Expression de t en fonction de u. — On a
il faut substituer dans le second membre l'expression (4^) de w. On aura d'a-
io6
bord
— I e^- y^— 2e cos(c(' — Gj) -t- -y-cos(2^(^— iQ) — laàu
H — cos(2C(^ — im) -\- Ç)aeàu cos(c^' — ,
puis, en mettant pour h sa valeur (21),
( = I — 2e cos-fcc — GT) 4- - y- cos(2 l'-t^ — iQ) — laàu
La partie non périodique du second membre, en faisant abstraction de Zu, se réduit exactement à et il en devait être ainsi, car, dans le mouvement ellip-
dt 4 -
tique, la partie constante de est représentée par ou à\.
On a ensuite
dv ~
/ 2 fdq dç ^ ài' u-
Il faut maintenant multiplier les deux développements (43) et (44); en réduisant le dernier à l'unité, dt n'a pas d'autre terme non périodique que ^dv, car ou et §wcos(w — m) sont entièrement périodiques. Si l'on remarque que f ^> $ ^ remplacé, à un facteur constant près, par J ^sin(2r — imv)dv et que cette intégrale contient des cosinus des arguments
IV — imv ±i(x{cv — -^5) ± a' {c' mv - - gt') ± [3 [gç — 9), on verra que, dans le produit
j^i — 2ecos{cç — gt) H- ^ cos(2 cp — 2gî) + ^ 008(2^1^ — 2 0) y"
l'argument 2^— 2mç ne peut pas disparaître ; ce produit ne contient donc pas de partie non pérwdique; il n'en sera pas de même de
Y — 2aou baeou Q.O's,{cv — gt)J /
mais la partie non périodique correspondante contiendra m'* en facteur. Nous aurons donc, en ne conservant dans notre exposition élémentaire que les termes
en m^, ^ pour la partie non périodique de ^ ou bien, en remplaçant a par sa valeur (87 his^,
Si donc on fait on aura
d'où
^ = ^ + ^ e'^) dv H- const. des termes périodiques,
v—nt^e — ^^in\ J (e'^ — ^o^) «i^ + des termes périodiques.
On voit donc que la longitude moyenne, par suite de la variation de e , contient un terme en t"^ : c'est Vaccéléraiion séculaire, qui constitue l'une des grandes découvertes de Laplacc. On doit comprendre maintenant pourquoi nous avons conservé partout e'^ : c'était en vue d'arriver à l'accélération séculaire. Nous donnerons dans un autre Chapitre des détails historiques et théoriques très complets sur cette accélération.
Si l'on élimine a^ entre les équations
il vient mais on a fait il en résulte donc
(45) ml ~ ( i — ^m\j=m^(i — ^ m'
Laplace pose ensuite, pour trouver t en fonction de
I +2©'/"e°'e«'y^^(^^ysin [±a(c('-
les coefficients 3j^^' se trouvent, d'après ce qui précède, exprimés à l'aide des oAp^^'. Il peut aussi calculer a^^' quand il a résolu les trente-six équations qui lui donnent Jl>^^' et Dl>^^'.
Si l'on veut aller plus loin dans les approximations, il convient d'introduire encore plus de précision, comme le fait Damoiseau. On posera a /j/Von les formules (4 1 )» (42) et (46) ; on en déduira
en posant, pour abréger,
2r z=:± a{cç — cr) + . . . .
On tirera de là l'expression de v' en fonction de on en conclura celles de zf' et de ^|^"(2^'— En substituant dans les équations différentielles (i) et
effectuant la quadrature J ^ on pourra égaler à o les coefficients des divers cosinus de Sr, ce qui donnera trois séries de relations pour déterminer les X^^\ Ml^^f et ej^^'; ces équations se prêteront très bien à la résolution par des approximations successives.
54. Calcul de Tinégalité parallactique. Nous donnons, à titre d'exemple, le calcul d'une inégalité du troisième ordre. Nous l'obtiendrons en considérant dans la fonction Q, formule (3), les termes
i^ = . ■ •+ [3(i — 4.s2) cos(p - v') + 5 cos(3(^ — 3(^')] +. . .
qui donnent, en négligeant m'^s-,
L'équation différentielle en u peut s'écrire
j j av u''
d}u I du 2 fcPu
3 vn} u!^
+ 3 7^ 7^ [3 cos(('— /) +5cos(3c^ — 3/)] =0. On peut remplacer |^ + par ^ et ne considérer que l'argument
parce que le coefficient de ç y est voisin de i . Dans ces conditions, on aura, en considérant u et u' comme constants,
j dv lû u
sin
' r u''* . , ^ , '6 m! a} cos(i — m)<' - / — T sm(i — m) (' dv — —0— -ji ;
3 m' . , ,^du / 3 q\ m' a
7^ COS(l — m) (' :
^ est de l'ordre de e; donc le premier terme du second membre peut être négligé devant le dernier, et il vient simplement
dv'
-H M — .77-, ces ( 1 — m ) V
— cos (i — m)
Sa a'
On tiendra compte du second membre en posant
