le plan des xy n'a pas pour foyer le point T.
Cherchons la signification géométrique de y, G, e et ra; G est la longitude du nœud, car, pour = G, la formule (6) donne 5 = o et, par suite, z = o. Faisons une figure spbérique ayant pour centre le centre de la Terre; soit L une posi-
Fig. 6.
QH p y
tion quelconque de la Lune, abaissons l'arc de grand cercle LP perpendiculaire sur xy {fig. G). Le triangle sphérique rectangle NPL donne
tangPL = sinNP tangPNL
ou bien
.9 = sin ( (' — 0) tangPNL.
En comparant ce résultat à l'éiiuation (6), on voit que y — tangPNL — langente de l'inclinaison.
Le même triangle donne
cosPL sinNP = sinNL cosPNL, cos PL cosNP r= cosNL
OU bien, en faisant ocN + NL =
(8) sin(.-g)^sjn(.o-0)^ ^^-Ji ^ p.o.(.„-
On a ensuite, en ayant égard à (7),
cos((' — 0) cos(n7 — 9) + sin( (' — 9) sin (gt
ou encore, en vertu des relations (8),
i + e cos(Po— 0)cos(gt — 6')H
Soient cîo == + Nil la longitude du périgée dans l'orbite, a et e^^ le demi grand axe et l'excentricité; on a, comme on sait.
: + eo COS(('o— Wo)'
la comparaison de ces deux expressions de rnous donne
r û / sin0 sin(cT — ô)! ^0 cosc^o — e cos9 cos(m — d) — — 5
r • fl / COS0 sin(ca — 9)1 sinrUff — ; e \ sin 9 cos(ct — t^) h ■== ,
L Vi + y^ J
e sin(cT
d'où
60 cos(cTo— ^) = ecos(c7 — 0), ^0 sin(cTo — ^) =
(9) \ vi + y'
, I -t- cos-(c7 — 9) J — » ^
La seconde de ces formules montre que si l'on mène l'arc de grand cercle ITH perpendiculaire sur l'orbite de la Lune, on aura ooE = cj et cos IIH = -•
En négligeant les termes du quatrième ordre, on aurait
/«2 (jH- — ( I e2 )^ ht — a{i — f — e^).
47. Le mouvement rapide des nœuds et du périgée s'oppose à ce que les formules (6) et (7) puissent être considérées comme formant une première approximation servant de point de départ aux suivantes. Laplace prend, en désignant par c et g des constantes voisines de l'unité,
j s = y sin(^(' — B),
\ v/i H- + e cos(c(^ — ct)
11 est facile de voir la signification de g et c. On peut écrire, en effet,
5 ~ y sin I — [ 9 4- ( I — ^ ) ] I , et si l'on se reporte au triangle sphérique NLP de la fig. 6, on voit que l'on a
longitude du nœud = 9 + (i — g) \ longitude du périgée — + (i — c) v.
On voit donc que les mouvements du périgée et du nœud sont représentés respectivement par (i — c) et (i -~ g)v.
Les formules (10) représentent un mouvement qui correspond à l'attraction de la Terre et à une certaine force perturbatrice ('), et c'est ce mouvement fictif qui sert de point de départ pour calculer le mouvement réel, en substituant les expressions (10) dans les équations (i). Les nombres indéterminés c, g et quelques autres coefficients, que nous verrons bientôt apparaître, se déterminent, dans le cours du calcul, par des équations de condition, de manière à satisfaire aux équations (i). Mais nous commencerons l'intégration en faisant d'abord abstraction de l'action du Soleil, comme dans le cas du mouvement elliptique.
Il faut d'abord exprimer t en fonction de v\ la troisième des formules (i) donne, pour le mouvement elliptique,
, d\' liir
nous mettrons pour u la valeur (10) et nous trouverons, en négligeant
(11) u =. [^1+ ^y^+ecos(cP-T;T) - ^ cos(2^r - ,
^ = /i^ j^iH- ^ (e^ + y^) — 2 e cos(c(^ — cj) + | cos(2C(^ — 2cj)+ ^ y^ cos(2^p — 2 0)^,
(1) Foir, pour l'interprétation géométrique de cette transformation, une étude de M. Radau Sur la tliéorie des orbites {Bulletin astronomique, août 1892).
LAPLÂCE, DAMOISEAU Eï PLANA.
d'où, en intégrant,
/ 3 3 \ ili^e t = const. + 4- - e^H — y^j^ ^ sin(c(' — m)
H ; — siii(2c^' — 2Gy) H — T-^ sin(2^t' — 2O).
Les coefficients de cette intégrale sont un peu modifiés par l'action du Soleil. Dans l'hypothèse elliptique, le coefficient de ç dans cette expression est égal à
- = a^, ce qui donne
(12) A == a'- — ^ e^ — ^ + des termes du 4" ordre en e et .
En portant cette valeur de h dans la formule (i i), elle devient
I + e^H- ^ e(i + e"^) cos(c^' — 5t) — ^ C0S(2^v — 29)J ;
on a négligé seulement le quatrième ordre. L'expression trouvée pour t donne, en appelant la constante arbitraire, divisant par le coefficient de v et négligeant les termes en et ey-.
(14) nt sin(c(' — gt) + sin(2c^' — ixs) + ^ sin(2^v — 20).
On aura de même pour le Soleil, en faisant y' = o,
(15) «'^ + e' r= — 2e' sinfc'p' — ct') H- 7 e'^ sin(2c'p' — 257'),
(16) «'ziz ^ [14- e'^H- e' cos(c'(^'— car')] ;
le coefficients' est d'ailleurs extrêmement voisin de i. L'origine du temps est arbitraire; on peut supposer t = o, et, en faisant
on trouvera, par l'élimination de t entre les équations (i4) et (i5)
(18) i^' — 2 e' sm(c'v' — în') H- 7 e'^ sin(2c'p' — 2m') = mç-i- &' — 2 me sin(ct^ — gj).
On n'a pas écrit dans le second membre les termes en me^ et m^^ parce
que ces termes sont du troisième ordre et que cet ordre a été négligé dans
le premier membre; on a remplacé, pour la même raison, ^ par me. On
tire de la formule (18), par des approximations successives ou par la formule de Lagrange,
v' — 7nv + e'h- 2e' sin(c'mf + c'e' — us') — 2?ne sin(c^' — cî)
H- - e'^ sin( 2 c'mt' + ic' t' — 210').
On peut supprimer s' en convenant d'écrire plus tard mv -f- z' au lieu de mv. On aura ensuite à substituer dans l'équation (16)
e' cos(c' v' — = e' cos \^c' mv — m' -\- ic' e' siii (c'//m^ — crr')]
— e' [cos(c'«tr — to') — 2c'e' 'i>\\\'-{^c' mv — cj')]
— e' cos(c'mi^ — us') — e'-H- e''^ cos(2c'mp — 2gt').
11 vient ainsi
c' =: me + 2e' sin (c'mr — cr') — 2 me sin (ce — cr) + 7 e'^ sin( 2c' me — 2ct''
I a'= ^ [l + ^' C0S(c'/7Z(^ — Gj') -H e'^ C0S(2C'««(^ — 2Gï')] ,
Les perturbations apporteront à ces expressions de v' et u! des corrections '^v' et mais le terme mç» restera le même; dans la formule (17), n doit désigner l'inverse du coefficient de v dans l'expression de t, après tous les calculs.
48. Il faut maintenant substituer dans les équations (4) et (5), ou du moins dans les termes multipliés par m!, les expressions (i3)et(i9) de u, / et m'. On voit que, dans l'hypothèse elliptique, la partie constante de u serait
l'action du Soleil altère cette partie constante de u, mais, a étant arbitraire, nous pouvons continuer à la représenter par la même expression (20), ce qui fixera nettement la définition de a. Seulement, n ayant été déterminé de façon
que le coefficient de v dans l'expression de t soit égal à ^5 on n'aura plus la
relation /i^«* = i. On avait, dans le mouvement elliptique, d'après la relation (12) ou la troisième des formules (9),
A2=z«(i e2— y2^ A'e^ + B'e'-y2+ C'y* + . . .); cette relation n'aura plus lieu après les perturbations, a ayant été déterminé
d'une autre manière; mais nous pourrons calculer une quantité a, par l'équation
a^ étant une constante qui, sans l'action du Soleil, coïnciderait avec a. Nous ferons ensuite
(22) — n'-câ = m\;
sans les perturbations, on aurait
Cela posé, si nous considérons les diverses parties de l'équation (4), nous trouverons d'abord
(24) {a' u'y = 1 -\ — 3e' cos (c'mr — rn') ~\- ~ e'^ cos(2c'm(' — 2cî'),
(au)-^= I — 3 l^e^H- ^ y^H- e(i + e^) cos(c(^ — nr) — ^ cos(2,^(^ — 29)J H- 6 1^^^+ ^y^"*^ cos(ct^ — m) — ^y^ cos(2^(^ — 20)J
— 10 I e^-h ^y^+ e(i 4- e^) cos (ce — m) — ^y^ cos(2^r — 2 0) ,
d'où, en apportant autant de précision que possible dans le calcul du terme constant, pour une raison qui sera indiquée plus loin, et dans celui du coefficient de cos (w ~ ct), parce que le coefficient de dans l'argument est voisin de I et que le terme en question grandira par l'intégration,
{au)-^= f — 3e^ — -^y^ — 3e(i + e^) cos (ce — m) + 6 I — + 2e i e^-h
+ 2 e ^e2, y2^ cos (ce — rn)
xoe^ cos'* (cp — th)
OU bien, en exprimant cos^(w — îtt) au moyen de cos(w — cî) et de cos(3cr— 3ct) T. -III. i3
y8 CHAPITRE YII.
et ne retenant que la première partie,
(25) (au)-^ ■-= i — jY'— ^ (^i — ^ e- — y-^ e cos(c(' — m).
Les formules (23), (24) et (2.5) donnent ensuite
En multipliant cette expression par
3 cos(2 — 2 ('') = 3 cos(2(' — imv) — 6 me cos(2 r — 2 me — ce + zn) + . . . , et ne retenant que la partie principale de cos(2Ç' — 2mv), et dans le produit
que le terme en cos(2(^ — 2mv — w + cî), parce que le coefficient de v dans son argument est voisin de i, on trouvera
(26 bis) ^ — cos(2r — 2^0= ^^rcos(2r — 27«P)-'— 'tAZ!!ecos(2(- — 2m(^— cp + ct) 1.
2 li^ Dans le terme
im' u''^ du . , 2 II- u* clv
on pourra remplacer 11, a', sin(2^ — 2Ç'') respectivement par
II ec . , \ • / \
-, —7, sin(c(' — ct), sin(2 c — 2m(0 ,
ce qui donnera
— sin (2 — 2 1^') = H ce sm(ci' — sm(2 c — 2 me)
2 II'' là dv 2 a,
im: , , ,
■= - — î-ecos(2r — 2m(' — cc + cj); 4«i
on a laissé de côté le terme en cos(2(^ — imv ce — cr).
Enfin, dans la dernière partie du premier membre de l'équation (4;, on
pourra prendre
-— - -\- u=. - , u' — — i clv- a a
sin ( 2 (' — — sin ( 2 p — 2 mv ) — 2 me sin ( 2 v — 2 /Wi-' — c^• + sj) , -7 = aM'i — 4e cosfcc — S) il ,
ce qui donnera
3 m' ( cl- u
j -^sm(2.-2.)./.
3 iix ^ f*
= I sin(2(' — 2ç')[i — /iecosfci' — cr)] c/r
~ — [sin(2r — 2niç) — 2e(i -h m) sin{2 ^^ — amc — cv-hrs)]c(v, ^1 1/
d'où, en intégrant et remplaçant le diviseur 2 — 2m — c par i — 2m,
3 m' /d- u 1^ \dv^'
u] I —7- SI
sin (21' — 2 (/) dç
C0S(2i^ — 2/m>) 2(i+-/n) , ' ^ ecos(2 r — 2 me — cv H- cr)
11 ne reste plus à considérer que le terme
qui, en faisant
s = y sin {gv — ^) + às, et tenant compte de la valeur (21) de h^, donnera
~ r I + 4- 7 + '7 cos ( 2 gv — 2 Ô ) - 3 y sin ( gi' — 9 ) ds\
Si l'on réunit maintenant les développements (26), (2G bis), (27), (28) et (29), on trouve que l'équation (4) devient
d'il I / „ I „\ "i? / I 3
dç^ ^iV'^ '' '4^7 '2ai\^"'" '4' '2
; — 1 (2 + 6^+ 3e^) e cosfci' — cr) H cos(2(^ — 2mç)
eC0S(2(' — 2A71P — C(-'-4-Gj) — y-C0S(2^P' — 2U)
y sin(^^' — 9) às = o.
lOO CHAPITRE VII.
On voit qu'on a conservé deux termes du second ordre en cos(2^ — imv) et cos(2^ç^ — 2O); les coefficients de v, dans ces arguments, sont voisins de 2. On a gardé deux ternies du troisième ordre en cos(c(^ — gî) et co^{iv—imv—cv-\-xs) parce que, les coefficients de v étant voisins de i, l'intégration abaissera ces termes au second ordre, ce qui ne serait pas arrivé pour les autres termes du troisième ordre.
49. Faisons des opérations analogues sur l'équation (5). Considérons d'a-
3 m' a'- 1 II- là
bord le terme - ^jw ^^s; nous pourrons prendre
2 / II- tty '
— 1=-. a* [i — 4e^ — y-+ y- cos{2ffç — 2 0) + 56^], s = y sinigv — 6),
d'où
3 /«' o //l 'ia
2 li^ là 2 a,
I + 2e^+ -(^''^-^ 'f cos(2^v — 2 9)J y %\xv{gv — d) ,
d'où, en transformant le produit sin(^'v — 0) cos(2^v — 2G) et ne gardant que le terme en sin(^v — 6),
( 3o ) -^T^-Tà'^-^y^^^'—^r-^ 2 ' ) y^^^(ê-'-^)-
On aura ensuite
3 m' u''^ 'oin\a . n\ , x
- jY — 4 5 cos(2 V — -zv') = ^ y sin(^(^ — d) cos( 2 v — 2mv),
( 3 1 ) ~ T^. — ri' cos ( 2 (' — 2ç') — — — y-i y s m ( 2 p — 2mç — -i- U) .
2 Ai" 4
Quant au terme
3 m' a''^ ds . ,
