I /MV

-h (4M2 -1-4^2- 12N2+ 2M? + f4N?— i3M, N,+ 2MiPi- 5N, Pi)e^] E3 = g (^j^- j (2M2-I- 4N2- 2P2+ 2M? + 6N'ï + 2P-^ + 9M, Ni - 4Mi Pi- 7N, P, ) e^

On a ensuite

+ (M,+ ioN2-5P2.-6N?-P?+3M,N,-M, P,+ 5NiP,)e^], 9i = ?o+ ^Q'[N,+ (2N2-8N?-+--MiN. + 3N, P,)el],

d'où

/ 0o = N(i + N,c^+N2eâH-N3e«)

l +(M2+ r2N2-5P2-i4N^-Pî-+4MiN,-M,Pi + 8NiPOe„2].

Si l'on fait

(F) 0 = ^o(^H-c) + 9,sin9o(<+c)-)-92sin25o(^^c)+...,

on aura

Les formules (B), (C), (G) résolvent la question; elles sont identiques à celles de Delaunay (t. I, p. 107 et 108); il est vrai que nous lui empruntons deux petits termes en (^^J qui figurent avec un (*) dans les expressions ci-dessus de Eo et de G,; notre calcul, pour les donner, aurait dû être poussé plus loin. Les valeurs précédentes de e et dé G seraient incommodes à cause des petits diviseurs e^, <, . . . qu'elles contiennent; fort heureusement, les développements (B) de esinG etde ecosG ne renferment pas ces diviseurs, et ces développements sont les seuls dont on ait besoin (').

Pour mieux faire comprendre la méthode et la façon de l'appliquer, nous allons faire un exposé sommaire des deux premières opérations de Delaunay; mais, auparavant, nous rappellerons la signification initiale de L, G et H ;

(1) Foir le Tome I de Delaunay, p. HjS-SS^.

On en déduit sans peine, en développant suivant les puissances de et y^,

da 3 da da

de \ — àe \ ( i , i , \ de

(?L na-e dCi na}e\ 2 8 ^jj

dH f\na-y \ 2 8

OÙ l'on a mis ai à la place de y/ ~ On aura ensuite

— ^^^^^^ i ôL da ôL de dL ' dy ôL'

JdR âRâa ÔR de àR ây j ôVt ^ â(} ^ de ^ dy dij'

\ dR dR da àR de^ dR &i \ dû ~ dâ dR de dR^ dy dR

On pourra ainsi former aisément les dérivées ^5 ^5 ^) en partant du développement de R (p. 189), dans lequel les coefficients des cosinus des arguments 0 sont développés suivant les puissances de a, e et y.

102. Première opération de Delaunay. — Nous prenons l'ensemble des termes en cos/', cos2/', . . . (Delaunay, t. I, p. 261) :