XI

92. Variation des arbitraires. — Nous aurions dû intégrer les équations (A ) en y prenant R = Ro + R, ; au lieu de le faire, nous avons pris simplement R = Ro et nous avons obtenu, dans ce cas, les expressions (IX) et (X) des inconnues L, G, H, /, g, h en fonction de t et des six constantes arbitraires C, (G), (H), c, (g), (A). Pour tenir compte de R,, nous conserverons les mêmes expressions analytiques, mais en regardant les constantes comme variables. Nous pourrons former immédiatement les équations différentielles dont dépendent ces nouvelles variables, parce que nous avons suivi la méthode de Hamilton-Jacobi. Nous pouvons appliquer les formules (8) de la page 162 du Tome I, en remarquant que ce qui avait été désigné alors par R doit être rem-

196 CHAPITRE XT.

placé maintenant par . Si nous tenons compte des relations (29), nous trouverons immédiatement

dC

de

dt

de '

Tu

dt

d{ll)

dl

~~ àihy

dt ~

R, doit maintenant être considéré comme une l'onction de t, C, (G), (H), c, (g), (h) que l'on obtiendra en substituant les expressions (IX) et (X) dans la valeur primitive de R<, qui dépendait de t, L, G, H, /, g, h,

Ri cos(<i iig--\- L'ih 4- i"^n' t-\- ^j) ^ Ai cos^j.

On réduira d'abord /, g, h dans l'argument 2^^ , L, G, H dans le coefficient A, , à leurs valeurs non périodiques,

{l) + l^{t-\-c)-~ jn't, {g) + g^{t-he), (/i) + //o(^+c), Lo, Go, Ho, ce qui donnera le terme

On appliquera ensuite la formule de Taylor en attribuant à Lo, Go, Hq, leurs accroissements

Li cos9o(^ + c) + L2 cos20o(^ + c) + . . . ,

('1 ^1 + i'iffi + î';'//,) sin9o(^ + c) + 1.2 + i[g^ 4- i';h^) sin 2 9a{t -h c) +

On verra aisément que, tout compte fait, le développement sera de la forme avec

^2 = ' 1 (0 + ' 1 iê-) ^ h (/O + [i'I - 7 j t-\-q,-^ {i, l, + i\ g, + il 1^ -± J 9o ) + c) .

A2 est une fonction des variables C, (G) et (H); c, {g), (h) entrent sous forme linéaire dans Sr,, et le coefficient de z + qui figure dans cet argument, est une fonction de C, (G) et (H); /désigne un nombre entier.

Cela posé, si l'on appliquait immédiatement les équations (p) avec la valeur (3 )) de R,, on ferait sortir le temps des signes sinus, en formant les déri-

, dRi dl\i àn, , ,

^^^^ J(G)' dJE)' '^P*'^^ ^1^*^ ' ^" ^ ^'^ coefficient de / -4- c dans

C'est là un grave inconvénient qu'il faut éviter à tout prix.

TIIÉORTE DK LA I.UNE OE HELAUNAY.

93. Proposition auxiliaire. — On y arrive en démontrant un lemme important relatif à la solution représentée par les formules (IX) et (X). Nous revenons en arrière, pour un moment, et nous considérons C, (G), (H), c, (g) et (h) comme des constantes. L'intégrale

est une fonction de L, C, (G) et (H). Si nous remplaçons L pai' sa valeur (IX), K deviendra une fonction de t + c, C, (G) et (H); seulement, comme les coetîicients Lp contiennent les quantités C, (G) et (H), les dérivées partielles de K par rapport à C, (G) et (H) ne seront pas les mêmes avant et après la substitution. Soient

leurs nouvelles valeurs. Nous aurons, par exemple,

~ dC

ÔK dL

d'oii, en remplaçant ^ par -r

dK

9 ôL

i dC

9 dL

r dK '

dK

ld{G)

r dK ' L^(H).

9 dL i dïlï)

ou encore, en vertu des relations (VI),

Nous allons remplacer dans ces équations K et L par leurs développements en séries et chercher les coefficients de ^ + c dans les premiers membres; nous pourrons les égaler à zéro, comme nous le montrerons plus loin. La première

198 CHAPITKK XI.

des formules (IX) nous donne d'abord

= — 00 [Li sinôo + c) + 2 L2 sina + c) H- . . .] .

Multiplions par le développement (X) de 0 et mettons en évidence le terme constant du produit; nous trouverons

+ des termes en + c) sin/>9o(^ + c) + (les termes en cos/>9o(/! + c).

D'oia, en intégrant et tenant compte de la relation (36),

-h des termes en 4- c) cospO^il -h c) H- des termes en sinp9o{t -h c);

il n'y a pas de constante à ajouter, car K s'annule avec / -h c. On a d'ailleurs, en partant de (IX),

(3g) ) — Li(^ + c) sin9o(^ + c) — 2L2 + c) sina^ul^ + c) — . . . ,

d{G) à{G) ' d{li) d{\l)

■d^} [fà)}

es valeurs {3g), et qu'on

Je '

de (38), les expressions (X) de G, g et h, et enfin égale à zéro les coefficients de ^ + c, on trouvera, en supprimant deux termes

en ou -sTih' ou ttïït' se détruisent.

ou encore

-/'o= - TTTTT |Lo+ -(L, 9,+ 2L,92+3L3 93 + -..

en posant

(II) j^Lo+ ^(Li0i+2L292 + 3L303 + ---)]-

Ce sont les relations que nous voulions obtenir et qui vont nous être très utiles.

Remarque. — Nous nous sommes appuyé sur le principe suivant : Si l'équation