TT
dî^
Nous avons, d'autre part, les relations
qui donnent
x^zzzx'^ax, yi=,7+o"7j z\—z'^(7z, = {cc' — X (7xy-+- {y' — y ^ (jyy-i~ ( z' ~ z 4-crc)S
dx
de sorte que les équations difTcrentielles du mouvement de la Lune pourront s'écrire
I d'^x (J-^ àK
df^
dx'
ou l on a
Commençons par négliger la fonction perturbatrice R; les équations (i) représenteront un mouvement elliptique, et leurs intégrales seront données par les formules
X — /•(cos^' cos/i — sinp sinA cosij, y — r (cos V sin/i + sin v cosA cos i) ,
u — e sin II :zj: l — n{t ~\- c),
r = a{j — ecoau), lang
e u — lang e 1
Les six éléments elliptiques sont a, e, «, h, g et c. Traçons une sphère de rayon i ayant son centre en T; elle sera coupée suivant les arcs de grands
Fig. 8.
cercles xy et NL par le plan fixe et par le plan de l'orbite ; le rayon vecteur /- et le rayon mené du point T au périgée le rencontreront aux points L et II (/ig. 8), et l'on aura
Ainsi h désigne la longitude du nœud ascendant, i l'inclinaison, g la distance du périhélie au nœud, ^ l'argument de la latitude, / l'anomalie moyenne. On aura ainsi, en appelant U la latitude PL et V la longitude œP, comptée sur le plan fixe des xy,
tang( V — h) = tangt^' cosi, sin U — sin ç sini.
88. Pour tenir compte de R, Delaunay emploie la méthode de la variation des constantes arbitraires. Il suppose donc que les quantités a, e, i, h, g, c deviennent variables, de telle façon cependant que, dans le mouvement réel,
dx dv dz , I A . , ,
x,y, z, -r--> -4--' -1- conservent les mêmes expressions que dans le mouvement
, dC
de
. dt
dt ~
1 dt
dt
\ dB.
dh
di ~
elliptique, ces dernières étant données par les formules (3) et par celles qu'on en déduit par la différentiation. Mais, au lieu de conserver tous les éléments définis ci-dessus, il introduit les éléments canoniques que nous avons considérés dans le Tome I, p. i65; ce sont, aux notations près,
(c = — Q^=\'ixa{\ — e^), H = v/i^a(i — e^) cosi, ( c, g, h.
Les nouvelles variajjles devront satisfaire aux équations différentielles canoniques
R est maintenant une fonction de t et des six éléments canoniques, qui est donnée par rencliainement des formules (2), (3), (4), et aussi des formules analogues à (3) qui font connaître oc' , y' et z' . Ces dernières sont, en accentuant les lettres et faisant i' = o (ce qui revient à prendre le plan de l'écliptique pour plan des ocy),
(3') a:'= r' cosiç' h'), y' = r' s'm{ç' -h h') ;
ç -h h' sera la longitude du Soleil; nous représenterons la longitude du périgée solaire par g'-^h'. Les éléments de l'orbite solaire sont regardés comme constants.
89. Développement de R. — Représentons par s le cosinus de l'angle SGL, G désignant, comme à la page 182, le centre de gravité de L et de T; on aura
a:cc' + yy' -h zz' — rr' s, a:"^ -h y^ z'^ — r"^ , x''^ + y'^-\- z'^ ~ r'^, et l'expression (2) de R pourra s'écrire
ou bien, en introduisant les polynômes de Legendre (t. II, p. 1^0 et 254), Q 3,1 5.3 35i53
Va
i + Sip(i-(7)+...-hS,,-^Ji-a)'^ +.
d'où, en négligeant un terme en qui ne dépend pas des éléments de l'orbite lunaire,
(7) R=-7î-S.+ -„-S3(i-2a)+...+ ^S„[(i-ar-i-(-a)-^]+....
On voit que, pour tenir compte de ce que l'ellipse solaire est décrite autour du point G comme foyer, il suffit de multiplier les divers termes du développement
(8) ( R) = S,+ ha-h . . . + m' S« + . . . par les facteurs
I, 1 — 2 0-, (i — cr)«~'— (— 0-)"-'.
Plana etHansen, après lui, avaient considéré seulement le facteur i — c'est M. Harzer (Asiron. Nachr., n° 2941; 1889) qui en a donné l'expression générale; nous avons simplifié sa démonstration. On peut donc s'occuper d'abord du développement (8); dans la pratique, il suffira de multiplier les parties
provenant de ^^^7^ S., par le facteur i — 20- = i — — environ; ces termes sont
parallactiques . On a vu la raison de cette dénomination dans le Chapitre VII, page 108.
Il reste à former s\ on pose
et les formules (3) donnent
^ = cos(^' -H A) + 2y- sine siii A, ^ = sin((^ -h A) — 25/^ sinp cosA;
en ayant égard aux relations (3') et à la définition même de s, il vient
5 = (i — y^) cos( (' — + A — A') + cos( -t- — A H- A').
On formera aisément les puissances s- , ^^ ... en transformant les puissances des cosinus en cosinus des multiples des divers arcs et négligeant les puissances de la petite quantité y à partir d'un certain ordre. Delaunay s'est déterminé à
l86 CHAPITRE XI.
conserver dans le développement de R les petites quantités jusqu'au huitième ordre inclusivement; e, y, e' sont considérés comme étant du premier ordre, -, et, par suite, ^ du second. Comme le premier terme de la formule (8) contient ^5 on voit qu'il sera permis de négliger Y^ Les formules (7) et (8) don neront donc pour R une suite de termes de la forme
(9) -^^y^9(^o^[qv + q'{v' + h') + vh'\.
On a ainsi développé R, d'abord suivant les puissances de ^ et de ; il faut développer maintenant suivant les puissances de e et e' . Les formules du mouvement elliptique donnent
^ — Xo + eiloi COS l + «1,2 COS 2 / + . . . ,
{> zzz g + l + a)l.)i sin / + i)b2 sin 2 ; -+ . . . ;
on trouvera les expressions des coefficients Xi et ift,, en fonction de e dans le Tome I, n° 93. On formera les développements de
cos , , , 1 cos f- , , I ,
sin /-'p+i sin
et on les portera dans les expressions (9).
Finalement, le développement cherché sera de la forme
(10) R=:- B 2 Acos [il-^i'g+i"h + i"'l'-P^g'+ A')],
où les quantités A et B sont des polynômes ordonnés suivant les puissances
des quatre quantités e, e' , y, ^ qui contiennent tous en lacteur 1,1,1,
i'", i^" désignent des nombres entiers positifs ou négatifs. On trouvera ce développement dans le Tome XXVIII des Mémoires de l'Académie des Sciences, p. 33-54 (Oî il compose de 324 termes, y compris les deux termes ajoutés plus tard (p. 883). On peut donner quelques indications sur l'ordre de A, à la seule inspection des coefficients i, i', . . . qui figurent dans l'expression de l'argument de la formule (10). Soient, en effet, 4^ et ^' les longitudes moyennes de la Lune et du Soleil, crr et m' les longitudes des périgées, Q la longitude du nœud de la Lune; on aura
/i=zQ, g^js-Q, l'^xl--^', h'+g'=TS',
(1) La théorie de Delaunay remplit entièrement les Tomes XXVIII et XXIX.
et l'argument deviendra
i'"C'H- ii'- i) ^ + - Q - (^■"+ ^■"')
La somme algébrique des coefficients de 4L» ^» -C' et m' doit être nulle; donc = i". D'après ce qu'on sait (t. I, n^ 123, p. 3o6), les exposants de e, y et e dans A seront égaux à
I f I ^ I i" — i' j , I i" + i'" I , plus des nombres pairs ;
i" — i' devra être pair; B ne contiendra que des puissances paires de e, e' et y.
Il sera encore nécessaire d'avoir les expressions de la longitude V et de la latitude U, ainsi que de qui, multiplié par le rayon terrestre équatorial, donnera la parallaxe équatoriale de la Lune. Les formules (4) donnent
Y — h — v — tanff^ - sin 2 + - tang* - sin 4 — • • • , U — ,T + . . . = sin i sin v, U = sin i sin + 4 sin^ i sin^ +
On trouvera ainsi aisément des expressions de la forme
(11) I U=: ^X'sm{a'l+^'ff),
Enfin nous écrirons le développement (10) comme il suit
(12) R = — B — 2 Acos(«7 + i'^ -H i"h-h i"'n't + g),
en désignant par q une constante et par n' le moyen mouvement du Soleil.
En appliquant la quatrième des formules (6), on rencontrerait un grave inconvénient. Considérons, en effet, l'équation
dt " dC '
a étant une fonction de C, il en est de même de /i; par suite, la dérivée se composera de deux parties, l'une (^^^ obtenue en faisant varier C dans le
terme non périodique B et dans les coefficients A, l'autre obtenue en faisant varier C dans / et tenant compte de / = n(t + c). On aura donc
l88 CHAPITRE XI.
On voit que le temps sortirait des signes sinus dans toute une série de termes. Pour éviter cet inconvénient, on introduit / au lieu de c; on a
dl de , , dn dC , , dn dJi
dt dt dC dt dL de
En remplaçant ^ par sa valeur (i3) et ^ par ^ x /z, il y a une réduction, et il reste
dl /(?R\ ^ ' dt \àC J dt dl
L'inconvénient en question n'existe plus; seulement les équations précédentes n'ont plus exactement la forme canonique. Posons
dC j u. I — dtt, j I / —
— —dVi—— — -da—\Ju. — — — dyixa, L = v/ijLa; n 2 na^ Ja 1 '
les formules (i4) deviendront
dt "~ d\J dt ~ ôV
Soit enfin
on aura
dR' (}R ix da ^}R dl
ôL ÔL ia- dL ÔL dt et il viendra finalement, en supprimant l'accent de R,
i dL
dl
i dt
di
-dL'
) dG
dR
dg__
dR
1 dt
dt
I dE
dh
\ dt
ITt ~
dH'
rr' J
g = dislance du périgée au nœud, Il — longitude du nœud ascendant, = anomalie moyenne.
On remarquera que, dans la formule (12). les coefficients A, ainsi que la partie B, dépendent seulement des variables L, G, H; quant aux variables conjuguées, /, g, h, elles figurent uniquement dans les arguments et sous forme linéaire.
Voici le développement de R, en conservant seulement les quantités du quatrième ordre et quelques-unes du cinquième :
7 • 7" + <5 ^" ô ^ — ^ — ^- 7 <^ cos t + 7 e cos V
— ^ cos 2 / — 7 ee' cos {l -\- V) — \ ee' cos ( / — Z' ) + | e'^ cos 2 Z' 04 4 o
-I- ( ^ — - g- 8~^' / cos (2^+2^ + 2 A — 2/'— 2 g'— ih')
— g e'cos(2/+ '2.g-\- ih — U — 2g' — ih') 2 1
-h -g- e' cos ( 2 / 4- 2 ^ H- 2 A — 3 /' — 2 ^' — 2 // )
^ — e'^^ cos {l -\- 2 g -h 2 h — 1 1' - 1 g' — 2 h' )
-t- e Q — ^ ^'^) co^(3^+ 2g + 2h — 2I' — 2g' — 2h') 5i
H- -g- COS ( 2 / + 2 ^ H- 2 /« — 4 ^' — 2 ^' — 2 /? ' ) -I- I ee' COS {l A- 2g -F 2 A — /' — 2^' — 2 )
g ee' COS 2g -\- 2h — ZI' — 2g' — 2h')
— g ee' cos(3/ + 2^ + 2/1 — — 2^'— 2 A') 2 1
-g- ee' cos(3 / + 2 g -\- 2h — ?>V — 2 g' — 2h' ) i5
+ e^ COS ( 2 ^ + 2 A — 2 /' — 2g' — 2 h')
+ -^e^ C0S(4/H- 2 g -\- 2h ~ 2I' — 2 g' — 2A') + -y2 cos(2/4- 2^)
+ -y2cos(2^'+ 2/i'+2^'— 2 A) + g ^ cos(/ + ^4- A — ^'— A')
+ I ^cos(3/+3^ + 3A-3/'-3^'— 3A')j.
90. Étude générale d'une opération élémentaire. — Delaunay considère à part l'un des termes périodiques, en posant
(f6) Rz= Acos(«7+i'^ + «"A+«"'/i'^ + ^) — B + Ri,
iqO (CHAPITRE XI.
R< désignant l'ensemble des autres termes périodiques, et il montre que, en négligeant d'abord R,, on peut intégrer rigoureusement les équations (a). Nous aurons donc pour le moment
(17) R :rzRo--=-- A.COS0 -^B, Qz=il + i'g^^i"h-\^i"'n't + q.
J'ai remarqué dans ma Thèse de Doctorat {Journal de Liomille, 1868), que l'on pouvait effectuer cette intégration par la méthode de Jacobi, et qu'il en résultait certains avantages pour la suite de la théorie. Je vais donc modifier dans ce sens l'exposition de Delaunay. On sait (t. I, Introduction, n° 6) que, pour intégrer les équations (A) dans lesquelles R a la valeur (17), il suffit de considérer l'équation aux dérivées partielles
et d'en trouver une solution renfermant trois constantes arbitraires, en dehors de celle que l'on peut ajouter directement à S. Il est indispensable de se rappeler que A et B sont des fonctions connues de L, G et H. L'équation (18) contient t explicitement, mais sous une forme simple; on peut le faire disparaître en prenant
C désignant une constante arbitraire et S' une fonction de L, G, H qui ne renferme plus t explicitement. On aura
dt i dL i dV,
et l'équation (18) deviendra
c r n' L — B — A cos i -vi- + ^' — + i" =r o
\ oL dix oH
OU bien
.d^' .,dS' .„d^' C-Bi
(.0) 'ôL-^' m-^' m='^'''''-r '
en faisant
Bi = B + y n'h.
Le second membre de l'équation (20) est maintenant une fonction connue de L, G, H et de la constante C; il suffit donc de trouver une solution de cette équation avec deux nouvelles constantes arbitraires.
Au lieu des variables G et H, introduisons-en deux nouvelles, ( G) et (H), définies par les relations
(22) G:=yL+(G), H=r. yL + (H),
et désignons par (^^"^ la dérivée de S' par rapport à L, après qu'on aura fait la substitution ( 22 ) ; nous aurons
dh)^ àL 1 dG ^ J m'
et l'équation (20) deviendra
W^^-)=arccos-^.
Le second membre est maintenant une fonction connue de C et des variables (G) et (H) ; le premier mem donc S' en ajoutant à l'intégrale
L, (G) et (H) ; le premier membre ne contient que la dérivée On aura
C — Bi dL
arc ces , — -
une fonction arbitraire de (G) et (H); nous prendrons pour cette fonction (^) (G ) -I- (A) (H), {g) et {h) désignant deux constantes arbitraires. Nous aurons donc
(24) S'= Jarccos^^^ + {g) (G) + {h) (H). Faisons
(25) K= y arccos^^^^ K [L, (G), (H), C],
et nous aurons, en nous reportant aux formules (19), (22), (24) et (25),
S^C^- ^!^±lL + KfL, G-^L, H- -L, C
C'est l'intégrale complète que l'on cherchait pour l'équation (18); elle contient les trois constantes arbitraires C, {g) et (A). D'après le théorème de Jacobi, les intégrales des équations {a) seront données par les formules
37, = const. = — t% ~ — r-=consl., -r— 7- r= const. ÔL d{g) d{h)
On a d'ailleurs, en ayant égard aux relations (22), (.8, ^-|^=G^.i:L = (G), ^^=H-Çl.(H);
ainsi (G) et (H) sont des constantes. On a ensuite
iê)
ÔL i dL i â{G) i (?(H) i
d'où
•/ -I -ni -m I. . (^K C B)
IL + V g -V i h ^ i" n' t + q — i — z=. arc cos —
Voici donc l'ensemble des formules auxquelles nous sommes conduit : il s'agissait d'intégrer les équations
(II) R„ = — B-ACOS0, 'Bz=ilA~i'g-^ i"li-\-i"'Ti't + q. On aura
(III) Bi==B+ n'L,
(IV) G=''l + (G), H='"l + (H),
dL
dL
dL ~
'dt
dG
dg
dt ~
dt
dR
(?Ro
dh
dt
ôh '
lit ~~
THÉORIE DE LA LUNE DE DELAUNAY. ig3
et
K=f arccos^-^ ^ ..K[L, (G), (H), C],
(VI) -(^H-c) = f, S- = i,)^^y ^ =
(VII ) a + i'g + i"h + i"'n't^ g~^i^=, arc cos ^^^^ •
La première des formules (YI) donnera L en fonction de / et des quatre constantes C, (G), (H) et c; les relations (IV) feront connaître G et H à l'aide des mêmes quantités. La deuxième et la troisième des équations (VI) fourniront les expressions de ^ et A en fonction des quantités précédentes et des constantes (^ j et (h); enfin (VU) donnera /. On aura donc finalement les six inconnues L, G, H, /, o-, h, en fonction de / et des six constantes arbitraires C, (G), (H), c, (g) et (h). Si l'on se reporte à l'expression (26) de S, aux formules (27) et (28), ainsi qu'à la théorie générale de Jacobi, on verra que les constantes canoniques associées deux à deux sont
\ ai = C, oc, = {ff), a3
Remarque. — L'équation (VU) donne
(VIII) Acos9 4-Bi=r C, Acosd + B -h ~^n'L = C:
c'est une intégrale des équations (I).
91. Etude de la solution précédente. — Les formules (V) et (Vf) donnent
(C-B.)-^ (jB, C B.
dt.
On sait que « varie entre certaines limites; il en est donc de même de L — y/fT^, qui doit osciller entre deux limites s:^ et J^" qui seront nécessairement racines de l'équation
(32) A^- (G-Bi)':=o.
Pour L = 4^', on peut prendre Z + c — o ; L augmente à partir de ^ jusqu'à
Nous désignerons par ~ la valeur correspondante de ^ + c; donc
■C dL
L doit maintenant décroître pour que le radical reste réel, et ce radical, qui vient de s'annuler, doit changer de signe pour que dt reste positif. Lorsque L décroît de J^' à l'élément différentiel reprend les mêmes valeurs et ^ 4- c
augmente encore de ^5 de manière que t c augmente de ~ quand L repasse
par 4^'. On voit ainsi qu'à une même valeur de L correspondent une infinité de valeurs de ^ h- c, comprises dans la série
Donc L est une fonction périodique de Ûo(;-hc) à période 2-â. On voit aussi que, dans le cours d'une période, L repasse deux fois par la même valeur et que les valeurs correspondantes de G(,(z c) sont de la forme i-îz ± a; donc L doit rester le même quand on change le signe de ôo(^ + On en conclut que la valeur de L peut être développée en une série convergente de la forme
(34 ) L = Lo + Lj cos0o(^ + c) + L2 cos2 0o(i 4- c) 4-. . . ;
Go, Lo, L,, Lo, . . . seront des fonctions des constantes C, (G) et (H). En substituant cette valeur de L dans les formules (IV), on aura pour G et H des développements de même forme, avec des relations simples entre les coefficients G^. et L^. La substitution de la même valeur de L dans la formule (3i), où l'intégrale peut être supposée avoir pour limite inférieure 4^, donnera pour l'élément différentiel une expression de la forme (34); on aura, en intégrant,
g^-^ (g) + go{t + c)A-ffi sm!5o(^ + c) 4-^2sin20o(^ + c) + . . . ;
h aura un développement analogue. Les formules (VIII) et (3o) donnent d'ailleurs
dd I fdBj C-Bi ^\ ^ .( àyU^ C-Bi ^M.\ ,
\/A-^-(C-Bi)-^ \àL A ôLjdt^'ydL A dLj'
en remplaçant L par son développement (34) et intégrant, on trouvera pour ô une expression de la forme
0 = 0;+ 91 {t + c) H- Ôi sh\9o{t + c) + 02 sin2Ôo(^ + c) +
Mais on a vu que, pour / + 6- = o ou l'équation (^-i) est vérifiée, et elle en-
traîne sinO = o. On peut prendre o et tu pour les valeurs correspondantes de 6, et il en résulte
0; o , 61 — 9o , 0 = + c) + 9i sin0o(^ + c) -H 62 sin2 0o(« h- c) -1- . . . .
Enfin la formule
il i'g--\- i" h i'" n't-hq —
donnera /. Voici donc, en somme, la forme des développements en séries de la solution obtenue :
L = Lo Li cosd(,{t c) + L2 C0S2 00 + c) 4- . . ■. ,
(IX) ^ G = Go+ Gi cos0o(^ + + G2 cos2 6o(^ -I- c) . . , H = Ho-f- Hi cos9o(^ + c) 4- H2COS2 9o(^ + c) 4-. . . , 8 — 4- c) 4- 01 sinSoC + c) 4- 02 sin2 0o(^ + c) 4- . . . ,
— + g,{t-^c) 4- gx sin0o(^ + c) 4-^2sin29o(^ + c) + . . . ,
(X) < h = (A) 4- /?o (/^ -h c) 4- /il sin0„(^ 4- c) 4- /i2 sin2 0o(^ -1- c) 4- . . . ,
/ = (0 -\- lo{t 4- c) r /i'^ 4- sin9o(^ -r- c) 4- 4 sin20o(^ 4- c) 4- . . . .
0^, g^, hp, Ip, Lp, Gp, Ep sont des fonctions des constantes C, (G) et (H); (/) dépend de (g-) et de (A). On a, en somme, les relations suivantes :
' Go=yLo4-(G), Ho=.^Lo+(H),
