A COS/'H- 4' C0S
/, g-, h par
I / H- sin/'+ ^2 sin?J' -t-. . . , (54) / ^ -F-^i sin/'H- ^2 sin2/' + . . . ,
*h H- si n H- sin 2 /' + ... . On aura, pour déterminer L, G, H, /, g, h, les mêmes équations (A).
98. Il conviendra de commencer les opérations en faisant disparaître de R les termes en cos/', cos2/', .... On se débarrassera ensuite successivement de tous les termes périodiques capables de produire dans les coordonnées de la Lune des inégalités sensibles, de sorte que finalement la fonction R pourra être réduite à sa partie non périodique. Les équations (A) donneront alors
dL dG dE
-dû-'''
dt~~' dC dt ~ â{\' dt ^ m'
d'où
L— consl., (i = const., H=:const.,
(A) désignant cette fois des constantes définitives ainsi que L, G, H; /o, ^0 et seront des fonctions de L, G et H. On aura donc ainsi les coordonnées de la Lune exprimées au moyen du temps et des six constantes L, G, H, (/),te)et(A).
Si l'on appliquait jusqu'au bout, et avec toute leur rigueur, les formules précédentes à toutes les opérations élémentaires, on serait conduit à des calculs effrayants. On peut heureusement les abréger en se rendant compte d'abord de l'ordre des inégalités introduites par chacun des termes périodiques de R; on sera ainsi conduit à ne faire qu'un nombre assez restreint d'opérations complètes et un nombre plus considérable d'opérations abrégées. C'est ce qui sera expliqué dans le Chapitre suivant.
CHAPIÏRK XII.
99. Classification des termes. — Nous avons tout d'abord à examiner les différents termes du développement de la fonction R, afin de nous rendre compte du degré d'importance de chacun d'eux, au point de vue des inégalités qu'il peut introduire dans les expressions des coordonnées de la Lune. Pour cet examen sommaire, nous partirons des formules (A) du Tome I, p. 169; nous n'en conserverons même que deux, celles qui concernent les dérivées des longitudes du périgée et du nœud, que nous réduirons à leurs parties principales,
dt na^ e de ' dt [\nd^ y dy
Nous pourrons considérer séparément chacun des termes périodiques, — A cosO, où l'on a
d^Ll+ V g i" h i'" a' l -v-g; A contient l'un des facteurs
Nous appliquerons les formules (i) en considérant, dans les arguments 6, /, g, h comme étant de la forme a -h p/; pour /, le coefficient |3 est égal à n \ dans
le cas de g et de h, il est de l'ordre de n • comme on peut le conclure des
formules (i) elles-mêmes. On devra donc prendre
sinô
in i 'j3 -H H- i'" n'
SUITE DE LA THÉORIE DE LA LUNE DE DELAUNAY. 2l3
en représentant par p et p' les moyens mouvements de g et h. Gela posé, on voit que le diviseur de sinO sera de l'ordre o si i^o, de l'ordre i si « = o et i"'^o, enfin de l'ordre 2 si l'on a en même temps i = o et i'"— o. Il peut donc y avoir, par le fait de ce diviseur, un abaissement de deux unités quand on passe de l'ordre d'un terme de R à l'ordre des inégalités correspondantes pour les éléments. C'est pourquoi Delaunay a conservé le neuvième ordre dans les termes de R qui contiennent /' sans /, et même le dixième ordre dans ceux qui ne renferment ni / ni
Il y a une autre circonstance dont il faut tenir compte; ^ et ~ sont, dans
les formules (1), accompagnés des facteurs ^ et - • Le coefficient A est de la forme
A„ e/' + Al e''-^^ H- A, eP+^+
I dA
Si p est nul, A et ~ ^ sont du degré o par rapport k e. S\ p = i ou 2, l'ordre
de A est supérieur de deux unités à celui de ~ On voit ainsi qu'on peut
avoir de ce fait un abaissement de deux unités. En combinant le nouvel effet avec l'ancien, on voit que, en passant de l'ordre d'un terme à celui des inégalités qu'il engendre dans les éléments, il peut y avoir un abaissement de un, deux, trois ou même quatre ordres; on pourra employer les mêmes considérations pour ^ Donnons quelques exemples :
Le terme
m' / 3 3 „ 1 5 „ 1 5 , ,^ ' -y- TT e-
^,3 .^f 3- ^ e'-^ cos(2/i + 2^+ 2^ — 2A'— 2^'— 2/')
est du second ordre, et il en est de même des inégalités des éléments. Le terme
e- ~ ■ ' ' ) ^ + 2 A — 2g' — ih' —
est du quatrième ordre et donne des inégalités du premier ordre ^double abaissement par le diviseur ri et par ^ ^ Le terme
— e ■ h . . . cos/
est du troisième ordre et produit des inégalités du premier.
2l4 CHAPITRK Xll.
Enfin le terme
est du sixième ordre, et les inégalités correspondantes sont du deuxième.
En opérant ainsi, Delaunay a trouvé dans R cinq termes pouvant donner naissance à des inégalités du premier ordre dans L, G, H, /, g, h\ ils ont pour arguments
11 y a de même dix-huit termes produisant des inégalités (lu deuxième ordre et vingt-cinq conduisant à des inégalités du troisième ordre. Si l'on veut faire disparaître de R les différents termes capables de produire des inégalités des ordres i , 2 et 3, on aura donc à faire disparaître de R, 5 + 18 h- ^5 = 48 termes périodiques. Une circonstance spéciale contribue encore à augmenter le nombre des opérations complètes.
100. Introduction de termes nouveaux. Réapparition d'un terme. —
Nous avons indiqué dans le Chapitre précédent que chacune des opérations de Delaunay a pour but de faire disparaître un terme périodique — A cos6 de R. Dans la réalité, les choses sont plus complexes. En premier lieu, l'opération effectuée introduit toute une série d'arguments compris dans la forme
désignant l'un quelconque des arguments primitifs autres que 6. Les Sr, pourront rentrer en partie dans les Sr< ; mais quelques-uns de ces arguments peuvent être nouveaux. Toutefois il convient de remarquer aussitôt que l'ordre du terme en S^o est au moins égal à celui du terme en augmenté d'une unité, car les inégalités introduites par le terme en 6 sont au moins du premier ordre.
Il peut arriver même que l'on ait = ; cela aura lieu en particulier si l'on a S, = 26,7= I ; de sorte que l'argument 6 que l'on avait chassé reparaît immédiatement. Supposons, par exemple, G = /; le terme - A cos6 est de la forme
e(Ao-h. . .) cos/.
Il est du troisième ordre et donne lieu, comme on l'a vu, à des inégalités du premier ordre dans les éléments. D'autre part, le terme en = i^ est de la forme
il est du quatrième ordre et donne des parties du cinquième ordre quand on a opéré la substitution, après avoir tenu compte des termes en cos/; on retrouve ainsi un terme tel que
— ~i TT- c-(Bo+ . . .) cos/;
ce terme en cos/, qui a reparu, se trouve être ainsi de la forme
W ^-%(^)'(C.+ ...)cos/.
Le terme disparu était (3); ce terme réapparaît sous la forme (4); au lieu d'être du troisième ordre, il est maintenant du cinquième, mais donnera lieu encore à des inégalités du troisième; donc on devra encore lui appliquer une opération complète.
On pourrait, par une modification de la méthode de Delaunay, faire disparaître à la fois non seulement le terme en cos G, mais aussi les termes en
COS2G, cos36, On empêcherait ainsi le terme disparu de revenir aussitôt;
mais il reviendrait un peu plus tard, après deux, trois, . .. opérations. De sorte que la réapparition d'un terme est un phénomène général; toutefois il n'y a pas grand mal quand, après son retour, il ne donne pas lieu à une opération complète.
Finalement, dans le cours des quarante-huit opérations sur lesquelles on comptait d'abord, on a rencontré quatre nouveaux termes des ordres 5, 5, 7, 7; cinq termes ont reparu, avec des ordres augmentés de i, 2, 2, 2 et 3 unités. 11 a fallu faire ainsi 48 + 4 + 5 = 37 opérations complètes. Leur détail remplit les 882 pages in-4 du Tome I de Delaunay.
101. Formules auxiliaires. — 11 reste à dire comment on arrive dans la pratique de chaque opération aux développements (IX) et (X), p. 195, de L, G, 11, /, g, h. Il est plus simple de ne pas recourir à la quadrature
I r dL
Delaunay a ramené tous les calculs qui se sont présentés à lui à deux types d'équations différentielles simultanées du premiei' ordre.
Premier type :
de
, = QMsine,
de ^du r
