Q COS
dt de de
Q est un coefficient très petit, M et P deux fonctions développées suivant les puissances entières et positives de la petite quantité e.
On opère dans chaque cas particulier en faisant des approximations successives, en négligeant d'abord Q, puis Q^ Q% .... On trouve ainsi les développements de e et de 0 sous la forme
ez-e^-V El COS 00 ('^ + c) + E2 ces 2 9o( ^ + <?) H- • • • : 0 = 00 ( ; + c ) -H 01 sin 00 ( ^ -i- c ) + 02 sin 2 0(, ( ^ + c )
e, et c sont les deux constantes arbitraires; et sont des polynômes de degré /? en Q dont les coefficients dépendent de e,, ; Oo se présente sous la forme d'une série ordonnée suivant les puissances de Q^, les coefficients dépendant de e,. Delaunay n'a pas jugé utile de donner les expressions analytiques de et de Ô^. Il a rencontré ce premier type dans celles de ses opérations qui portent les n^** 26 à 45 et 49 à 57. Ce qui le caractérise, c'est que la quantité e ne figure
nulle part en dénominateur; dans toutes les opérations mentionnées, ^ con-
tient le facteur e et -t^ est entier en e.
lia- e oe
Deuxième type : On le rencontre dans les opérations 1 à 25 et 46 à 48; e figure en dénominateur dans les équations différentielles qui sont de la forme
I ^ =M(i + Mie2 + M2eMsin0,
1 ^ N ( 1 + Ni N, + N3 e« ) + M "i^-^'^-^'^^ ces 0 ; \ dt e
6 désigne l'argument considéré dans l'opération dont il s'agit, M une quantité du second ordre au moins. M, , M,, N, N, , No, N^, , P2 des quantités de l'ordre zéro. Delaunay a donné seulement les intégrales sans faire connaître la marche employée; j'ai pensé qu'il était bon de combler cette lacune. Soit posé
^=Q, f{e)=i + M,e'--^M,e'+..., = I + Ni e'-+ Nj + N3 e« + . . . , ']){e)
les équations (A) pourront s'écrire
de
dQ
~-.= (p(e) + Q4;(e)cos9.
On pourrait intégrer ces équations par des approximations successives, en négligeant d'abord Q, puis Q% mais il vaut mieux se rappeler que l'argument 6 peut être développé sous la forme
(6) 0=:0o(^ + c) + QaiSin0o(^ + c) + Q2a2sin2 0o(^ + c) +
En substituant dans la première équation (5) et employant les approximations successives, on trouve
(7) e = ei4- QPi cos0o(^ + c) + Q2j32COS2 0o(^ + c) H-
Il s'agit de déterminer a, , . . . , , . . . et Oo ; et c seront les deux constantes arbitraires. On pourra développer /(e), ^(e), ^{e) parla formule de Taylor suivant les cosinus des multiples de 0„(^ h- c); on aura, par exemple,
9(e) = 9,-1- 9; [Q(3i cos0o(^-t- c) H- Q2(35cos2 0o(^ + c) + . . .] + 9i ^Q^f3^ + ^Q-^(3f cos20o(^ + c)-f-...j 4-...,
OÙ l'on a écrit, pour abréger, (p,, cp'^, . . . au lieu de cp(e,), {e^), On développera de même les expressions de sinG et cosG; on les substituera en même temps que celles de f{e), ^(e), '>p(e) dans les équations (5), et, en égalant à zéro les coefficients de
sin0o(^ + c), sin20o(^ -h c), cos0o(^ + c), cos29o(< -h c),
et le terme non périodique de la seconde, négligeant Q\ on trouvera
(8) -f^ = 9i + - QM - 4^1 + 4^1 + (^i 9Ï ) ;
T. - III
2l8 ' CHAPITRE XII.
d'où, avec la précision indiquée,
^ /i ^ + Pi 9'i
Les formules (6) et (7) donnent d'ailleurs
e sin(
l^e, + ^ (e^ (Sa — ^ e, + ^ a, [3, +- ^ Q (gj ai H- [3i ) sin2 6'o ( f + c)
sin 9o(^ + c)
+ (^e, ao ^ [3, H- a"^ !- ~ «i ) sin 30o(« + c) +. . . ,
e COS0 = ^ Q (— ^1 «1 + j3i ) -h
^Q^ (^— ei [32 — ^e, — ^ a, (3i^j cos9o(< + c) + ^ Q(ei «1 --f- {3i) cos2 5o(^ +
+ ^ ^fii «2 + [^a + ^ei<x\+ ^ ai jSj^ cos 3 ô,, ( ^ + c ) + . . . .
Delaunay a désigné par le coefficient de sinGo(i-f-c) dans esin9; pour retrouver ses formules, il y a donc lieu de poser
«1 + ^ «2 — (32 — ^ ei a^ H- ^ ai f3i ^ = eo ,
d'où
('o) ^i==^u(i-^Q^a,+ ^-Q-^a?) + ^Q^([3,-^ai[3,).
On devra remplacer partout e, par cette valeur. Les formules précédentes donnent
j ecos0=rEo+ («0+ Kl) cos9o(^ H- c) + E, cos2 0o(^ H- c) + Es cos3 0o(^ 4 c) +. .., ' esinO^ eo sin0o(^ H- c) -h E2 sin26'o(^ c) -t- E3 sin 36'o(^ + c) +. ..,
OÙ l'on a fait
El = (^(^s— eoas— ^ai (3i + ^eoafj, E2= ^Q((3,+ eoai),
Es ^ ^[32 + eo «2 -t- l «1 (3i -r ^ eo «î^
On s'assurera aisément que, au degré de précision cherché, on peut remplacer, dans les formules (9), cp,, cp', , ... par cpo, 9^, mais, dans (8), on doit prendre
9i =90+ («1— ^o)9o ou bien, en vertu de la formule (10),
11 faut maintenant remplacer /«, cpo» '^^o par*
Les formules (9) donneront successivement [3,, a^, (^o, a^, après quoi on tirera Eq, E,, E2 et E3 des relations (11). On trouvera ainsi, en remettant
^ au lieu de Q,
I f3i =-i + (N,-M,)eo^+(N2-]\l2-N? + MiN,)e^
= ^ [ i + (P,-3N.)e^+(P2--5N2+5N?-2M,N,-NiP,)e;n> ^0
+ (3M2 + 6N2- P2+ 2M?-9N? + 2MiNi-MiPi+ aNiPOeJ],
-^(M2-4N2-P2-i-i4N?+ Pf-MiN,-MiPi-5N,P,)eâ],
Eo =^ ^ ^ [- 2 + (4N, - M, - P, ) el (6N2 - M,- P,- 6N^ 3M. N,4- N, P, )
^^^IE, = - ^ [(P,M,~2Ni)eg+(P2-M,-4N,+ 4N?-MiN,-N,POen>
