JJ^
116. Pour aller plus loin, il est bon de rappeler la forme à laquelle conduisent les théories de Delaunay et de Pontécoulant, pour les expressions des coordonnées ao, y, z en fonction du temps t et de six constantes arbitraires.
Soit + £ la partie non périodique de la longitude de la Lune dans l'expression qui englobe les perturbations, n et £ sont des quantités bien définies par cela même (quand l'origine du temps est fixée), îi est le moyen mouvement véritable; on en déduit la constante absolue a par la formule
n' désignant le moyen mouvement du Soleil, on fait
ni — —
Il y a (juatre arguments de la foi' me a + [îJ/, savoir
-z r=z Ht + z — {n' l + £') =: longii. moy. £ — longit. moy. O, cp = anomalie moy. C = /«^ + s — tn^,, , cp'= anomalie moy. O,
Y] = distance moy. C à son nœud = nt -i- £ — Q,„;
et Çl,n sont les valeurs des longitudes du périgée et du nœud, quand on en a enlevé toutes les inégalités périodiques; ces quantités sont donc de la forme a + p^ (il y a aussi des termes en y/-, représentant les accélérations séculaires). Les arguments t, 9, cp', y] sont représentés chez Delaunay par les lettres D, /, /' et F. On pose
d(D dc\ dl ' dt
ce sont là les moLivements moyens du périgée et du nœud. Cela posé, on a, comme on l'a vu dans l'exposition de la théorie de Delaunay, en représentant par L et A la longitude et la latitude de la Lune,
^ L — /î^ H- («,,/,./■', A-) sin(3/T ±ycp ±y'9'± 2/x-/)),
(8) { ^[l,j\f, k]C0S{2h±J^±j'cf'dz2kn),
I A-= y ^ |/,y,,/', /v| sin('2«r ±79 dry'cp'dz 2A- + lYi),
OÙ les quantités (i, /,/, k), [i, j\ /', /•], j f,j,j', k j sont de la forme
(9) eie'rf>^Y[^m,e\f,e'\
k désignant quatre noinbi'es entiers positifs ou nuls; les signes^ s'étendent à toutes les valeurs possibles des quatre indices; les fonctions F sont des séries ordonnées par rapport aux puissances de m, e^, y^, et ^; e et y sont
des constantes absolues dont le sens est précisé par les deux conditions suivantes :
Le coefficient de sincp dans L doit être le même que dans le mouvement elliptique, savoir
il ne contient ainsi que c'est du moins ainsi qu'a procédé Delaunay; le coefficient de Pontécoulant contient m, e et y ; il en résulte que, dans les deux cas, e n'a pas la même valeur.
En second lieu, y est défini par la condition que le coefficient de sinv) dans A soit le même que dans les formules du mouvement elliptique, savoir
OÙ y sin^; là encore, Pontécoulant a une autre définition de y. Enfin on a
OÙ les coefficients A et B sont des séries ordonnées suivant les puissances de m.
Si l'on examine la forme des développements que l'on peut tirer des formules (8) pour A, (L — ni s), -, on trouvera facilement
^ ^ ^ cos cos ^ ^ a
^ cosA cos(L — nt — £) = ^ [h./ ^]i cos(2iT ±jcf) ± y'tp' ± ikn), (10) l - cosA sin(L — — e) = ^ («,/,/, sin(2iT ±79 ±:y'9'± 2Ay]),
i Cl
' ^sinA =y2|«,y,/, sin(2iT±y9±/'9'±2A +fYi),
OÙ les coefficients [ ]» ( ) et j { sont encore de la forme (9). Enfin, si l'on multiplie les deux premières équations (10) d'abord par cost et — siuT, puis par sini et COST, on trouve, en tenant compte de la valeur (7) de t,
— = - cos A cos(L — /?'; — £')= > {i, j, j', A-Ja cos(2i + i t ±79 ± /'©' ±: 2 A-y)),
Cl Cl
i) ( - =r - cosA sin (L — «7 — e')— > (<,y',y', A), sin(2i + 1 t ity© zhy'cp' ± 2 A-/]),
1 Cl Cl '
-sinA = j/,y,y', A], sin(2iT ±y cp ±y'9' ± 2 A- + i y) ),
où Ton a posé
2[^y,y', A-]2 - [i,y,y', A],H- [i-H i,y,y', A], + ( «, y, y', k)^ — {i i , J, /' , A:),, 3 {i> J> ^Oî = [h J, f, /' Il — U + I. y> ./'» /"^li + (^'^ /'» /Oi + + i , ,A /Oi-
117. Solution périodique des équations («). — Si l'on suppose e = o, e' = o, Y = G dans les expressions (i i) de a) et y, les coefficients des cosinus et sinus s'annulent si y, / ou k ne sont pas nuls ; il reste donc simplement des expressions de la forme
(12) où l'on a fait
X Ao cosv(i — ^o) + Al cos3v — ^o) + A, cos5v — éq) -\~ . . . , y = Bo sin — «o) + Bi sinSv — ^o) + B2 sinô'v — ^o) + • • • >
v = 71 — n', Cq =z
les coefficients A/ et B^ sont égaux aux produits de a par des séries ordonnées suivant les puissances de m.
Puisqu'on a obtenu les expressions (12) en attribuant dans les formules gé-
nérales des valeurs particulières aux constantes arbitraires, ces expressions devront vérifier les équations différentielles (a). La courbe représentée parles équations (12) est une courbe fermée, puisque et j reprennent les mêmes
valeurs quand / augmente de elle est symétrique par rapport aux axes,
comme on le voit en changeant v(/ — t^,) en — v(t — t^) et en r: — v(t — t^). Gela constitue une solution périodique des équations différentielles; nous en avons montré l'existence en admettant par induction la forme générale des expressions (8) des coordonnées de la Lune. On en trouvera une démonstration rigoureuse dans l'Ouvrage de M. Poincaré, les Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, t. I, p. 97. Nous remarquerons que la courbe dont on vient de parler a été considérée pour la première fois par Newton (p. 38 de ce Volume), qui la suppose coïncider avec une ellipse ayant pour axes et Ty, ce qui revient évidemment à ne prendre dans les formules (12) que les premiers termes dans X et y. Euler, dans sa première théorie de la Lune, a calculé avec assez de
développement la variation ou plutôt les termes en ^^^^ 2t dans les coordonnées polaires de la Lune. C'est le même problème que M. Hill a repris et qu'il a traité avec grand succès, en tant qu'il s'agit seulement des parties de la variation qui sont indépendantes de e, e' , y et de ^•
Avant d'aller plus loin, nous dirons que la solution périodique dont nous venons de parler existe encore quand on tient compte des termes en ^5 •■■]
seulement les expressions de x et j, au lieu de ne contenir que les multiples impairs de — t^) sous les signes sinus et cosinus, renferment aussi les multiples pairs.
M. Hill détermine les coefficients A/ et B/ de manière à vérifier les équations {a). Il pose
Aj =; + a j i, Bj = — v{t — tç))=x,
moyennant quoi les formules (12) deviennent +00
(13) ,37 zzi^ «j- cos(2/ + i) T, y a, sin (2 « 4- i) T. Soit fait
