JOI
le dernier terme de l'équation (5)
'6m' (dH \ ru'-' . , ,w
est de l'ordre m\, car
— ^s = y{i- g-^^)iin{gv-Q) + +às
est de l'ordre m\ ; on doit donc le laisser de côté. Il n'y a plus qu'à réunir les développements (3o), (3i) et (32), moyennant quoi l'équation (5) deviendra
+ 6- + - ml / , + 26^- - - e'M y sin(^ov - B)
r — - m\ y sin ( 2 — 2 mt^ — + 9) ^ o.
50. Intégration de l'équation (B). — Pour intégrer cette équation linéaire, nous ferons
.s = y sin(^v — 5) + ès =. y sin(^''(' — Q) + A sin (2 c — imv — gv + 0),
A désignant une constante ; en substituant cette valeur de s dans l'équation (B) et égalant à o les coefficients de sin(^i^ — G) et de sin(2(^ — imv — gv -h 6), on trouve
2 i — (2 — im^gY''
On peut remplacer dans la dernière formule g par l'unité, et il vient
m, diffère très peu de m, comme on le verra plus loin. On aura donc
(33) — -my %\i\{iv — imv — gv -r- 6).
On voit qu'il y a eu un abaissement d'un ordre, parce que le coefficient de ^ dans l'argument est voisin de i.
La formule (G) donne
(34) g —i -^^ml (^i-h 2 e- — ^ y- + ^ e'^^ + . . . .
On a, en désignant par Q la longitude du nœud ascendant moyen introduit dans la première approximation,
dv 4 V 2*2
Cette quantité serait constante s'il en était ainsi de e', mais on sait que, en vertu de l'attraction des planètes sur la Terre, et notamment de Yénus, l'excentricité e' de l'orbite terrestre est variable et que, pendant très longtemps, elle ira en diminuant avec une lenteur extrême. On peut écrire
et il vient, en négligeant e"-,
dQ 3 , 2 I „2 , 3 ^,,\ \ 9
dç
d'oil, en intégrant.
(35) Q = 9-^ml(i + 2e^~'-y^-^le',^),^^
La longitude du nœud a donc une équation séculaire, en ou en t^, ce qui revient à dire que 0, au lieu d'être constant, contient une partie proportionnelle au carré du temps. C'est l'une des découvertes de Laplace. On peut écrire, si l'on veut,
(36) Q=9-^,nl(^i + 2e^--^y^'~i-^e'^y-^mlJ{e"^- e'^- ) dv.
51. Intégration de l'équation (A). — Il convient d'abord d'y remplacer h par sa valeur (33); on trouve
— y ^\\\{gv — Q) às — ^ — î- [cos(2 — 2m{> — 2gi>> -\- 2Q) — cos(2 — 2//ip)].
Ces termes sont du troisième ordre, et le coefficient de p dans l'argument diffère de i d'une quantité finie; nous devons les omettre. Nous poserons ensuite
LAPLACE, DAMOISEAU ET PLANA. ' lo3
avec Laplace
u — Uq -h du ,
désignant la partie elliptique (i3)
. uo ^- e- + ^y^+ e(i + e-) cos(c(^ — vs)— cos(2^(' — 29)j ,
et Bu étant de la forme
Su = Bo cos('2<^ — 2mç) 4- Bi cos(2 c — .2 me — cv -\- w) -\- B2 cos(2^r — 2 0),
OÙ Bq, B, et Bo désignent des coefficients indéterminés. En substituant cette valeur de u dans l'équation (A) et égalant à zéro le terme non périodique et les coefficients de cos{ci^ — -es), cos(2(^ — 2mç^), cos( 2ç^ — 2mç^ — w + cr) et de cos(2^ç^ — 26), on obtient les conditions
(37) -J'-^^-^7.f) = i('^^'^lf)-êS'^''-^7.f--l^'
Bo[i — (-2 — 2m)2] H î =0,
Bi [i — (2 — c — 2m)- ^ c = 0,
La relation (37) donne (87 bis)
d'où l'on tire en fonction de a et de m,.
Les formules (38) donnent ensuite, en ne considérant que les parties les plus importantes,
et
^ fn\ i5 /n\e 1 5 /?i 1 e
cette quantité est du quatrième ordre, et l'on doit prendre Bo = o.
On a donc finalement, en négligeant seulement le troisième ordre,
(E) s = y sin(^(-' — 0)4- ^my sin {2 ç — 2mv — gv + Q) ,
i au = i -+- y y"- + e cos(c(^ — gt) — 7 cos(2^(> — 26) ] 4 4
-t- cos ( 2 — 2 m^^) H — 3- me cos( 2 ç — 2 mç — ce h- ct) ,
Les formules (D) donnent pour (i — c)ç un mouvement direct du périgée ; la quantité i — c contenant e'^ est lentement variable. Soit II la longitude du périgée introduite dans la première approximation; on a
n — tïT + (i — c) r, dTL de 3 / ï 2 , 3 ,,\ 9 2 , ,
d'où, en intégrant,
l n = G7 -h -^tn\ii
On voit que le périgée, comme le nœud, est animé d'un mouvement séculaire.
52. Indications générales sur les calculs de Laplace. — Nous ne pouvons pas les exposer en détail; nous nous bornerons à dire que le grand géomètre s'est proposé d'obtenir toutes les inégalités du troisième ordre dans les expressions de w et ^ en fonction de v. Il a développé les termes parallactiques que nous avons laissés de côté; il pose
(4o) s~SQ~\-ès, u = i/Q-\-du,
et Uq ayant la même signification que ci-dessus, et il admet que os et Bu peu-
LAPLACE, DAMOISEAU ET PLANA. Io5
vent se développer en séries de sinus et de cosinus des multiples des quatre arguments
2^» — 2mv, CV---U5, c' mç — rn', gv — -B,
SOUS la forme
2 sin [1- a{cv — cr)
±: a\c' mv — cj' j ±: ^{gv — Q)±i a{v — f^vy],
± a'{c' mv — to') ±: ^{gv — Q) ±: r;{v — mv)],
OÙ a, a', ^, i et a désignent les nombres entiers positifs o, i ou 2. L'indice placé au bas des lettres x et iil), indique l'ordre des coefficients relativement à m : soit fait
±a±ci'm±(^±(j — 'è;
et ift) sont de l'ordre 2, si i — S est fini,
» » I, si I — S est de l'ordre de m,
» » o, si I — S est de l'ordre de m^, comme i — c et i — g
par exemple.
Laplace substitue les valeurs (l\o) dans les équations différentielles et il égale à zéro les coefficients des divers sinus et cosinus, ce qui lui donne autant d'équations qu'il y a de coefficients x et ii!,, soit vingt coefficients x et seize ift. Dans les conditions déduites de l'équation différentielle en u, les oftj jouent un rôle secondaire; dans le cas de s, ce sont les qui deviennent accessoires. Enfin, il convient d'observer que ^ et c se détermineront en égalant à o les coefficients de cos(w — ct) et de sin(gç — 0); ce cosinus et ce sinus étant supposés ne pas figurer dans os et Sw, aucune des quantités ^l, et ne les accompagnait. Au degré de précision dont Laplace s'est contenté, les coefficients x et n'entrent chacun qu'à la première puissance. On doit comprendre que les équations dont il s'agit ne différeront de celles que nous avons trouvées que par des termes en m\
