X -h . . . + H cos ( I — m ) p -h

en substituant dans l'équation différentielle, il vient

On aura ensuite

7 COS (l — m) (' +

= -[1 + ...+ g- ^cos(i-m). + ...J d'où, en ne gardant que la partie principale,

1 ~ -^cos(i- m) (' + . . . I,

dl I r i5m a . .

— - i + . . .H -, cos(i — m) V

dv n\ 8 a'

I 5 TÏX CL

/i^ + X = + 77 ; sin ( I — m) (' 4- . . .

81 — ma

p = H- X 4- . . . ^ w -7 sm ( p — p' ) + . . . .

O Cl

Telle est l'inégalité cherchée; elle est du troisième ordre parce que m est du premier et -, du deuxième. Sa période est un mois lunaire; son coefficient doit

I lO CHAPITRE VII.

être un peu modifié par les approximations ultérieures, et, comme on le verra plus tard, il faut le multiplier par t - 2v, v désignant le rapport de la masse de la L une à celle de la Terre. On le trouve finalement égal à i25",5. Inversement, si l'on arrive à le déterminer par les observations, on pourra en conclure la valeur du rapport et, en faisant intervenir la parallaxe de la Lune, qui est bien connue, on en déduira la parallaxe du Soleil; ce procédé, proposé d'abord par Mayer, a été souvent appliqué. Laplace a trouvé ainsi 8", 6, Hansen 8^,92 et Stone 8", 86 pour la parallaxe horizontale équatoriale moyenne du Soleil [voir, pour plus de détails, mon Mémoire Sur la parallaxe du Soleil (Annales de fObservaloire de Paris, t. XVI)].

55. Pour résoudre les équations dont dépendent les coefficients jl^^' et aft^^', Laplace a emprunté aux observations les valeurs de m, e'^ valeur de e' en 1750, y, c et g, et enfin du coefficient de sin(c(^ — dans nt. Il a pu ainsi déterminer c et ^ par la théorie, au moyen des deux équations séparées dont nous avons parlé aux n°* 51 et 52; il a trouvé des valeurs qui ne diffèrent des véritables que d'environ Il convient d'observer que sa théorie est analytique (*) pour ce qui concerne les puissances de e, é, y et ~ et numérique pour m. Il a évité avec soin les développements analytiques suivant les puissances de m, parce qu'il avait constaté que leur convergence était très faible. C'est ainsi qu'il a représenté par — (p -v- qc'") le coefficient de ecos{cv — cr) dans l'équation (A) et par q"e''' celui de y sin(«v — 0) dans l'équation (B), et qu'il a déterminé les valeurs numériques de p, q, p" et q" . On trouve, en effet, pour les équations séculaires du périgée et du nœud,

au lieu de

I (e'2 e'^) dv et - | J{e'^- e',') dv ;

on voit que le terme en apporte une correction considérable à l'équation séculaire du périgée.

Mayer avait constaté par l'observation, dans la longitude de la Lune, l'existence d'une petite inégalité ayant pour période celle de la révolution du nœud

(1) Pas complètement, car les coefficients X- et il'o doivent contenir aussi des puissances paires de e et y-

de la Lune. Laplace en a trouvé la cause théorique : elle provient de l'aplatissement de la Terre, si bien qu'on peut déterminer par cette voie l'aplatissement. 11 a prouvé, en outre, que cet aplatissement produit aussi dans la latitude de la Lune une inégalité sensible. Nous expliquerons très simplement le calcul de ces inégalités dans le Chapitre IX.

56. Théorie de Damoiseau. — L'Académie des Sciences ayant proposé pour sujet du prix qu'elle devait décerner en 1820 la formation de Tables lunaires uniquement fondées sur la théorie de la pesanteur universelle, deux pièces furent envoyées au concours, l'une par Damoiseau, l'autre par Plana et Carlini; elles ont servi de base à deux théories de la Lune dont nous allons parler un peu, celle de Damoiseau et celle de Plana. La méthode suivie dans le premier de ces Ouvrages est exactement celle de Laplace, avec plus d'étendue dans la liste des inégalités et plus d'uniformité dans les calculs. Damoiseau pose immédiatement

u = Uo-i-§u, s = y Sïn{g-i' — d) + ds, & = ±: a(c(^ — ± a'{c'mç ~ m' ) ±: {gv — Q) ±: a — mç) ;

désigne la partie elliptique, dans laquelle on a conservé les quantités du sixième ordre. Il y a quatre-vingt-cinq coefficients autant de g'^^ et trentesept ift,^^^ On calcule les expressions de lï et de en fonction de ç et des coefficients e^P^; on substitue dans les trois équations différentielles, et, en égalant à zéro les coefficients des divers sinus ou cosinus, on forme les deux cent sept équations propres à déterminer les inconnues; il y en a même encore deux à l'aide desquelles on calcule c et g. C'est peut-être l'application la plus importante qui ait jamais été faite de la méthode des coefficients indéterminés. Les équations sont résolues numériquement, par des approximations successives, après qu'on a substitué, pour m, c, g, e, é , y, leurs valeurs. Enfin, Damoiseau renverse

la série qui donne i et exprime la longitude vraie v à l'aide des quatre arguments :

Notât. Dam. Notât. Hansen.

Anomalie moyenne de la Lune x o-

Anomalie moyenne du Soleil z

Longitude moyenne de la Lune moins celle du Soleil t g- g' -f, ^ — w'

Longitude moyenne de la Lune moins celle du nœud y g + ^

Pour qu'on puisse se faire une idée exacte de la valeur de la théorie de Damoiseau, j'ai donné dans les Tableaux ci-dessous la comparaison des coefficients des sinus des divers arguments, dans l'expression de la longitude, obtenus par Hansen et Damoiseau. J'ai emprunté les coefficients de Hansen à un Mémoire de M. Newcomb : A Transformation of Hansen' s lujmr Theory compared wilh the Theory of Delaunay . \jd. colonne H. — T. se rapporte aux Tables publiées par Damoiseau en 1828 avec des coefficients rectifiés.

Relativement à la convergence des séries, elle est un peu plus grande dans l'expression de la longitude moyenne en fonction de la longitude vraie que dans l'expression inverse; mais la différence n'est pas très grande.

g et g' désignent les anomalies moyennes de la Lune et du Soleil, w et co' les distances des périgées au nœud lunaire. On a inscrit seulement les coefficients des sinus des multiples des angles w, w , ^ et g' .

Arguments.

Hansen.

H. — Da.

Pl.

H. — Po.

-i-3-ho

hOjOJ

-HO, i5