ID

d'où, en changeant i en « -h i , « -h 2, . . ., et remplaçant chaque fois -^j

jiaçaiii ciiMijut; luis

par leurs valeurs déduites de la même formule,

■ni Mi

On aura de même, en partant de (i3),

Les fractions continues (16) et (18) convergeront rapidement, parce que M;Mj+,, M/+,M/+2» • • •» M^M,<, . . . contiennent ^; en facteur. On aura, en particulier,

La relation (12) donne, d'ailleurs,

En portant dans cette relation les expressions (19) et (20) de y], et y],, et remplaçant en même temps les par leurs valeurs (i4)» on trouve, pour déterminer h en fonction de ^ et </, , cette équation transcendante

ff'— {h + 2)2

Le second membre de cette équation ne change pas quand on remplace h par — A; de sorte que, quand on prendra les réduites correspondantes des deux fractions continues, on aura, pour déterminer A, des équations algébriques qui ne contiendront que des puissances paires de l'inconnue. La convergence des fractions continues précédentes a été examinée complètement par M. Bruns {Astron. Nachr., t. GVI, n« 2533).

Nous allons développer les résultats généraux qui précèdent, en supposant q^ petit; si nous consentons à négliger seulement q], l'équation (c) pourra s'écrire

{h-2YV'^[q'-

(A-2)2][ry2-(A-4)^])'

OU bien, en effectuant les calculs,

cf — — 4

^ (^2/j2^)2 jt5/^2

^^6 yt(3A2|24)^^2(3A4^i28A^+i44) — /<^—io4A^— 656/1^-256 "^^^^ [{q'- — lî'—^y—l&h^Y[{q^ — h^—lÇ>Y—Ç,^l^^^\

Cette équation se prête très facilement aux approximations successives. On

peut d'abord négliger la deuxième partie du second membre et remplacer, dans la première, par , ce qui donne

(22) q''—h^ = , li'—q'-^

On peut maintenant remplacer Iv , dans le terme en q\ de l'équation (21), par q^y et par la valeur (22) dans le terme en q\ ; il vient ainsi

d'où

On en conclut, par la formule du binôme et avec la même approximation,

L'"^ 4^^(i-^^) "'^^64^Hi-^^r(4--7^)J ^

Telle est la formule qui nous permettra de calculer A dans les applications. Qn peut écrire aussi

lig{i — q^) &[^q\\ — q^Y{k — q') J

d'où, par la série de Taylor,

I cos Att = [i - 3,/[;!:^.). + ■ • •] cos.y ;r

Cette équation a été employée par M. Adams, comme nous le verrons plus loin. 4. Calcul des coefficients tu. — Nous allons effectuer ce calcul en négli-

(1) Le terme suivant dans le crochet est

g To5<7io— ii55?»+ 38i5r/6 — 47057'^ -4- 1632^^2— 288

INTPxODUCTION.

géant q\. Les formules (19) et (20) donnent d'abord

=M,(i + M,M,), ^ =M.(i + M-iM,).

On a, d'ailleurs,

Il en résulte, après quelques réductions,

'Hl — 7i 3 (/^H- + 157 + 16

yi-i 7i 3 7^—47^ + 157 — 1 6 ■^0 ~4(i-7) 1287(1-7)3(9. -7) (i^fT^'

On a ensuite

d'où, en remplaçant y],, Mo et M o par leurs valeurs précédentes.

Ylo 32(1 +7) (2 + 7) Y)o 32(1 — 7) (2 — 7) '

On a enfin

■no~ 384(1 + 7) (2 + 7) (3 + 7) •'^o 384(1 -7) (2 -7) (3 -7)

En tenant compte de tous ces résultats, l'intégrale générale (b) de l'équaï. - III. 2

lO

tion (a) peut s'écrire ainsi

CIIAPlTrxE I.

= cos w +-

i lia

qi 3 r/^ — 4 y- + 1 5 7 — j 6

4(i-r7) 1287(1-7^^} (2 -7) (iH-r/)

ql

cos((i^ + 9) cos((v^ — 9)

-h. . . J COS((V +2 5) + . . . J COS(«'' —2 9)

, . j cos((ï^ +3 9)

+ . . . J cos(w — 3 9)

On pourra consulter avec fruit un Mémoire de M. Poincaré (Bulletin astronomique, t. III, p. 57), dans lequel les formules (d) et (e) sont établies par un procédé entièrement différent.

5. Intégration de l'équation («) avec second membre. — Nous considérons l'équation

{a') + 0^(7^+ 271 cos2i) = W,

OÙ l'on a

H,-, et bi désignant des constantes données. Posons

Cl = -/îo cos^', C2 = — -Oo sinij',

ccy — cosJît + — - — . . . cos(/?i+ 0) + — - [4(1 + ry) J L4(i-f7)

^5 =: s'in ht +

."j cos{ht— 9) +... , . J sin {ht — 6) +... ;

X, et X., seront deux solutions particulières de l'équation (a) vérifiant donc identiquement les relations

d'où l'on conclut

oc I

, , dx.^ dx,

c désignant une constante. L'intégrale générale (e) de l'équation (<7) pourra être mise sous la forme

(28) = Ci^l 4- C2.2?2«

Nous conserverons la même forme pour représenter l'intégrale générale de l'équation (<2')' niais et C2 seront des fonctions de t qu'il s'agit d'obtenir. Nous n'aurons qu'à suivre la méthode générale de la variation des constantes arbitraires; nous astreindrons d'abord C< et à vérifier les relations

(29) ^^+^,__-^o; nous aurons ensuite

, . OC .-^ d" oc ^ ^ d" oC'^ doc ^ ^/Cj doc^ ^/Cg

^ IlF ~ '~d^ ^ ~dX ~dt ^ lit ~dt'

Substituons les expressions (28) et (3o) dans l'équation et tenons compte des relations (26); nous trouverons

(.-, . doc \ d^li\ doc ^ dK i<n •■-» T

' dt dt dt dt

Les formules (29) et (3i) donneront, en ayant égard à la condition (27),

C^Cj I -K-jr dQi^ I

d'où, en désignant par oC, et oC, les variations de C, et Co, tenant à la présence de W,

oCi——^J''Wx2dt, ôCa- -^ JWx^dt.

La formule (28) donnera, poui' la correction de l'expression (e),

àx = Xi ôCi + x^ dCi ,

OU bien

àx — ^ ^Xi Wxi dt — x^ ^ W.r2 dt^ ■.

COS [(/i -

si 11 [(A -

COS [(/i -

sin [(A -

11 est possible de mettre cette expression sous une forme qui facilite les calculs; désignons, en effet, par et ce que deviennent x^ et quand on y remplace ^par/'; nous pourrons écrire

(32) àœ=~ J^^ocio:'^ — x^x\) dt^ ,

en convenant de regarder dans l'intégration t' comme une constante et faisant t' = t une fois l'intégration effectuée.

Nous allons calculer en négligeant q] ; les divers termes dont se compose W seront toujours petits dans les applications, et l'approximation ainsi obtenue nous suffira; il sera d'ailleurs facile de la conduire plus loin si, dans une question spéciale, on le juge nécessaire. Nous pourrons donc prendre

a;i = Q,os>/it + — r COS [(A H- 2) n ' 4(1 + ^)

^'2 = sin ht H- 7 — ~ — ^ sin [( A H- 2 ) ^ 1 4^1 + ^)

x'. = cosA^'h- -r~ — : COS [(A 4- 2) t'^ k{\ + q)

x\ — sin lit'-\- — ^ sin [( A + 2 ) ^' ] 4(1 + 7) "-^ ' ^

Nous en déduirons aisément

(33) c = ^1 — =: A +...== ^ + des termes en q\,

x^x\ — x^x\ — sinh{t — t') -+- ^^^^ j sin [(A + 2) ^ — hi'] + sin [ht — (A + 2) ^']|

+ ! sin [(A — 2) ^ — ht'] + sin [ht — ( A — 2) j .

Il faudra multiplier cette dernière quantité par l'expression (24) de W. Un terme quelconque du produit —^N{x^x[^ — x^x\) sera de la forme

— H,- sin [{h+j)t—{h+J')t'] COS {lit + bi)

r= - ^ H, sin [(A +y +l,)t~{h~hj')t'-^ bi]

- H, sin [(A +y -l,)t-{h +/) t' - bi] ;

en intégrant, on trouvera

jj cos[(A + ,/ + //) t—{h+f) t'-hb,-] cos[(A+y- /,) ^-(A + /0 i'- bj]

Quand on fait l' — t, cette expression devient

^ COS[(.y-,/)^ + 0,-] ^ cos[(/-/O^-0,]

On devra ensuite donner à J et y" les valeurs

On trouvera ainsi sans peine, en ayant égard aux formules (32) et (33),

if)

q + h q — li

^li

cos(9i+ 0) (9,-0)]

On voit que, si l'on néglige q\, chacun des termes H^cosG,- de W en produit trois dans avec les arguments G,, G,± Q; si l'on gardait les termes en q\, on aurait les nouveaux arguments G^dz 2 G.

L'intégrale générale de l'équation (a') sera la somme x -\- ox des expressions (e) et (/).

Dans les applications à l'Astronomie, nous rencontrerons l'équation (a') sous une forme un peu différente, savoir

X 2a cos (Xp 4- (3)] ^ Aj'cos (A^t^ 4- (3,) — ^ A,cos3-f.

On passera de l'une à l'autre en posant

Nous ferons en même temps h= ^ [x, et nous trouverons sans peine que l'intégrale générale de l'équation (A) s'obtient en posant

et

= fio cos w + y Y)o |^^~T~Q cos ( w + À (• 4- [3 ) + — "^-^ cos ( (-r — >, — [3 )J

cos(n' + aXr + 2[3) cos(n' — aAt^ — 2(3 )J

Aj cos

2XQ