COS H- -visa a;COS

H-iJS), sin^ + 1)1)2 sin2a^ + ...=o

doit avoir lieu quel que soit x, on doit avoir = o. On le démontre en multipliant par dx et intégrant entre o et 2u, car il vient alors

JUq / X dx ^ o, <^1oo ~ o.

On démontrerait aussi aisément que l'on doit avoir

=: JI92 = . . . — O, = ll',)2 = . . . = O ;

mais ces relations ne nous sei'ont pas utiles.

94. Introduction de nouvelles arbitraires. — Au lieu de C, (G), (H ), nous introduirons les arbitraires L', G' et H' définies par les formules

(42) ^^=7^'' ((i)^G'-^L', (H) r^H'-- yL',

que l'on peut écrire comme il suit, en ayant égard à la formule (4i) et aux relations (XI),

Lo + ^ (Li ^1+ 2L2 + 3L3 ^3 + . . Go H- ^(G, 2G,ô,+ àG393 + . . .), Ho-^ ^(H,9,+ 2H2Ô2+3H393 + ...)-

Ces équations détermineront les quantités C, (G) et (H) en fonction de L', G', H'. Les formules (4^0 donnent

./A:=--^.fC-f ^(G)- ^.^(H),

d'où, en remplaçant dX, f/(G) et d{R) par leurs valeurs tirées de (42), OU encore

dC = Iq dU + ^0 dCi' + /iq dR' ;

ce qui montre que, lorsqu'on considère G comme une fonction de L', G' et H', on a

///N àC , âC dC ,

(44) dU^ *" â(ï^~^" dR'^

Nous introduirons en second lieu, à la place de c, (g) et (h), trois variables X, X, Y] représentant les parties non périodiques des expressions (X) de /, g, h, savoir

^^^^ l-^.-%-C{ff)-C{h)^lo{l-hc)-^--n't.

{ Il i i

Gette introduction de X, x, y] est bien naturelle, d'après l'expression (35) de l'argument Sr^. 11 s'agit maintenant de former les équations difTérentielles que doivent vérifier les nouvelles variables L', G', H', X, x, y].

On tire d'abord de (45)

d{g) " i d\ ' d{h) ~ dn 7 a '

dli, dix, ôRi ôRi

On a ensuite, en tenant compte de ces résultats, des équations (P) et de (42^ et (44),

dG'

i' dL'

dR,

i' dR,

" dt

i dt

dy.

i dl '

dR, d{h)

~ ~dt

i" dL' i dt

dRi df]

i" dR, i dl '

dRi de

diJ

dG'

-^-'-dT'

dW dR,

~dt - ' dl "

dG'

dRy i' 1

dL'

dRA

'dt

ce qui donne

'di dï " ^' dt dyi ^' dl ~ ân

La première des formules (45 ) donne ensuite

dx d(^) i dc\ , , .d,

dt " df ' dtj ^ ' dt

-^'''~dW)"^'~dÇ.'^^ \<)L' dt ' dV.' dt ' d^' dt J ou, en tenant compte de (4^)»

^ . ^/x dR, aR, , ^ . ^ ^ ^ ^ , ^ii

Lorsque R, sera exprimé à l'aide de L', G', H', A, x, y], comme on le montrera bientôt,

R, rir — ^ A2 COSS-.,,

L', G', H' ne figureront explicitement que dans les coefficients Ao; la dérivée par exemple, sera prise en faisant varier G' dans les A2. Mais on peut

dit

avoir une autre expression de cette dérivée en remarquant que

dl\^ di^ OjCr) ~âC diV d{G) dCr'

représenterait la dérivée de R, prise par rapport à G', en faisant varier G' à la fois dans les coefficients Ao et dans les quantités /„, g'o, qui, d'après les relations (45), figurent dans les arguments £r,. Il faut donc retrancher de l'expression précédente

<m^ d]^ d[\j jh dRi On

ce qui donne, en remarquant que, d'après (42 ), '^j^ = i et que ~ = go,

dK, dWy ^Ri (d^ 01^ dK^dg, , âK\

W^^'lG dW) ' ^ V dl dG' ^ dy. dG' ^ ôr, dG' )

Si l'on ajoute cette valeur de ^ à l'expression (47) de ^, on trouve, après

T. - in. 26

réduction,

\dL'

/ dl

\dll' dG'J

dv. dR,

Le coefficient de ^ -f- c est nul, d'après (44)^ et il reste

dt ~~ W '

' et de même

dn (^R 1

~dt

Le calcul est le même aussi pour il y a toutefois une légère différence dans le résultat final. On trouve

dt -~ ' i " i d{G) ^'^ i oi(H) » âC

~dV ~' " dC 7 d(G) i djR)

^ dl dA dV ^ df] dL

en ajoutant, il vient

dl . i'" , dR,

Les formules (46), (48) et (49) résolvent la question; toutefois, pour ramener la forme canonique, il reste un dernier petit changement à faire en posant

On trouve, en introduisant R' au lieu de R,,

^,àQ d^__d^ ^ dt — ' dL' dL' ~'~ dL''

Ou a d'ailleurs

, . ^ cIRi .

d\ ^ dl'

THÉORIE DE LA LUNE DE DELAUNAY. 2o3

il vient ainsi

dR'

~dt

dt ~^

dCj'

dR'

dt ~~

dR'

df]

df] '

lit~'~

dR''

Pour nous rendre compte de la forme de l'expression de R' en fonction de / et des nouvelles variables L', G', H', X, x, y], nous remarquerons que, Go(/ + c) étant la partie non périodique de 6 = il + i' g + i"h -f- i"'n! i + ^, on a

(52) 0o(^ + c) ~ i\ + i'yt. •+■ i"-f\ + i"' n' t-A- q.

On pourra remplacer ^^{t + c) par cette valeur dans les formules (IX) et (X), et aussi dans les formules (35), qui donneront

Ri = — ^ A, ces 3^2, Sr^ =r (il =b ij) A 4- («i ± i'j) / + («7 ± n + n't-\- q, ± qj

OU bien

Sto = u\-\- ^2 X + il n + «2" n' t -h q^.

On voit bien maintenant que, en formant dans les équations (5i) les déri-

, dR' dR' dR' . ^ r ] 1 • • * • 1

vees -^^ , le temps ne sortira plus des signes sinus et cosinus, car la

différence R' — R, qui, d'après la formule (5o), est égale à

se réduit à une fonction de L', G' et H'.

11 est important de remarquer que, dans la solution du problème restreint, les différences L — L', . .. , h — r\ s'annulent quand on suppose égal à zéro le coefficient A du terme périodique AcosO considéré. En effet, les formules (I) et (II) donnent alors

dL dl dR^

~di "dt '~ dL'

on en conclut que L, G, H, ^) ~, ~ sont constants. Donc les quantités /, g,

h sont égales à leurs parties non périodiques, c'est-à-dire à X, x, yj. D'autre part, les formules (IX) donnent

2o4 CHAPITRE XI.

après quoi les relations (43) montrent qu'il en résulte

L = L', Gr^ G', H=H'.

95. Autre démonstration. — On peut arriver aux formules de Delaunay par une autre voie, comme l'a montré M. Radau {Bulletin astronomique, t. IX, p. 336); nous nous contenterons d'indiquer ici, en quelques mots, le principe de cette démonstration.

Pour passer d'un système d'éléments canoniques bi à un autre a^, p^-, il suffit, d'après Jacobi, de prendre pour les des fonctions des et de faire

^ à ai oiy.i

Un cas particulier est celui des relations linéaires qui satisfont à la condition a^h^^ a^b.^-}- . . . = a, ^, h- ^2 + • • • » par exemple

où p^, P3 sont des coefficients numériques. Mais l'on peut aussi prendre pour ces coefficients des fonctions des a^, en mettant à la place de la première relation (T) la suivante

(II*) dai= dai-+- p^da.^~h Pida^.

En faisant p.,= p.^ = o, on voit qu'il sera permis de remplacer a^ , b^ par a, = /(^t,) et [3, — bf C'est ainsi que nous avons remplacé C et / H- c par L = /(C) et

1= (t ^- ^)^* Notons enfin qu'on peut mettre bi-hpt-+- ^ à la place de bi, en

remplaçant R par R - pai ; c'est ainsi que, plus haut, ? + c et R — C ont remplacé c et R. On arrive donc, en premier lieu, au système canonique L, G, H, /, g, h.

Ne prenons, dans R, que les termes qui dépendent de L, G, H et de l'argument ^ = il -h i' g -ï- i"/i-h pt -h q. Les formules (T) montrent qu'on peut remplacer l'élément / par Ô en gardant g, h et en remplaçant L, G, H par les nouveaux éléments 0, (G), (H) déterminés comme il suit :

L = i&, G — <'0 + (G), Hrr.t"0 + (H),

pourvu qu'on remplace aussi R par R — p&. Comme la fonction R ne renferme plus g, h, les éléments (G), (H) sont des constantes : il ne reste que deux variables 6, 0 liées par l'intégrale R = const. ou R + C = o. Les équations cano-

«1 — Pl «1 H-/'2 «2 + /"s OC3 ; ,

niques sont dès loi's intégrables par des quadratures qui introduisent les nouvelles constantes c, (g), (h).

L'équation R + C = o étant différentiée par rapport aux constantes (sous le signe S) et les dérivées de R remplacées par leurs valeurs, il vient

(III*) dtdC=---d&dd + d9§Q-i^dgè{G) dhd(ll).

Si nous supposons 0 exprimé en fonction de la variable indépendante 0 et des constantes C, (G), (H), nous aurons <50 — o, et, en posant

ed& (lim. inf. Ô = o),

on obtient immédiatement les relations (VI) de la page 198, qui permettent d'exprimer t, g, h par les dérivées partielles de K.

En supposant G et 0 exprimés par les six constantes C, ( G ), (H), c, (g), (A), l'équation (HT) devient une identité. Or nous avons vu que les intégrales (VI) conduisent à des développements qui dépendent d'un argument t — Gq (t -+- c) et dont les coefficients sont, comme G^, des fonctions de L, (G), (H) ; ces développements ont la forme

0 T + 9, sinr + 02 sin2T + . . . , t= 6o{t-[-c),

1 — "K -i- siriT H- l-i sin2T H- . . . , 1 = {/.) + + c) ,

^dd

0 — . 0nH- 01 COST -H. . . , 0-y- =: Ao+ Al COST + . . . ,