COS// I
-1 -„e- -{-ôy^ — -f e'^-+
Portons dans ^ = — remplaçons a par sa valeur (18) et n par
et il viendra
Les équations différentielles (19) et (21), dont dépendent e et /, rentrent
dans le type (A) en remplaçant 6 par / et faisant
M(i + Ml e'-) M(i + Pi e^)
- Sy^H
3 „ ib
- 3yM
■ri
On en déduit
M n'^GVi o , 3
8 fJL»
., . Mi-:=g+..., Ni = -
après quoi les formules (D), . . . , (G) donnent
ecos/ =
+ Co COS/o(^"+ ^) + 7g r~ ^0 C0S2 /o(^ + c),
e sin/=z go sin/o(^ + c) + — sin2/o(^ + c),
10 fji*
— n'- — cos/o(^ -t- c),
4 IX* l = + c) + /i sin/o(< -H c) + sin2 4(^ + c),
3 A 'l'^GV? 21 , , 27 21 \ 9 G^
La valeur précédente de e- reportée dans (18) donne
en posant
I ^ eoCOs/o(^H- c)J ,
d'où, avec une précision suffisante,
I II'* a]
ou encore
en faisant
Si l'on porte cette valeur de G- dans les expressions précédentes de ecos/, e sin/, /q, /, , et a, il vient
e cos /
+ eo cos/o(^^+ c) + ^ e^cos2/o(^ + c),
esin/-- sin/o(^ + c) + ^ ) sin 2 /«(^ -H c) ,
— ) 6^0 cos A) ( ^ H- ;
J — — j ^0 COS/o(^ + C)
! + -( — ) eocos/o(^ + c)
Calculons maintenant les valeurs de g- et de h, ou plutôt de A -+- ^ + /et de A par les équations différentielles
dih
dt
qui donnent, en vertu des formules (i4)> et (17),
dl
dh ~di
Tll.
Il faut substituer pour n et e leurs expressions (24); on trouve ainsi que les coefficients de — cosI^Çt + c) dans les seconds membres des équations ]»ré-
cédentes sont respectivement égaux à ^ et -• Si l'on intègre en remarquant
que la valeur (24) de /q ne diffère de /?« que d'une quantité du second ordre et que l'on désigne par (g) et (h) deux constantes arbitraires, on trouve
h-^ g+ l=(h) + {g) + (Ao + ^?'o+ ^0) {t -h c) -h ^ '-^ e,iml,{t + c) ,
3 Ai'
^0 sin/'o(^ + ;
Ao et ^0 sont des quantités qui, comme /«, dépendent de a^, e^y y, n' , e', mais dont nous ne donnerons pas les valeurs parce qu'elles ne nous sont pas nécessaires.
Les formules (24) et (20) donnent les valeurs de a, e, y, /, g, h en fonction de t et des six constantes arbitraires a^, e^, y, c, (^) et (A). Ce sont les intégrales générales des équations (16).
On aura l'expression de L en partant de L — \l\ka et y remplaçant a par sa valeur (24) ; la formule (22) donnera G, et la dernière des relations (i3) fera connaître H. On trouve ainsi
G — s/iJ-Oo
i — Co COS/o(^ +
On lit immédiatement sur ces formules les valeurs des quantités désignées dans le Chapitre précédent par L^, G^, H^; ainsi
Lo=V^/^<^o» Li = — ^ v//j.ao eo
Gi = o,
Si l'on a recours aux expressions (24) de /, , /o, ... ou de 0,, 0^, il
Vient
Ho^-(Hi9i+2H29o + ...)
On peut maintenant supprimer les indices de a, n, e, et l'on est conduit à la
règle suivante :
Dans les coordonnées de la Lune et dans la fonction perturbatrice ('), on remplace
ecos^ par e sin/ »
e cos /
e cos /
iQ \ n
e sin / + ^ ( — 1 sin 2 /
h + g + l » /< H- ^- + / + — e sin
e sin /;
Y ne change pas ; on a toujours = Les nouvelles quantités a, e, y, /,
A, dont les coordonnées de la Lune et la fonction perturbatrice dépendent maintenant, seront fournies par l'intégration des équations (16), où L, G, H sont liés à <2, e et Y par les relations
Pour passer k la troisième opération, la première chose à faire sera de cal-
(') Il faut prendre ici simplement la valeur qu'avait R avant la deuxième opération, parce que, à cause de i'" — o, on a
— ^ /i' (L — Lo) -T- - '— n\Li Oi 4- 'il-a + . . .) = o.
culer les coefficients dU ^'^P^^^ formules (27); ces coeffi-
cients sont nécessaires pour le calcul des dérivées
Delaunay a déduit de la substitution (26) les quantités qu'il faut mettre à la place de
e% e^cosa/, e^sina/, e^cosS/, e^sinS/,
il est aisé de voir que, avec ces valeurs et celles de A + ^ + / et de h, on sera à même d'effectuer la substitution dans tous les termes de R. Après cette opé-
ration, la quantité A cosô + B + y n'L ou A cosô -+- B devra se réduire à une
simple fonction de a, e et y, ce qui donnera une vérification des formules de transformation employées.
On peut remarquer que, dans chaque opération, les véritables inconnues ne sont pas L, G, H, mais a, e et y ; L, G, H ne servent réellement que d'intermédiaires et leur rôle est dû à cette circonstance que les équations (16) sont plus
simples que celles dans lesquelles figuraient e, y, et ^•
Nous remarquerons encore que, dans les opérations successives, Delaunay désigne toujours par et y^ les parties non périodiques de a et y=^ ; n'est pas la partie non périodique de e; c'est le coefficient de sinôo(^ + c). Toutefois, dans les opérations 26-45 et 49-57, e\ est la partie non périodique de e^
104. Opérations abrégées. Résultat final. — Après les cinquante -sept opérations complètes, Delaunay a fait disparaître les termes périodiques restants, qui sont tous très petits, en suivant la même méthode, mais très abrégée, en ce sens qu'il n'a pas tenu compte des changements qu'entraîne la disparition d'un terme dans les autres termes, ce qui revient à négliger le carré de la force perturbatrice; il a simplifié aussi la substitution dans les coordonnées de la Lune, en ne conservant que les termes principaux. Il est donc arrivé finalement à une fonction perturbatrice, ne contenant plus de termes périodiques appréciables, et de la forme
au degré de précision réalisé, la fonction 0 ne contient ^ qu'au premier degré. Les relations qui lient les quantités a, e, y aux dernières variables L, G, H
employées sont de la forme
(28) G.^\//I^<&(^eSf,
on trouvera ces expressions de R, L, G, H aux pages 234-236 du Tome II de la Théorie de la Lune. La première moitié des équations (16) montre que L, G, H et, par suite, a, e, y sont constants; les autres, en ayant égard aux valeurs de
5^' " ' ' ^ tirées des formules (28), donneront des équations de la forme
dl dg dh
Tt-^''
OÙ /(), ^0 6t y^o désignent des fonctions connues de e^, y-, ^) -- et e'^ Soient donc (/), (^), (A) trois constantes arbitraires, et il viendra
Les trois coordonnées de la Lune vont donc se trouver exprimées sous la forme de séries procédant, suivant les sinus (pour la longitude et la latitude)
ou les cosinus (^pour j^, d'arguments de la forme
( 30 ) il H- l'g + i" ( h - h' -g') -h i'" l',
i, i' , i", i'" désignant des nombres entiers positifs ou négatifs; toutefois, on peut toujours supposer f>o. Les constantes (/), {g), (A) figurent d'une manière très simple dans les arguments, ainsi que cela résulte des relations (29); il n'en est pas de même de a, e et y, qui entrent d'abord dans les coefficients des sinus et cosinus, ensuite dans les arguments, par les quantités /q, g^, h^. Le résultat détaillé des substitutions faites à la suite des diverses opérations dans les trois coordonnées de la Lune est donné, terme à terme,
pour la longitude (p. 24i-4i3 et p. 746-796 du t. II); pour la latitude (p. 4i4-569 du t. Il);
pour - (p. 570-686 du t. II).
Delaunay procède dans le Chapitre XI à la réduction des termes semblables; il remarque ensuite que a, e et y, qui avaient une définition précise au début
23o CHAPITRE XII.
des opérations n'en ont plus à la fin. Ce sont seulement trois constantes arbitraires, et la façon dont elles entrent dans les coordonnées de la Lune dépend du procédé d'intégration adopté. Les expressions analytiques des coordonnées en fonction de t, a, e, y, (/), {g) et (A) ne seraient donc pas comparables dans deux théories différentes. Delaunay a voulu donner aux constantes a, e et y un sens précis, et, pour cela, il les a remplacées par trois autres a, , e, et y, , telles que :
i** Le coefficient de sin/ dans la longitude V ait la même forme que dans le mouvement elliptique, savoir
ce qui reproduira le premier terme de l'équation du centre;
2° Le coefficient de sin(^H- /) dans la latitude ait aussi le même coefficient que dans le mouvement elliptique, savoir
^ y 1 - 2 y, - ^ y î + ^ y, + 1 y f - y, eî ; 3*^ Le coefficient de / dans la longitude moyenne h + g-hl soit égal à
On y arrive en remplaçant a, e, y respectivement par et y, augmentés de corrections convenables; finalement, on supprimera les indices de a^, et y, . On substituera les anciennes valeurs de a, e et y en fonction des nouvelles dans les trois coordonnées de la Lune, dont on obtiendra ainsi les valeurs réduites. Ces expressions définitives des coordonnées sont données dans les pages 803-924 du Tome IL
Delaunay introduit en même temps les quatre arguments fondamentaux ;
D — /z -h ^ 4- / — h' — g' — r =r distance moyenne de la Lune au Soleil; F ■= g -\- l = distance moyenne de la Lune à son nœud ascendant; / =. anomalie moyenne de la Lune; /' — anomalie moyenne du Soleil.
Un argument quelconque (3o) des formules finales devient ainsi
il + t ' (F - /) + - F + + i"' l',
c'est-à-dire une combinaison linéaire des quatre arguments fondamentaux qui sont chacun de la forme ol-+ ^t.
Delaunay n'a pas fait les substitutions entraînées par les diverses opérations dans les valeurs initiales de L, G, H, /, g, A, ce qui lui aurait permis d'obtenir
en fonction explicite du temps les valeurs des éléments osculateurs à un instant quelconque. line l'a pas fait parce que les calculs, déjà très longs, seraient devenus considérables; aussi s'est-il borné à remplir le but final, en donnant les trois coordonnées de la Lune. Hâtons-nous de dire qu'il serait aisé de combler cette lacune, en partant des données très claires et très complètes du grand Ouvrage de Delaunay. Mais, en consultant l'engrenage des opérations successives, il est facile de voir que les éléments osculateurs a, e, y seraient développés en séries de cosinus des multiples des quatre arguments fondamentaux. D'ailleurs les différences entre les valeurs que prennent les quantités/, g, A, au commencement d'une opération et à la fin, sont des séries de sinus des multiples des arguments, et l'on en peut conclure que l'anomalie moyenne de la Lune, la longitude du périgée et celle du nœud, dans l'ellipse osculatrice, sont égales respectivement aux quantités
{l)-hlot, {h) + {g-)-^ih,-hffo)t, (h) -{-/lot,
augmentées de séries de sinus d'arguments de la forme
aD + a'F + a"/+ a"'/',
de sorte que h^-i- go et désignent respectivement les moyens mouvements du périgée et du nœud.
Enfin, dans les formules finales, on a posé
n' /ni' aJa
Vf- a' s/ a'
de sorte que les coefficients des diverses inégalités sont des séries ordonnées par rapport aux puissances entières des vraies constantes e, y, ^> m ete'. n désigne
en dernier lieu le moyen mom^ement constant, et les coefficients du temps dans les arguments fondamentaux sont égaux a n — n', n — ho, n — (h^ -h n'-
L'inspection des expressions réduites des coordonnées de la Lune montre qu'elles sont de la forme
[ V=:const. + «/ + 2xsin[iD± 2/fF ±jl±fl'], (3i) /U=i '^M],sm[iD±{2k-hi)F±jl±fl'],
2©cos[iD± 2Â'F ±jl±j'l'].
OÙ l'on a
/ X = eJe'j'fk l^n, e", ^, e' (32) I '^S\ = eje'j'fk+^<i^^(^x^ e\ e'^,
^ G ^eje'i'f-k e\ y\ ^, e'^ j ,
/, k,j etj' désignant des nombres entiers positifs ou nuls. On peut donc, d'après les valeurs de j, /' et k, trouver immédiatement une limite inférieure des ordres de aH, a relativement aux petites quantités e, e' et y. Il serait intéressant d'avoir des données sur les ordres de G relativement à m\ voici ce qu'il est permis de juger, par induction :
Pour i — o, X, olL, G sont de l'ordre de m, excepté si j' = o, auquel cas ces quantités sont de l'ordre o;
Pour /= 2/7, X, iib, G sont au moins de l'ordre de mP;
Pour i = i, X, ^s\, G contiennent le facteur ^, et sont de l'ordre o ou i relativement à m;
Pour i — 3, X, aJb, G renferment tous le facteur ^, m.
105. Réflexions sur la théorie de Delaunay. — Cette théorie est très intéressante au point de vue analytique; dans la pratique, elle atteint le but poursuivi, mais au prix de calculs algébriques effrayants. C'est comme une machine aux rouages savamment combinés qu'on appliquerait presque indéfiniment pour broyer un obstacle, fragments par fragments. On ne saurait trop admirer la patience de l'auteur, qui a consacré plus de vingt années de sa vie à l'exécution matérielle des calculs algébriques qu'il a effectués tout seul. Aujourd'hui sa théorie de la Lune est incontestablement la plus parfaite; celle de Hansen, comme nous le dirons bientôt, lui est équivalente en précision, mais elle ne donne pas les expressions analytiques des coefficients, elle n'en donne que les valeurs numériques.
Cependant la théorie de Delaunay laisse un certain nombre de desiderata que nous allons indiquer. Les mouvements moyens du nœud et du périgée,
etA(,+ ^„, ainsi que les coefficients des diverses inégalités, se trouvent développés en séries suivant les puissances entières de e, e' , y, ^, et m; le grand
ennui vient de ce que les séries n'offrent relativement à m qu'une convergence médiocre.
Ainsi Delaunay a trouvé {Comptes rendus, t. LXXIV, 2 janvier 1872) :
/ /l. 3 Q 273 , 0707 „ IQQ273 . 6667733
nous n'avons pas écrit les termes moins importants qui contiennent en facteur les quantités e^, e'-, Y^ ^- Quand on donne à /?2 sa valeur numérique 0,0748013,
on trouve les valeurs suivantes pour les termes de ^ et :
Ao h„+ go
Termes en — 0,004 19643 + 0,004 19643
)) m6 -H 0,000 oor 42 -t- 0,00009139
» m» -H 0,000 oo3 47
— o,oo3 999 18 -H 0,008 571 5i
On voit que la série qui donne le mouvement moyen du périgée converge très lentement; la valeur exacte de la série en m est 0,008 572 57, de sorte que le quatrième chifTre donné par Delaunay est en erreur. On peut prévoir que, pour avoir le mouvement du périgée à g^^^ de sa valeur, ce qui serait désirable, il aurait fallu pousser les calculs jusqu'au terme en m''; pour le nœud, la valeur exacte de la série en m est — 0,003999 16; la précision est presque sufHsante. Ainsi la théorie de Delaunay ne donne pas avec assez de précision le mouvement du périgée, dont la valeur devrait être empruntée aux observations. Nous verrons bientôt comment MM. Hill et Adams ont réussi depuis à calculer avec toute la précision désirable les séries (33).
M. Adams a observé en outre que, en posant
les séries précédentes, étant ordonnées suivant les puissances de m,, deviennent beaucoup plus convergentes. (Voir Bull, astron., t. IX, p. 374.)
T. - III. ' 3o
Le même défaut de convergence se manifeste dans les coefticients des diverses inégalités. Ainsi la longitude V renferme l'inégalité
/2i 1233 „ i4qi3 , \ , .
{—m~\ m- H ~ — + . . . 1 ee' sm ( / — /' ) ;
nous n'avons pas écrit dans la parenthèse les termes en e-, y-, e ^ ... ; la mise en nombres donne
Terme en ee'/n 74 ','58
M ee'm^ 4 0,9 4
» ee'm^ i8,5'2
)) ee' m'* 8,11
» ee' rm . 3,66
» ee 1,72
» ee'm"^ a, 85
Delaunay a donc été jusqu'au terme en ee'm', qui est du neuvième ordre, et il n'a pas été assez loin, puisque ce terme est encore de o",85. Il a pris le parti d'ajouter un complément probable déterminé par extrapolation, d'après les différences ou plutôt les rapports des termes précédents; dans le cas actuel, il assigne au complément la valeur h- o",9i ; ici encore, pour avoir sûrement le centième de seconde, il semble qu'il faudrait aller jusqu'au terme en ee'm^\ qui serait du seizième ordre.
Donnons encore quelques exemples analogues :
L'argument de l'évection est 2D — /; son coefficient contient de petits termes dont nous allons écrire les valeurs :
Terme en ee '^m — 2 ','28
» ee'2m2 0,64
)) ee'2/«3 4- 0,32
» ce"^m^ ^-0,43
Delaunay assigne comme complément probable -4- o", 20.
Le coefficient de sin(D + /') dans la longitude contient les parties suivantes :
Terme —,e' +22 '' 1 3
» —,em^ +3,42
Delaunay suppose nul le complément probable. Enfin, voici, pour terminer, des données analogues pour trois autres inégalités de la longitude :
sin
{2D — ll-h l').
sin ( 2 D -
-il).
sin(4D — il)
Terme en
Terme en e-m. .
Terme
en e^-in- . . .
e'^ém'* . . . -+-
e^in"' .
M. Airy a cherché à remédier à cet inconvénient (*); il a adopté pour point de départ les expressions numériques calculées sur les formules de Delaunay, et, au lieu d'évaluer les compléments probables des coefficients des principales inégalités, il les considère comme des inconnues et cherche à les déterminer par le calcul, en substituant dans les trois équations différentielles, du mouvement [équations (a") du t. I, p. 92] les expressions des coordonnées de la Lune. Le résultat de la substitution ne contiendra les compléments qu'au premier degré, parce que ces compléments sont petits et qu'on peut négliger leurs carrés.
Les calculs auxquels conduit la méthode de M. Airy sont néanmoins considérables ; ils ont duré plus de dix ans, et il ne semble pas que l'éminent astronome soit arrivé à s'affranchir de toutes les causes d'erreur. Pour plus de détails, nous renverrons le lecteur au Bulletin astronomique (t. IV, p. 274-286 et 383), où M. Radau a donné une analyse étendue du Mémoire de M. Airy. Nous nous bornerons à dire que l'une des causes d'insuccès de la nouvelle tentative provient de ce que Delaunay n'a donné le développement de ^ qu'avec les termes
du cinquième ordre, ce qui était largement suffisant pour le calcul de la parallaxe; mais la valeur que M. Airy en a conclue pour r n'est pas suffisamment précise.
106. Comparaison entre Hansen et Delaunay. — Hansen n'a pas développé les expressions analytiques des coefficients des inégalités, précisément pour éviter le peu de convergence des séries. Aussi la comparaison des valeurs numériques auxquelles il est arrivé, avec celles de Delaunay, présente-t-elle un vif intérêt. Cette comparaison qui demandait un travail préparatoire, parce que les inégalités ne sont pas présentées sous la même forme dans les deux cas, a été faite par M. S. Newcomb (Astronomical Papers, t. I, p. Sg-ioy). Ce savant astronome a pris ce que deviennent les nombres de Delaunay, quand on emploie
(*) Airy, Numerical Lunar Theory. London, 1886; in-4.
poure, e', y et ^, les valeurs adoptées par Hansen et que, en outre, on tient
compte des compléments probables publiés par Delaunay dans les Additions à la Connaissance des Temps pour 1869. Voici le résultat de la comparaison pour les principales inégalités de la longitude \
Arguments.
Hansen.
Delaunay.
TT
u n* II. — \j .
-xD — l—V
La première colonne reproduit les arguments de Delaunay, la seconde les coefficients de Hansen, la troisième ceux de Delaunay, la quatrième les différences Hansen moins Delaunay. La cinquième colonne renferme les différences H.— D*., obtenues sans tenir compte des compléments probables; elles sont extraites du Tableau plus complet que nous avons donné plus haut (p. 1 12-1 15); enfin la sixième colonne contient les compléments D. — D'*'. On n'a inséré ici que les vingt et une inégalités pour lesquelles la différence H. — D. est au moins égale à o", 1 en valeur absolue. On voit donc que, sur l'ensemble des inégalités de la longitude, il y en a seulement vingt et une dont les coefficients diffèrent de o", 1 ou plus dans les deux théories; sur ces vingt et une différences, quatorze sont comprises entre o",i et o", 2, trois entre et o",3, une entre o",3 eto",4, deux entre o",4 et o", 5, une entre o",5 et o",6. L'accord est en somme très satisfaisant et montre que la faible convergence des séries n'a que peu d'influence sur les résultats de Delaunay. M. Wilding a effectué la comparaison entre les deux théories pour les inégalités de la \2ii\i\Xi\e {Monthly Notices, t. XL; 1879); l'accord est également très satisfaisant.
On peut conclure de là, en tenant compte des travaux supplémentaires de
MM. Hill et Adams, auxquels nous avons déjà fait allusion et dont nous parlerons bientôt, que les perturbations de la Lune qui proviennent du Soleil, supposé se mouvoir dans une ellipse invariable, sont maintenant calculées avec une précision presque suffisante. Cela est établi par l'heureux accord de deux théories entièrement différentes. Les écarts sensibles qui subsistent malheureusement encore entre les Tables de Hansen et les observations de la Lune doivent donc avoir une autre source. Delaunay espérait sans doute que sa théorie les expliquerait en partie; sa mort prématurée l'a empêché de poursuivre ses recherches dans une autre direction.
107. Modification possible de la méthode de Delaunay. — L'un des inconvénients les plus sensibles de la méthode d'intégration adoptée par Delaunay, c'est que, comme on l'a vu (p. 228), les éléments canoniques L, G, H, qui figurent dans les équations différentielles, ne servent que d'intermédiaires pour arriver aux éléments a, e, y, qui figurent dans la fonction perturbatrice et dans les expressions finales des coordonnées. Or il serait possible, ainsi que l'a remarqué M. Poincaré, d'introduire un autre système d'éléments canoniques, susceptible d'être employé en même temps au développement de la fonction perturbatrice.
Pour l'obtenir, nous partirons de la formule de Jacobi que nous avons rappelée plus haut (p. 204), et qui montre qu'on peut passer d'un système canonique a,, hi à un autre a,, à l'aide des relations linéaires
( «3 = i\ ai + i\ cf-ï + i\ «3, —Pibx+ b^ + /'j 63,
OÙ Pi, qi, n sont des coefficients numériques. Nous en avons déjà déduit les relations (r), en faisant usage des coefficients suivants :
O, I, O, pï-> I, o,
o, o, 1, Pi, o, I.
Nous aurons, de même, les relations dont nous avons besoin ici, en prenant les coefficients
Ces relations sont les suivantes :
a, = «1 + a2+ ^i — bi, ^i=Pm
(35) } a,= -oc,-oi,, ^,-=b,-b„ 62 -[3, -[32,
On voit que, si le système a,, représente /, g, h, L, G, H, le système r?,, représentera les nouveaux éléments
que nous désignerons par
\ est la longitude moyenne, xs la longitude du périhélie, h la longitude du nœud; ensuite
I L = \/ixa,
Les arguments de la fonction perturbatrice, qui dépendent de /, g, h, l' , g', h', pourront être facilement exprimés en fonction de \, xs, h, V, m, h'; mais la transformation des coefficients ne pourra se faire aussi simplement, car on aura
d'où
On conçoit cependant que la méthode d'intégration puisse s'appliquer aux éléments canoniques qui viennent d'être définis.
Si, maintenant, nous avons recours au théorème en vertu duquel deux éléments canoniques a, h peuvent être remplacés par ^J'^cosh, ^2^s\nb, ou, ce qui revient au même, par - sJôTa^'mb, + sj2^cosb, il est facile de voir qu'à la place du système (36) nous pouvons employer le suivant :
(.39) I I ~ v^2P C0SC7, = v^'^P sinnr,
p = \/2Q cosh, q—.\/2Qs'mk.
SUITE DE LA THÉORIE DE LA LUNE DE DELAUNxVY. 289
On aurait d'ailleurs
Des relations
e e C0S5T e siim y y cosA y sin A
rapprochées des formules (38), M. Poincaré conclut que ecostrr, esinw, ycos^, ysinA sont développables suivant les puissances de r\,p, q, et que la fonction perturbatrice est développable suivant les puissances de y], p, q, y]', p y q' ; elle peut être amenée à la forme
où N dépend de L, L'. Mais cette forme ne se prête plus à la méthode d'intégration précédemment développée.
ACCÉLÉRATION SÉCULAIRE DE LA LUNE
108. Découverte de l'accélération séculaire. — La Lune est le seul astre pour lequel les observations aient mis en évidence une accélération séculaire. Pour les planètes, la longitude héliocentrique peut se mettre sous la forme
L = c-hfht + p, p = 2Rsin([3; + [3'),
où c, n^, B, p et désignent des constantes. Il en résulte que, si l'on considère trois époques aussi distantes que possible, t^, z^ et t^, < ^)<^2» on aura, en mettant aux lettres L et p les indices correspondants,
Lo = c + «0 ^0+ po> L, = c 4- «0 ^^1+ pi> L, = c-i-not, + p.2,
d'où
L, — p,— (Lo— Po) L.2— pa — (Li — pi) flo — ; y «0 — 7-^37 >
c'est ainsi qu'on détermine réellement ^o- Or, dans le cas de la Lune, les deux valeurs ainsi trouvées pour /z^ sont différentes; la seconde est plus grande que la première; le moyen mouvement de la Lune va donc en s'accélérant. On obtiendra cet effet en supposant que l'expression de la longitude de la Lune contienne un terme proportionnel au carré du temps, que nous représenterons
par a (7^)' = t désignant le temps compté en années juliennes de 365\ 25
et S le nombre de siècles correspondant. On aurait donc
L = c + /lo i H- ^ (-^ y + 2 B sin ( (3 ^ + [3') ; (7 est ce que l'on nomme le coefficient de V accélération séculaire.
ACCÉLÉRATION SÉCULAIRE DE LA LUNE. 24 1
Cette inégalité importante a été découverte par Halley (') qui utilisa quelques-unes des anciennes éclipses de Lune de VAlmageste, d'autres éclipses observées par les Arabes vers la fin du ix^ siècle, et enfin les observations de son temps. Il avait ainsi les trois époques t^, ^^ et t.^. En outre, t^ se trouvait tenir à peu près le milieu entre et t.^. Halley obtint dans le second intervalle une valeur de plus grande que dans le premier. Il constata ainsi l'accélération, mais sans pouvoir en fixer la grandeur.
Pour trouver une première évaluation de a, il faut attendre plus d'un demisiècle. Dunthorne (^) obtient = \o". A peu près dans le même temps, et d'une manière indépendante, Tobie Mayer s'occupa de la même question, en vue de donner à ses Tables de la Lune la plus grande précision possible, et il trouva a = 6^,7. Ces Tables parurent en 1752; une seconde édition fut publiée après la mort de l'auteur, en 1770, d'après le manuscrit laissé par lui ; la valeur de l'accélération séculaire y est portée à 9", sans que l'on sache pour quelle raison il a augmenté ainsi de 2", 3 la valeur primitivement adoptée. Lalande a repris le même sujet (^) et donne a- = 9'', 886.
Les différences entre les déterminations précédentes tiennent à ce que les auteurs n'emploient qu'une partie des éclipses de Ptolémée, une ou trois par exemple sur dix-neuf, de même pour les éclipses des Arabes; enfin les Tables lunaires dont ils se servent sont différentes, et il faut que ces Tables donnent pour l'ensemble des inégalités périodiques de la Lune une valeur assez exacte. Nous verrons dans un autre Chapitre à quelle valeur on est conduit quand on utilise tout le 'matériel dont on dispose et que l'on a recours aux meilleures Tables de la Lune.
Quoi qu'il en soit, l'ensemble des recherches de Dunthorne, Tobie Mayer et Lalande mettait hors de doute l'existence même de l'accélération, et permettait de lui assigner une valeur comprise entre 6", 7 et 10".
109. Explication théorique de l'accélération séculaire. — Lagrange, qui avait cherché vainement à se rendre compte par la théorie du fait de l'accélération séculaire, émit des doutes sur sa réalité, trouvant les anciennes observations trop vagues et trop discordantes pour qu'on en puisse tirer des données précises. Laplace, de son côté, crut un instant que Ton pourrait expliquer le phénomène, en admettant que la transmission de l'attraction, de la Terre à la Lune, ne soit pas instantanée. Il fit remarquer aussi qu'un ralentissement dans la durée de la rotation de la Terre sur elle-même, ne fût-il que de o%oi depuis
(1) Transactions philosophiques de la Société royale de Londres, n''204; iGgS.
(2) Ibid., n°492; 1749
(3) Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris, 1757.
Hipparque, produirait une accélération séculaire supérieure à lo"; mais il restait à assigner une cause à cette variation du jour sidéral.
En 1783, Lagrange revient encore sur la question et fait voir que les variations séculaires de l'excentricité et de l'inclinaison d'une planète peuvent produire une équation séculaire dans la longitude d'un astre voisin. Faisant l'application de sa théorie aux actions réciproques de Jupiter et de Saturne, il n'obtient que des résultats négligeables, et, par une conclusion trop hâtive, il admit qu'il en serait de même de tous les autres corps de notre système; il se laissa ainsi enlever par Laplace l'honneur d'une découverte contenue implicitement dans ses formules.
C'est en travaillant à la théorie des satellites de Jupiter que Laplace fut mis sur la voie de l'explication cherchée; il reconnut qu'une variation séculaire, dans l'excentricité de l'orbite de Jupiter, produisait une accélération dans les moyens mouvements des satellites. En transportant les résultats à la Terre, il obtint un terme en /- dans la longitude de la Lune {voir p. 107).
Nous allons calculer ce terme en employant la méthode de la variation des constantes arbitraires. On a, en désignant par n, l et z le moyen mouvement, la longitude moyenne de la Lune et celle de l'époque,
, r , dl de
l = £-h I ndt, — — n -\ — r' J dt dt
Le moyen mouvement n se compose d'une partie constante et de termes
dt
périodiques. Quant à ^5 nous avons trouvé, dans le Chapitre IX, p. 146, dz n'^ f q , Q „ 3 \
quand on aura remplacé 9 et 6, e et w par leurs valeurs (D) et (D,), pages i52
de lit
dt
et i54, on trouvera que -r se compose de termes périodiques et de la portion
qui serait constante s'il en était de même de e' . Mais on sait que, en vertu de l'attraction des planètes, l'excentricité é de l'orbite terrestre varie lentement. La loi de cette variation est compliquée; toutefois, pendant un assez grand nombre de siècles, on peut {Annales de l'Observatoire, t. IV, p. 102) se borner à
où t est compté en années juliennes à partir de i85o,o. On voit que e' diminue
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lentement, parce que a est positif et très petit, et que, si l'on néglige ^ comprendra une série de termes périodiques, la partie constante
et le terme
3 — e„ at.
fin
En intégrant et portant dans (i), on voit que / se composera d'une série de termes périodiques et de la portion
3 n'^ ( t c + No ^ H e' a ^2 c -I- + 0-
2 " . VlOO
où l'on a fait
No= ^^0+ ^ — i5 000 — e'„ a = iSooom^eg riç^a.
Cette valeur de a est positive, et c'est bien une accélération qui se trouve réalisée. Laplace trouva pour ct le nombre ii", i35, qu'il réduisit plus tard à lo", i8, par suite d'une modification dans les masses de Mars et de Vénus; avec les masses admises aujourd'hui, il aurait obtenu io",66. On voit que Laplace était arrivé presque exactement au nombre de Dunthorne et de Lalande. On fut ainsi conduit naturellement à admettre la valeur théorique de l'accélération séculaire, et, à partir de la publication du Tome III de la Mécanique céleste, on la fixa à lo", et c'est cette valeur qui fut introduite dans les Tables de Bùrg et de Burckhardt.
Une réflexion importante doit être faite ici : l'observation avait devancé la théorie dans la découverte de l'accélération séculaire; mais la théorie va prendre sa revanche en nous montrant comment se passeront les choses dans l'avenir le plus reculé. On sait, en effet, par la théorie des inégalités séculaires, que l'excentricité e' ne diminuera pas toujours; dans 24000 ans environ, elle aura atteint son minimum et commencera à augmenter, variant ainsi périodiquement dans un cycle immense. Il est donc prouvé par là même que le moyen mouvement de la Lune n'augmentera pas toujours, et qu'il finira par diminuer, repassant à la longue par les mêmes grandeurs, de part et d'autre d'une valeur moyenne.
Laplace montra aussi, comme nous l'avons déjà vu, pages 102 et 104 de ce Volume, que la diminution séculaire de e' produit des variations séculaires dans les mouvements du périgée et du nœud de la Lune, et il en détermina les expressions. Pour juger de l'amélioration que la variation séculaire du périgée, indiquée par sa théorie, introduirait dans les Tables, il pria Bouvard de comparer à ces Tables les anciennes observations d'éclipsés, en négligeant d'abord la variation du
périgée et, ensuite, en en tenant compte. Les résultats obtenus par Bouvard sont consignés dans un Tableau inséré dans les Additions à la Connaissance des Temps pour l'an VIII ; on y voit que les erreurs des Tables sont améliorées sensiblement par l'introduction de la variation séculaire du périgée.
Après Laplace, Plana avait calculé avec plus d'exactitude le coefficient de
é^n^^Lt"^ dans la longitude de la Lune; au terme unique il en avait
ajouté vingt-sept autres plus petits, et l'ensemble lui avait donné a = io",58. Damoiseau avait obtenu de son côté 10^,72; c'était, en somme, la confirmation du résultat de Laplace.
110. Recherches sur les éclipses chronologiques. — La question historique, délaissée pendant longtemps, entra dans une phase nouvelle lorsque Baily eut signalé en 1811, dans les éclipses totales de Soleil, un nouveau et précieux moyen de contrôle pour les Tables de la Lune. Voici dans quel sens : les historiens de l'antiquité, à partir du siècle avant l'ère chrétienne, nous ont transmis des récits plus ou moins nets d'éclipsés totales de Soleil qui seraient arrivées en certains lieux, presque toujours au moment d'événements historiques d'une grande importance, mais sans faire connaître l'heure du phénomène, ni le jour, ni même l'année, le plus souvent. Il y a donc, entre ces éclipses de Soleil et celles que nous avons mentionnées jusqu'ici, une différence importante; les dernières seules sont rapportées à une date précise et même à une heure déterminée.
Cependant, si l'on a égard à ce fait connu que, dans chaque éclipse de Soleil, les régions de la Terre recouvertes par l'ombre pure de la Lune (zones de la totalité) forment une bande très étroite; si l'on se rappelle que, en un lieu donné, les éclipses totales de Soleil sont très rares, qu'à Paris, par exemple, on n'en aura vu qu'une pendant toute la durée des xviii*' et xix*" siècles, qu'à Londres on a été pendant cinq cent soixante-quinze ans sans en observer une seule, depuis i i4o jusqu'en 1715, et que, depuis l'éclipsé de 1715, on n'y en a pas vu d'autres; on comprend que, si l'on savait positivement qu'en un lieu donné de la Terre on a observé une éclipse totale de Soleil, à une époque non exactement fixée, mais cependant comprise entre des limites de temps pas trop espacées, on comprend, disons-nous, qu'on en puisse tirer des conclusions précises sur les valeurs de certains éléments de l'orbite lunaire à cette époque et en particulier sur le moyen mouvement correspondant. En supposant à cette dernière quantité une variation très faible, l'éclipsé calculée par les Tables peut cesser d'avoir été totale au lieu considéré. Il peut se faire toutefois qu'il y ait lieu de faire varier d'autres éléments, que la question de la date inconnue joue tout de même un rôle, que la position du lieu d'observation n'ait pas été nettement indiquée, et qu'enfin le vague des récits et la fable qui tend à se
ACCÉLÉRATION SÉCULAIRE DE LA LUNE
mêler aux grands événements correspondants ne permettent pas toujours de savoir si l'on a eu réellement affaire à une éclipse totale de Soleil. Les erreurs des Tables peuvent jouer aussi un rôle important, et l'on conçoit que la méthode donne dans la réalité moins qu'elle ne semblait promettre.
Quoi qu'il en soit, ces recherches intéressantes, inaugurées par Baily, ont été poursuivies avec sagacité par Airy {Transactions philosophiques de i853 et Mémoires de la Société royale astronomique de Londres, t. XXVI; 1857), et l'autorité qui s'attache à tous les travaux de cet astronome éminent leur a donné une grande importance. Nous reviendrons en détail, dans la suite, sur les éclipses chronologiques. Bornons-nous, pour le moment, à dire que leur considération a conduit Airy, dans son Mémoire de i853, à donner à l'accélération séculaire la valeur 10", ni; dans son travail de 1857, où il s'est servi des nouvelles Tables de Hansen, il a même porté ce nombre à 12", 18, ajoutant qu'avec i3" on aurait encore une représentation plus satisfaisante de deux des éclipses en question.
D'autre part, Hansen a calculé à plusieurs reprises, par sa [théorie, la valeur de l'accélération séculaire, et il a trouvé successivement 1 1",93 (Astron. Nachr., n° 443; 1842), ii",47 {Astron. Nachr., n« 597; 1847), i2",i8 {Tables de la Lune, publiées en 1857) et enfin 12", 56 {Darlegung, t. Il; 1864).
Il y avait donc là un nouvel ensemble de recherches fondées sur la théorie et sur les anciennes éclipses, tendant à montrer que le nombre de Laplace était trop petit et devait être porté à 12", sinon à i3".
111. Recherches théoriques d'Adams et de Delaunay. — Ici se présente un fait curieux dans l'histoire de la Science. Presque à la même époque où Hansen et Airy augmentaient le nombre de Laplace, Adams prouvait qu'il devait être diminué.
Dans un Mémoire (') lu à la Société royale de Londres le 6 juin i853, Adams montrait en effet que Plana et Damoiseau, quand ils avaient voulu déterminer l'accélération séculaire avec plus de précision que Laplace, avaient commis une grave erreur en intégrant les équations différentielles comme si e' était constant, et se bornant à remplacer e' par sa valeur en fonction du temps, une fois les intégrations effectuées; cela n'est permis que dans la première approximation. Adams intègre en tenant compte de la variabilité de e' , et il trouve pour le coefficient de le^n^oLt"^ ou, ce qui revient au même, pour le
coefficient de l'intégrale j {e'^ — e"')n,dt, la valeur
(') Transactions philosophiques, p. 397; année i853.
tandis que Plana avait obtenu
soit un coefficient de m" trois fois trop faible. Le nouveau terme en m" diminuait de i",66 environ l'accélération de Laplace. Adams disait, en terminant son Mémoire : « Ce résultat sert à donner une idée de l'importance numérique des nouveaux termes qui doivent être ajoutés à la valeur adoptée pour l'accélération séculaire et ne différera probablement pas beaucoup de la correction complète, bien que, pour obtenir une valeur suffisamment précise pour être employée dans le calcul des anciennes éclipses, les approximations doivent être poussées beaucoup plus loin. «
Plana, qui se trouvait directement mis en cause, examina de nouveau la question. Dans un Mémoire imprimé en i856, il reconnut que sa théorie était inexacte, et, en la corrigeant, il trouva d'abord pour le terme en m'* le même coefficient qu'Adams; mais bientôt il revint sur son calcul et s'arrêta à une valeur du terme en m* qui différait à la fois de celle qu'il lui avait attribuée dans son grand Ouvrage et de celle qu'Adams avait trouvée de son côté.
La question était ainsi en suspens quand Delaunay vint à s'en occuper, en suivant une méthode différente de celles qui avaient été employées avant lui. Poussant d'abord le calcul de l'accélération séculaire jusqu'au terme en m\ il
retrouva (^) identiquement pour ce terme la valeur — m\ Adams publia aussitôt (^) les valeurs qu'il avait obtenues depuis quelque temps pour les termes en m" et tiï' ; en même temps, il fit voir que l'ensemble de ses recherches réduisait l'accélération à 5", 7. Bientôt après, Delaunay donna (^) l'expression complète à laquelle il était arrivé pour le coefficient de l'intégrale
J^(e^ — e'-) Tîf^dt, en poussant l'approximation jusqu'aux quantités du huitième ordre, expression qui renfermait quarante-deux termes distincts et dans laquelle il avait retrouvé exactement tous les nouveaux termes d'Adams. Par suite de l'ensemble de ces quarante-deux termes, la valeur de l'accélération se trouvait portée à 6", 1 1 .
Ces résultats furent vivement combattus par de Pontécoulant, mais par des arguments dépourvus de toute valeur et auxquels il est inutile de s'arrêter aujourd'hui. Plana finit par reconnaître définitivement son erreur, et le coefficient de m* fut encore confirmé par Lubbock (Mémoires de la Société royale astronomique de Londres, t. XXX) et' par M. Cayley {Monthly Notices, t. XXII).
(') Comptes rendus, t. XLVIII, 17 janvier 1859.
(2) Ibid., 3i janvier 1809.
(3) Ihid.) 25 avril 1859.
ACCÉLÉRATION SÉCULAIRE DE LA LUNE
Pendant plusieurs années, Hansen affirma que ses calculs théoriques lui donnaient 12" ou i3". Cependant, à la fin, il reconnut qu'il avait commis une méprise analogue à celle de Plana et déclara que les calculs numériques d'Adam s étaient exacts [Lettre à M. Warren de la Rue (^Comptes rendus, t. LXÏI, p. 704 et suiv.)]; néanmoins il soutint toujours que les éclipses chronologiques, qui étaient bien représentées avec une accélération de 11" ou i3", cessaient de l'être avec le nouveau chiffre de
Toutefois, la question est tranchée sur un point important; la cause découverte par Laplace donne lieu, quand on fait les calculs complètement, à une accélération de 6", 1 1 .
Il peut paraître surprenant que Laplace n'ait pas songé à calculer le terme en m" ; c'est peut-être à cause de l'accord presque complet que présenta le résultat de son calcul avec la valeur donnée par Lalande.
Voici, à titre de document, pour donner une idée de la convergence de la série, quelques-uns des termes calculés par Delaunay (Comptes rendus, t. XLVIII, p. 825) :
Terme en m2 -+-io','659
» ni^ »
» — Oj7Ii
» rrû — 05^47
On voit que le premier terme est positif; il est suivi d'une série de termes négatifs qui convergent lentement et dont l'ensemble forme presque la moitié du premier; il y a une certaine analogie avec ce qui s'est passé pour le périgée.
Delaunay a effectué ce calcul complet en suivant sa propre méthode. ( Voir les indications du calcul dans les Additions à la Connaissance des Temps pour 1861.) Delaunay a aussi retrouvé (^) les termes en m"* d'une façon très simple, en suivant la méthode de Poisson (fo^rp. i4i de ce Volume); c'est ce calcul très simple que nous allons exposer maintenant.
112. Démonstration de Delaunay. — Nous partons de la formule (8), p. 145, qui donne
^ ' dt na aa ma'- de 2na^ o(f
(1) Additions à la Connaissance des Temps pour 1862.
Si l'on y mettait pour R sa valeur, on trouverait comme précédemment dans dl 3 ji'^
^ le terme — - — e'^ Pour avoir une précision plus grande, il faut procéder k
la seconde approximation. La première approximation a donné les divers éléments de la Lune sous la forme /? + nous devrons mettre ces valeurs dans le second membre de l'équation (.'3) et procéder à une seconde approximation, et ainsi de suite. Chaque approximation nouvelle introduira de nouveaux termes en e'^ avec un facteur n'^ de plus; l'exposant de n' mesurera donc en quelque sorte l'ordre de l'approximation. Reportons-nous à l'expression de R, page 189, et considérons ses divers arguments. On peut se demander quelles combinaisons de ces arguments deux à deux pourront amener une partie non
périodique dans ^ à la seconde approximation. Soit Acosa un terme trouvé
à la première approximation dans ^; A et a seront des fonctions des éléments/?;
pour la seconde approximation, nous remplacerons p par p + ^^p et nous développerons par la série de Taylor, en nous bornant à la première puissance des ^^p. Le terme Acosa se trouvera ainsi angmenté de
^ . . d<x ^ dp dp ^
donc, si ^^p contient des termes de la forme B ^^"S, on trouvera, en substi-
cos
tuant, des termes en ^^"(a± |3) dont il faudra prendre seulement les parties non périodiques. Les arguments de R dépendent de
l, Tx5, 9, /', TxS',
/, /' désignant ici les longitudes moyennes, que Delaunay représente par l + g-h h, l' -h g'-h h', ou /+ rar, ci'; les termes qui dépendront des quatre premières quantités auront des périodes courtes, relativement aux périodes que nous considérons ici. Nous ne devrons donc garder dans les termes en
^|^^(a ± que ceux où l'argument est égal à o ou à un multiple de xn'. Mais,
dans a et (3, la somme algébrique des coefficients de /, trr, G, /', est nulle, et il en sera de même dans a ± |3 qui, par suite, ne pourra pas se réduire à un
multiple de ct'. Donc, pour que le terme (a =+= ne soit pas périodique, il
faut qu'on ait a = =h P; par suite, chaque argument doit être combiné seulement avec lui-même.
ACCÉLÉRATION SÉCULAIRE DE LA LUNE
Quels termes de R faudra-t-il prendre? Des termes en JUe'+ oii^e'^ -h . . . , que l'on réduira à xe', et des termes en JU'+ ilb'e'^ 4- G'e'* + . . . , que l'on réduira à x' H- iib'e'- ; car le carré du coefficient contiendra, dans le premier cas, le terme X'^e'^ et, dans le second, le terme 1X'^S'o'e'-. Si l'on se reporte à l'expression de R, on verra dès lors que l'on doit la réduire à
