EV~'=:C

d'où

et il viendra, d'après la délinition (d) de u et s,

Posons encore

les équations (a) et (c') deviendront

/' d- if I du y. à

{usy

d " s , - ds y.

(usf

-TT — 2 m v' — I H — s — m^-(u + s) = 0:

dx- dr , A 2 ^ ^

Il s'agit de vérifier ces équations en adoptant pour u et s les valeurs (i5) et, par suite, de déterminer les coefficients a^; il est naturel de chercher des combinaisons des équations {a") et {c") éliminant les termes — ^ et qui seraient

gênants dans l'application de la méthode des coefficients indéterminés. On obtient immédiatement

, . d^ u s I d{us) 3 , , ,

d{us)

^+2mV~I

dx

du

ds ^

( du

dx

^+2mV-I

K~dx

dx

Ces deux équations ne sont pas équivalentes aux équations {a") puisque la constante x a disparu. Quand on aura traité les équations (17) et (18), il faudra substituer dans l'une des équations {a!') et (c") ou dans une de leurs combinaisons.

lis. Substituons maintenant les expressions (i5) de et s dans les formules (17) et (18). Nous aurons d'abord

du du ^ I ,

Nous aurons maintenant à former les expressions de

2 , du ds (lias) d"^ a du ds d's

"' "s- -rfT- "d?' IhV "S-

nous aurons par exemple

Nous représenterons par ij l'exposant général de ce qui déterminera i' en fonction de « ety; en opérant ainsi, il viendra

du dz

du ds / •

où les indices i et y prennent toutes les valeurs entières, de — oo à + oo. En portant ces expressions dans les relations (17) et (18), on trouve

22 } [( 2 + I )- + 4///i — ( 2 i + I — 27")^] a,- ai j — ^ m2 a,- — «-y/i ) j — o ,

T. - IIJ

On tire de la première de ces formules, quel que soit l'indice /, positif ou né-

gatif,

(20) 4,/ 2^ (2 « + I + -- J) cii - ^ m'' ^ — a ^j-i-i ) — o,

et de la seconde, pour toutes les valeurs entières de /, positives ou négatives, zéro excepté.

Du reste, pour j = o, la condition (20) est vérifiée identiquement; nous pourrons donc, dans (20) et (21), nous abstenir de faire/ = o.

Si nous ajoutons les deux équations (20) et (21), après les avoir multipliées d'abord par — 3 et + 2, puis par + 3 et + 2, nous éliminerons des seconds ^ les termes et et il viendra

8t(4y — 1) + 2oy- - 16,/ + 2 + 4m(4t— 5y + 2) + gm^]

+ 9/«'^^ titaj^i-Y = o,

2] [ 8 + 8 i ( 27 + I ) — 4y ' H- 2 + 4 ( 4 i + y + 2 ) Ht- 9 m'- ] a,-

Ces deux relations ne sont pas distinctes, comme on s'en assure aisément en changeant convenablement les indices. Nous les remplacerons par une combinaison unique obtenue en les ajoutant après les avoir multipliées respectivement par les facteurs

et

H- 2oJ'^ — i6j H- 2 — ^m{bj — ■i) 9//«S

qui sont, au signe près, ce que deviennent les coefficients de .j pour i — o.

r.ECnKRClll^S DE M. HILL SUR LA VARIATION.

Nous trouverons, après réduction,

+ 9 m'-^ [ 4/- - 8./ - 2 - 4 rri ( ./ + 2 ) - 9 /n^] Oi Uj^i-,

Pour / = /, la premiëro partie de cette formule se réduit à

'\ Sf [ 2 ( 4/^ — 1 ) — 1 -+-'11'-].

Nous diviserons par cette quantité les deux membres de l'équation précédente, et nous ferons

(23) j [./]~-"7ôyi 2(4y2— I) + ^'^

Nous trouverons ainsi

on doit attribuer à./ successivement les valeurs

Remarque. - Les quantités [y] et (y) ne dépendent que de l'indicey et sont de petites quantités du second ordre, à cause du facteur m^ Les quantités [y, i] dépendent des deux indices i ety ; elles sont finies, et l'on a

, \ LJ ' j q^jgi soity.

C'est pour avoir cette dernière relation simple que l'on a employé plus haut le diviseur

Les équations qu'on tirera de (24), en donnant à y les valeurs (25) vont nous servir à déterminer les rapports ^, ^, —

Clf) (Zq CIq

Donnons à i, dans la formule (2/4), les valeurs o, ±i, ±2, ... et ayons égard à la première des relations (26) ; nous trouverons

[j, i] ai ai y + [y-, — i] a,j + [y, 2] a.j 4- [y, — 2 ] «2 a.__j + . . .

[y ] («0 «'y-i + «1 «y-2 + fl'-i aj + ^2 + aj^^ + . . . )

(./ ) («0 «-y-i+ «1 a y-2+ «-1 «-y + ai a^j^+ a 2 a y+, + . . . ) =z o,

d'où, en attribuant à y les valeurs (25) et ayant égard à la seconde des relations (26),

j «0 a, — [i]{al + 2ai 2a2 «2 + . . .) + (i) (rtlj -t- f/2 4- 2^1 a 3 + . . .)

j ao a 2= [ — 2] (2a i «-2 + 2«o«-3+ 2ai a 4+...) + (— 2) (2«o «1 4- 2a i a, + 2a 2«3 + i + [— 2, 1] «1 «3+ [ — 2, — 1] a, «1 + [— 2, 2] «2 «4 + [— 2, - 3] a 3 «! + ....

Ces formules donnent comme première approximation, en supposant connu par les diverses théories de la Lune que a±i diminue rapidement quand i augmente,

d où

donc ^ et ^ sont de petites quantités du second ordre. On a de même, en partant des relations ( 5,9) et (3o),

d'où, en vertu des formules (3i),

^ et sont ainsi du quatrième ordre, puisque les quantités [1], [2], (— i),

(— 2) sont chacune du second ordre; en général, — est de l'ordre 21.

Dès lors, si l'on se reporte aux formules (27) et (28), (29) et (3o), on verra que, dans les relations (3i), on a négligé le sixième ordre, et seulement le huitième dans les relations (32). Les formules (23) donnent d'ailleurs

3 6 H- X 2 m + g ni-

Il en résulte, d'après les relations (3i) et (32),

"Tô 6 — 4m H- m^ ^ '

256 (6 — [\m-^ m'-)(Zo — (\m-^Tn'')

En portant ces valeurs de «2» <^-2 (l^ns (27), on pourra calculer

les termes du sixième ordre dans — ; on calculera de même les termes du

dixième ordre en ayant égard aux valeurs provisoires de et a^.

Donnons quelques exemples pour montrer avec quelle rapidité convergent ces diverses approximations. M. Hill prend

et il trouve

Il —\-] 325 594", 060 85, n'^ I 295 977",/ii5 16,

Termes de l'ordre 2.

— 0,000 000 000 oi3 838

M. Hill n'a négligé finalement que le quatorzième ordre, et ses résultats numériques ne sont pas en erreur de plus de deux unités de la quinzième décimale.

Les formules (4) et (i3) donnent d'ailleurs

!/• cos ( L — ni — s) = ^ rt/ C0S2 î7, r sin (L — — s ")—>«,■ s

M. Hill obtient ainsi

sin !î ?t;

— cos (L — nt — s) — 1 — 0,00718 00894 81977 cos 27 + 0,00000 60/424 47064 cos ù^Z H- 0,00000 00824 92024 cos 6t + 0,00000 00001 87552 cos 8t

+ 0,00000 00000 01 171 cos TOT H- 0,00000 00000 00008 cos 12 7,

— sin (L — //^ — £)— r + 0,0102 1 14544 4i 102 sin 27 + 0,00000 57148 66098 sin 4' H- 0,00000 00275 71289 sin 67 + 0,00000 00001 62980 sin 87

i -(- 0,00000 00000 01042 sin 107

-4- 0,00000 00000 00007 sin 12 7.

Pour ce qui concerne l'expression analytique générale de —S on remarquera que les formules (23) ne contenant que le diviseur i) — L\m^m^,

on n'aura dans — que les diviseurs

6 — 4^ + "^'» 80 — 4'w + w^ 70 — 4"^-+- "^S •■•1 et — pourra être mis sous la forme

Mo + 5 ^ ^ + (6 — 4 m. H- Y ( 6 — 4 m + /?^•^ N, N, N,

ainsi que cela résulte de la décomposition des fractions rationnelles en fractions

RECHEKCUES DE M. HILL SUR J.A V.UIIÂTION. 27 1

simples dans le cas des racines imaginaires ; M,, N„ . . . désignent des polynômes entiers en m.

Chez Delaunay et de Pontécoulant, m a une autre signification; en l'indiquant par la lettre m, , on a

Il \ + m

Les séries ordonnées suivant les puissances de m convergent beaucoup plus rapidement que celles relatives à m, ; M. Hill a remarqué que, si l'on introduisait une quantité îu. définie par la formule

on aurait une convergence encore plus grande relativement à rn.r, mais cet avantage ne subsisterait pas pour les coefficients des autres inégalités périodiques.

119. 11 nous reste a déterminer en fonction de n et de p.. Il faut substituer les expressions (i5) de u et s dans la première des équations (a"), ce qui donne, en remplaçant ^- et ^ respectivement par

y'HT 2 ( 2 i + 1 ) Ç^'^-' et - ^ ( 2 / + 1 eu ' , "^^" ^ = 2 I ( 2 i + m + 1 )- a, + ni' ai + ^ ni'- j C'"^' •

On aura, en comparant les termes en *( dans les deux membres et représentant par J le coefficient de 'C dans le développement de >

Or on a

Il en résulte

X 3 „ 3 -1 J — 1 + i //i H — ni- -\ ni-

"J(H- niY