CIT
OÙ Ao — ©0 + ~ (^1 ®i + ®2 + • • • )• JEn considérant que les termes non périodiques, on trouve qu'on aura
et (Iir) devient
aC = 0o^Ao+^o<5(G) -t- Ao(5(H).
Cette relation, rapprocbée de (II*), montre que, lorsqu'il s'agit de procéder à la variation des constantes, on peut remplacer C par Aq, en gardant (G), (H) et remplaçant / + c, (g), (h) par les éléments
Enfin les formules (T) montrent qu'on peut également adopter le système L', G', H', X, X, Y], qui se déduit du précédent comme il suit :
L' — f Ao T — il + « 'x + i"n + pt + q,
G' = «'Ao+(G), x=x,
H'=rAo+(H), Yjr^y),
en ajoutant à H, le terme -4-/>Ao. 11 est facile de voir que ces formules coïncident avec les formules finales de Delaunay.
96. Résumé des formules. — Le moment est venu de saisir dans une vue d'ensemble tous les calculs précédents.
On avait à intégrer les équations
où l'on avait
/ dL
dl
l dt
] dd
\ dt
dt ~
dh
dK
\ dt
àt "
- A cos9,
ilh-^i':;n'
On a intégré rigoureusement les équations (Aq) obtenues en remplaçant dans (A) R par R^,; dans la pratique, on pourra suivre, au lieu de la méthode indiquée, tel procédé que l'on voudra, pourvu que l'on introduise six constantes arbitraires. On développera les expressions de /, g, h, qui se composeront chacune d'une partie non périodique et d'une série de sinus. On désignera les parties non périodiques par \, x, y], et l'on aura, quelle que soit la voie suivie
L] cos(i>. + i'x + i''n + i'" n' t 4- ^) 4- La C0S2 (/A Gi cos {il + i' Y. -\- i"-n i'" n' t -h g) -h cos 2 ( « X
TT ^ / • *1 •/ • // •/// f . \ TX / • -\
G = Gq + Gi cos {il + i' y. -\- i"-n i'" n' t -h g) -h cos 2 {il H=: Ho+ HiCos(f>i -I- i'A -i- i"-f] -i- i'" /l' t h- ^) + H2 cos>'2{il
l ^1 Il sin ( t X + f ' X + i" -f] + i'" n' t -h g) + I2 sin 2 ( < A + g— -y. + gisin{il i'y. + i"'f\ + i'" n' t g) + g^ sina (f A hh = n + hi sin ( « A H- « ' X + j " r] + i'" n' t + g) + sin 2 ( H H- Q =il-^ i'yt + i"r] + i"'n' t + g
H- Oi sm{il + l'y + i"-n + i'" n' t-\- g) 4- 9., sin2(<A +
(1) Les expressions suivantes do L, G, H, /, g, h s'obtiennent en remplaçant, dans (IX) et (X), 60 (if 4- c) par sa valeur (Sa).
Ou posera les équations
L' = Lo + ^ ( L, 9i + 2 L, ^2 + . . . ) ,
qui déterminent en fonction de L', G et H' les constantes C, (G), (H) ou leurs équivalentes, de telle sorte que les formules (C) et (D) donneront finalement les expressions de L, G, H, /, g et h en fonction du temps et des six quantités L', G', H', \, /., Y].
On aura une vérification importante de l'ensemble des calculs par l'équation
(E) B+ + A ces 0:=C,
dont le premier membre devra se réduire, après les substitutions (C;, à une simple fonction de L', G' et H'.
Cela posé, pour intégrer les équations (A), il n'y aura qu'à conserver les expressions précédentes de L, G, H, /, g, h en fonction de t et des six quantités L', G', H', A, X, 7], pourvu qu'on détermine les nouvelles variables par les équations
où l'on a
On voit qu'on est ramené à un système (F) d'équations différentielles tout pareil au système (A), la fonction R' ne contenant plus maintenant le terme périodique - Acosô que l'on voulait éliminer. La partie non périodique est modifiée par la quantité y /z'L - C. On devra opérer, dans R,, la substitution (C), ce qui donnera pour R' une expression de la forme
dlV
dl
dVV
i dt ~
dt
dh'
dy.
j dt ~
dt ~ ~
dG'
\ dR'
dR'
dt
dfi '
~dt~~~
dlV
Ri-C-
2o8 CHAPITRE XI.
Enfin Delaunay opère dès à présent la substitution (C) dans les expressions (il) de la longitude Y, de la latitude L et de ^- On est donc ainsi ramené à isoler l'un des termes périodiques - A^cos^Ta de R' et à reprendre un engrenage de calculs semblable au précédent. On aura bien remarqué que les quantités C, (G), (H), c, (g), (h) n'ont servi que d'intermédiaire et qu'elles ont finalement disparu. On observera également que la formule (K), rapprochée de l'expression (E) de C, donne
On a ainsi simplement l'expression de la nouvelle fonction perturbatrice en fonction de l'ancienne, ce qui complète l'élimination de la quantité C.
Il est inutile d'introduire des notations nouvelles pour L', G', H', X, x, y]; on peut dire qu'on remplacera dans les coordonnées de la Lune et dans le développement de la fonction perturbatrice L, G, H, /, g, h respectivement par
Li cos ( il + i'g- - H i" h + i'" n' t ~-v- q) + L. cos '2.{il-\- GiC0s(i7+ i' g ■^- i"h + i"' n' t q) -h G, cos2 {il + HiC0S(i7 + i'g + i"h + i'" n' t + q) + H. cos2(f7 +
/, sin{il -}- i' g + i" h i'" n' t-r q) 1-2 sin2(i7 + .. g^siniH + i'g + /"// 4 i'" n' t-h q) -\- ^2siri2(i7 + . . h 4- A, sin («7 4- i' g + i" h -\- i'" n' t ^ q) ^- /?2 sin 2 {il + .
Les quantités C, (G), (H), ou celles qu'on leur a substituées, sont liées aux nouvelles quantités L, G, H par les relations
L Lo + - (Li 01 + 2 La 02-f- . . . ) >
G = Go+ ^-(G,0i + 2G,02 + .,.), H=:Ho+ -(Hi9. +2H292 + -.-).
Enfin la nouvelle fonction perturbatrice s'obtient en ajoutant à l'ancienne la quantité
— «'( L - Lo') ^ -.- n'{hi 2L2 + . .
ou plutôt
i r-/i'Li cos(// + V g 4- i"h H- i"' II' L --{- q) ^ n'h^ cos 2 ( + ...)--•• •
H r/l'(Li 01 + 2L, 9, +. . .).
Les nouvelles variables devront vérifier encore les équations (A), dans lesquelles la fonction R a le sens qui vient d'être indiqué.
97. Cas d'exception. — Les formules précédentes sont en défaut quand on a i = o, car cette quantité a été souvent introduite en diviseur. Mais, si i étant nul, i' ne l'est pas, on pourra faire jouer à G le même r()le qu'à L. On verra aisément que les formules (C) et (D') subsisteront, à la condition de prendre hp = o pour /? >> o et de remplacer (K") par
i'" i'" — -^j n'Gi cos(/'^- + i" h + i"' Il t -v- q) .jh'Vj.^ (1.0^2 {i' g- -y- ...)—., ,
Si les deux nombres i et i' sont nuls, c'est H qui jouera le rôle de L; on fera Lp= = pour/?>o, dans les formules (C) et (D'), et l'expression (K"; sera remplacée par
— jjfn'R^ ces («■"/? 4- V" II' t^q) — T77/i'H2COS2(«'7j + V" II' t -\- q) — . . .
+ - jr,n'{B, 9, + 2lh 02 +. . .).
Le seul cas qui exige un traitement spécial est celui où l'on a à la fois i=z i'=i"z=o. Si l'on se reporte à la formule (10), en tenant compte de i'''—i"=o, on verra que les arguments de R qui répondent au cas actuel sont de la forme On considérera alors tout l'ensemble des termes en cos/', C0S2/', cos3/', . . . , et l'on intégrera les équations (A) en prenant
R = =1 — A ces /' — A' cos 2 /' A" cos 3 — ;
on ne prend pas cette fois de partie non périodique dans Ro. D'après le théorème de Jacobi, on aura à considérer l'équation
^ — A cos / — A' cos 2 /' — ... = o, ât
où les variables indépendantes sont t, L, G, H; les trois dernières figurent
seules dans les coefficients A, A', ... et la première dans l' = n {t -\- c' ). Il faudra trouver une solution avec trois constantes arbitraires. On peut regarder S comme une fonction de L, G et H, et l'équation aux dérivées partielles devient
yS A , A' ,
; COS l ; C0S2 / — . . . i— o.
al n' II'
Elle est vérifiée par
OÙ (/), {g) et (h) désignent trois constantes arbitraires. Soient (L), (G) et (H) trois nouvelles constantes arbitraires. D'après le théorème de Jacobi, les intégrales générales des équations différentielles considérées seront
I ' = ( O -^ — -, ^ sm /' H : sm 2 + .
1 / / / i ôA . I dk' .
I n' àti 2/i' dH
On voit donc que L, G et H sont des constantes. On fera maintenant
et, pour intégrer les équations (A) avec cette valeur de R,, on conservera les expressions analytiques (53) de L, G, H, /, g, h, en regardant comme variables les quantités (L), (G), (H), (/), (g) et (h). On sait d'avance que l'on aura, pour déterminer ces nouvelles variables, les équations canoniques
à{L) dR, ^^G) ÔR^ djE) âh^
dl ' d{l)' dt ^ d{g-)' dt ~ d{hy
d{l) diff) ^ (jR, d{h) âRj
dt d{L)' dt ~ à{{i)' dt ~ d{B.)'
Il est inutile d'introduire une notation spéciale pour les nouvelles variables, et l'on peut dire que, après avoir intégré les équations (A) en y remplaçant R
THi:ORIK l)K LA LUNI-, DE DEl.AUNAY. 211
par Rq, si l'on a obtenu
l =: { l) ~\- sin /' + 1-2 Sill 2 /' H- . . . ,
^' (^) + gi sin /' + g-^ sin 2 , h — [h) + ^1 sin/'+ /«, sin 2 /' + ... ,
L, G, H étant d'ailleurs constants, il suffira de remplacer, dans les coordonnées de la Lune et dans la fonction perturbatrice augmentée de
