XIII
^ e' zçi%{iL — /' — gt')
ee' cos ( ^ + — 55 — es' )
g- ee' cos ( / — 3 /' + + cj' )
ee' cos (3/— 3/'— gj + gt')
^e'cos(/'— ct')
On a donné des numéros aux diverses parties. Comme on doit combiner chacun des termes avec lui-même, il en résulte qu'on peut les considérer séparément.
Considérons d'abord la partie
(0) = «'^a^ {l^-^le'^^,
25o CHAPITRE XIII.
qui, portée dans la formule (3), donnera
dl «^V 3 ,
dt n
il faudra, dans le second membre, remplacer n par + or ce second membre ne contenant pas £, on a n = o. Il n'y aura donc pas de changement, et la portion (0) ne nous donnera que ce que nous avions trouvé dans la première approximation, savoir
113. Nous allons traiter ensemble les parties (1), (II) et (III), que l'on peut comprendre dans la forme
(4) ^ R = /i'2a^Acos(2/H-a).
A et a ne dépendent pas des éléments de la Lune. Ce sont néanmoins des fonctions du temps, A à cause de e', a à cause de /' et cî'; le coefficient de t dans n', 27z'ou 3n', est petit par rapport au coefficient m de t dans 2/, et nous pourrons négliger le premier par rapport au second, dans les intégrations que nous allons effectuer. Nous aurons, par (3) et (4),
dl n'^
(5) — =: /i — 4 — Acos(2/+a).
^ ' dt n
Il faut calculer
§,n=-~ J^dl=i6n" I A sin {2 l+<x)dt.
Intégrons par parties, en prenant 2n pour coefficient dans 2/+ a, et nous aurons
§.n= -Acos(2/+a)H cos {2 1 + a) -j- dt;
A est fonction de t, mais varie avec une extrême lenteur. On peut admettre dk dt
que ^ est constant, et il en résulte
?>n'^ , , , , ?>ii'' dS. . , , ,
è,n— Acos(2/+a)H ^ -j- sin( 2 / + a).
* n in- dt
Calculons S, /; la formule (5) donne
— —6, Il A cosfa/ + a),
dt n
ACCÉLÉRATION SÉCULAIRE DE LA LUNE
(l'où, en remplaçant S, n par sa valeur,
— -i- ■=— ^ Acos(2/+ a) -\ r -77 sm (^2 i H- aj,
dt II ' irî^ dt
et, en opérant comme précédemment et réduisant,
Il faut aussi avoir l.,n et, pour cela, remplacer, dans la formule
du
, r=6/i'2Asin(2;4-a),
/ par ce qui donne
dh^__ n dt
i2n'2Acos(2/-t- a) ^1
remplaçons / par sa valeur (6) et ne gardons dans -j^ que la partie non périodique; nous trouverons
c/âo/i \^n''' ^ dk dt ~ n"^ dt '
Revenons à la formule (5) ; augmentons-y de ^ et / de l, et ne conservons que les termes non périodiques; nous trouverons
^Acos(2Z+a)â,/? + ■^Asin(2/H-a)o\/,
ce qui se réduit à
Pour tenir compte des termes (I), (H) et (III), il suffit de donner, dans l'expression précédente, à A les valeurs
On trouve ainsi les parties
On peut remarquer dès à présent que les coefficients de \ e'^ sont considérables.
Les termes (IV) à (XII) sont compris dans la forme
(7) R = /ï'^a^eAcos«, = 4- cfr + a,
A et a étant des fonctions de /, indépendantes des éléments de la Lune. Les formules (3) et (7) donnent
= n — eA cosu;
on a aussi
(9) ^ = Sm'^eA sint/,
0^/1 = 3 in'-e J A sin 11 dl ;
en intégrant par parties et remarquant que le coefficient de t dans u diffère peu de in, il vient
din= — eA ces u H- -~ e — sin i/.
fi in^ dt
La formule (8) nous donnera
d§,l 7/i'2 —— =r:ài« — ^ — eAcos;/; cit 2/1 '
en remplaçant n par sa valeur précédente, on voit que / contiendra e en facteur dans toutes ses parties. Les formules connues donnant J et ^ peuvent être réduites à
de du dm i (}R
dt~ na^e dm' 'dt ~ na^e 'de'
et donnent
de . . dm .
ACCÉLÉRATION SÉCULAIRE DE LA LUNE
d'où
Oie =z — A cos u + -7^-^ — r- sm u,
n'-^ . . ji'^ dA
e d,uy = ^-^ A sin u + -rr — - -r- cos u.
Passons à §2 ^ ; la formule (9) donne
dài n
dt
3 m'^ A sin uà^e ■+ Sin'^Ae cos u{i§i /+ (5i cr).
On peut supprimer ^, l, car, d'après ce qu'on a dit plus haut, l contiendrait en facteur, et nous ne cherchons que des termes en e"^ et non en e^e'^; en remplaçant en outre S, e et tir par leurs valeurs précédentes, on trouve
dà^n 3 n"* . dA ^ 3 n"* ,„
— T7~ = ~ "T T77 ' d, n = — — A^. dt i n* dt 11 iv
La formule (8) nous donne enfin
dà^l 1 n'^ „ . nn"^ . . 1 n'^ , .
—J— = ô, /^ + - — r- ôi ne A cosf/ — o, eA cos u h- A sm ueà, m,
dt ' Q.n- m 2 Ai
d'où, avec les valeurs précédentes de S^ n, B.^n, ^^ e, négligeant et ne
conservant que les parties non périodiques,
dt in^ \2 4 4/ i ti^
Il n'y a plus qu'à donner dans cette expression à i et A les valeurs suivantes, qui correspondent aux termes (IV) à (XTI),
dd<, l
On trouve ainsi ces diverses parties de —^■>
rr
~W fi'
11 reste à tenir compte du terme (Xlll), qui donne
R=yn'''a-e' cos(/' — es'),
— r= /i e cos(r — ),
dt n ^ '
dn ~di
On a donc
d§2 1 dt
En réunissant toutes les parties | | , on trouve
On a d'ailleurs
dà^ l
dt ~
dè^ l
dt "
32 fi^
donc le nouveau terme diminue de plus de ^ le coefficient de Laplace. Il arrive ici une chose analogue à ce qu'a rencontré Clairaut pour le mouvement du périgée. La série qui donne l'accélération séculaire a sa partie principale ordonnée suivant les puissances de m; cette série converge très lentement, et l'on commet une erreur notable quand on s'arrête au premier terme, comme l'avait
fait Laplace. Si nous réunissons les valeurs de et nous trouverons
ACCÉLÉRATION SÉCULAIRE DE LA LUNE
d'où, en faisant
dt
n — /il (i + m^),
dàl
~dt
Adams, dans son Mémoire déjà cité, a donné encore le terme suivant
dU / 3 , 3771 . 34047 \
dt V 2 64 64 y
Le lecteur pourra consulter avec fruit le tome XL des Monthly Notices, p. 472, où Adams établit assez simplement la formule (11); le Tome LXXII des Comptes rendus, p. 496, où Delaunay donne l'expression définitive et très complète de l'accélération séculaire; la Thèse de M. P. Puiseux {Annales de V École Normale; 1879), où la démonstration précédente de Delaunay, fondée sur la méthode de Poisson, est étendue aux termes en m^ ou m^
M. V. Puiseux {Mémoires présentés par divers savants à l'Académie des Sciences, t. XXI; 1870) avait pensé que la diminution séculaire de l'inclinaison f de l'écliptique sur une écliptique fixe pourrait produire aussi un effet sensible sur l'accélération du moyen mouvement; c'est ce qu'avaient déjà dit Plana et Carlini {voir un Rapport de Laplace dans les Additions à la Connaissance des Temps pour i823). Le résultat des longs calculs de M. V. Puiseux a été négatif; il y a un grand nombre de termes dont quelques-uns pris isolément seraient très sensibles; mais, quand on fait la somme, ils se détruisent presque exactement.
L'accélération séculaire, qui est produite par la variation de e' causée par l'action des planètes, n'est donc pas affectée d'une façon sensible par la variation correspondante de y'. Elle ne doit pas l'être non plus par le déplacement progressif du nœud de l'orbite terrestre, car la longitude de ce nœud disparaît de la fonction perturbatrice quand on y fait ^ =0, ce qu'il est permis de supposer. Reste à examiner le déplacement du périhélie de l'orbite terrestre, que Lagrange avait signalé comme pouvant produire aussi une équation séculaire de la Lune. Mais un coup d'œil jeté sur la fonction perturbatrice montre qu'il n'en est rien; la longitude xs' du périhélie n'entre en effet que dans les termes périodiques, et, si l'on suppose 7'= o, ^' se trouvera partout associé aux longitudes de la Terre et de la Lune, qui ont une variation beaucoup plus rapide. Le seul effet du déplacement du périhélie sera donc de modifier légèrement
