CCS 2T
H- 0,00026 i6533 5ooi2 ces 4^ 4- 0,00000 24118 79799 ces 6t + 0,00000 00226 06861 CCS 8t
+ 0,00000 00002 08760 COSIOT + 0,00000 00000 01908 C0SI2T
\ -4- 0,00000 00000 00017 cosi4t.
On peut aussi déterminer analytiquement les coefficients précédents du développement de ^ suivant les cosinus des multiples pairs de t; mais nous renverrons, pour ce qui concerne cet objet, au Mémoire de l'auteur.
T. - III
RECHERCHES DE M. HILL SUR LES INÉGALITÉS QUI CONTIENNENT EN FACTEUR LA PREMIÈRE PUISSANCE DE e.
120. Ces recherches ont été publiées séparément en 1877, et reproduites plus tard dans les Acta malhematica , tome VHI. Nous partons des équations {a") et(c") du Chapitre précédent, que nous écrirons comme il suit :
u I du dO,
■1 m y/— i ~j 2 — = o, z = nt -Jr s — n' t
\lus
d\s I ds d^l „ X 3m\
dr dx
Soient Mo et les solutions périodiques de ces équations, obtenues dans le Chapitre précédent, qui ne dépendent que de t et des moyens mouvements n et 7i'.
On aura donc identiquement
dz^ * dr âuo 1
Nous supposerons y = o, e' = o; nous pourrons évidemment représenter les intégrales générales des équations (A) comme il suit :
u — Uq -h eF{z, m, e, y.), s =:So ecf) {z, m, e, y.).
RECHERCHES DE M, IIILL SUR LES INÉGALITÉS ETC. 27D
M. Hill emploie la forme
/ dii^
u = Uq — e \/— I -j— ç,
OÙ V w sont des fonctions inconnues de t. Il en conclut
' ds ds^ dsl ^'^ ^ ^ (^T dSf^dUf^^^^ ^ dT ^^^j»
où (£0) désigne, d'une manière générale, des termes contenant e- en facteur.
Substituons les valeurs (i) et (2) de u, s, ù, ^ , dans les équations (A)
et (B) qui doivent avoir lieu quel que soit e; les termes indépendants de e se détruisent en vertu des formules (Aq) et (Bo); en égalant à zéro les termes multipliés par e, il vient
d'^v— dv^
dx I dx dun dso
d^w^^'^ dw'^^^
dx I dx duf. d'^^ia dsr, d'^'Q.n
^ ✓-/'?■ /~ifr* y^// y^o '
\ dx'^ dx dx âul dx du^ ds,
du. dx dsn dx da^ àQ,r, ds^
dx dx dx dx dx ou^ dx asn
Or on tire de (Ao)
d'où
d"^ Uf, I duç. dO^n
dx' dx osq
d^ Sq I ds^ {?i2o
dx^ ^ dx oUq
d^Ur, 1 (i^«n / d^^n dur. d^Q-n ds,
dx^ dx^ \ âuo ôSq dx âsl di
d^Sn I d'^Sc, f d^^n dun à'^^n dsr,
dx'
dx'^ " \ dul dx ôliq ôSq dx J
Ces relations fournissent les valeurs de -t^> —7^' -j-ê en fonction de
HT- HT'- riT^ rlT°
^5 de ~ et de quantités connues. Si on les porte dans (A') et (B'), on trouve, tous calculs faits,
d'^v du^ dv ( I diiQ dQ.\ , , ds. d^'^o
diiQ d^^^Q
dz dul ~ '
) d^ w dso dw ( , dsç, d^o\ ,
\-d^-d.^^-dA '"^-^-^-f+^-^-^j-^^^^-^^)
dx dx dx \dx ds^ dx ÔiIq dx dx '
On voit ainsi apparaître les combinaisons ^ — w Q,iv + w. 121. On est conduit à poser
(dur. ds.
\ à% du^ ^^^^ ,-— ^ /- \ dx dso dx ôuq ^ ^
On trouve, en remplaçante et w respectivement par
Pjtf et 2 2
dans les formules (B") et (A") :
(4) +2aAv/=^=:o,
du^ 12 2cr^^" 2 dx \dx' ' dx' J ' \dx ' dx J \ ^ ' dx ds. ) ' dx dsl
dx
dp
drr\
dx
dp
dx
L'élimination de ~ entre les deux dernières équations donne
(5) H ^ + .Av/-Î^ + , + J^Ji?. *i ^ ^\ , ^ o,
«T- dx dx dx \ Oa-Q dx- du] dx^ J
OÙ l'on a employé la relation
d^lf^ i)£2o dsQ duo dx dso dx ôiIq dx
L'équation (Bq) donne d'ailleurs
RECHERCHES DE M. HILL SUR LES INÉGALITÉS ETC
En éliminant $ entre (4) et (5), il vient, en ayant égard à (6),
On tombe ainsi, pour déterminer a, sur une équation linéaire du second ordre, sans second membre, dont les coefficients sont des fonctions périodiques de T, ainsi que cela résulte des formules qui donnent et en fonction de T.
122. Pour faire disparaître le second terme de l'équation (C), M. Hill pose
d'où
En portant ces valeurs dans l'équation (C), on trouve
OÙ l'on a fait
2 /â^^lo dul
d'^o dsl
dsl dx^
4lP dx"'
nï dx'-
L'équation (4) donne d'ailleurs
Enfin, en réunissant les formules principales, nous aurons
2'j8 CHAPITRE XV.
Le problème dépend donc entièrement de la considération des équations (D), (E),(F)et(G).
123. Transformation de la quantité 0. — On a, par la formule (Bo), et en vertu de la définition de H,
dz âuQ dz dfo dz 2 dz '
2 dz^' ' diil dz' ds\ dz^ du^ ds^ duo dz^ ' âs^ dz- '
on a, en vertu des équations (A^),
dHio d^ /— fd^ dso d^, du,\ d^, â^o
du, dz'' ^ âs, dz^ - ''""^ [àso dz du, 'dz) ^^^dir, "d^-
La définition (3) de A donne d'ailleurs
En élevant au carré les équations (7) et (10), et les retranchant, il vient
la relation (9) donne ensuite
â^lo dHio â^o dH, i dW I , „ ,
d'où, en vertu de la formule (8),
Portons enfin dans l'expression (E) de 0, et nous obtiendrons 2A^ I dm d^^, i dR^ ^ ^
En remplaçant par -^y^^ + 3wM, il vient
2H dz^ f/T^ "
RECHERCHES DE M. HILL SUR LES INÉGALITÉS ETC
On a ensuite, par la définition (3) de A,
\dso az dUo dx
d'où, en remplaçant ^ et par leurs valeurs (Bo),
d'^ dsQ d^ ^0 diiQ dx^ dz dz''- dz
moyennant quoi l'expression (ri) pourra s'écrire, si l'on remplace en même
, du^ dso
temps H par '■
On a identiquement
ce qui permet d'écrire finalement
d'^ f diiQ dSf) I dz^ \ dz dz duo dsg dz dz
1 d I dz-
2 dz\ duQ
d^Sr,
124. On a vu, dans le Chapitre précédent, comment on efTectuc le développement de ~ suivant les cosinus des multiples pairs de t. Pour les autres parties
Cp Un d- 5o
de 0, il suffira de développer et posons donc
diiQ
dx
ds^
dx
En portant dans ces formules les valeurs il vient
(i3) =: yu,ç2' = .. , .
Si, dans la seconde de ces relations, on change '( en et qu'on la compare à la première, on en déduit
^ I duQ dx
I dx
dx
REGHERCIIES DE M. [IILL SUR LES INÉGALITÉS ETC. 28 1
et
d'so \
dz'-
dsQ
^ dz
d^ Uq
d'so\
Hz''
dz^
duo
dso
ciz
Il suffit donc de calculer les U,. Si l'on pose
la formule (i3) donnera 2; (2.-+ I) ^''•^''') (2 ^r^; /'/-y ^'wUyC'",
d'où, en égalant les coefficients de
(17) {ii+i)hi^^hi^j\}j.
Il est facile de prouver que Uo = i ; on a, en effet, en partant de (12),
d^ Uq
Uo= '-7=-- I -^dz;
dz
l'intégrale indéfinie est
Si donc on pose il viendra
, duç, /da^o I
Uo=- — ^.[iogR+4.^-i]r
Or, quand t augmente de 271, x^, redeviennent les mêmes; donc
aussi R, logR, sin'li et cos'|; donc ^ diffère de sa valeur initiale de 271, ou 4îc, . . • ; mais ^ est l'angle de la tangente à la courbe avec l'axe Ox.
Cette courbe diffère peu d'un cercle, et, quand on revient au même point T. - III. 36
après avoir parcouru toute la courbe, ']j a augmenté de 271. On aura donc
Uo= ^= \/ — ifo"" — l .
Pour j = o, le second membre de l'équation (17) devient égal à /^^Uo = /i^; cette équation peut donc s'écrire
(18) 2ihi=^h,-^jl]j,
OÙ l'on ne doit plus donner à J la valeur o. D'après leur définition (16) et ce que nous savons de a,, les quantités h+i diminuent rapidement quand l'indice i augmente. Gela posé, la formule (18) donnera, en attribuant à i les va-
. . .+ /iiU.
Ui
.. = -+- 2 hi,
-2 + fh
on a supposé «0 = ' > et par suite = i.
On résoudra ces équations par des approximations successives : la deuxième et la quatrième donnent d'abord à peu près
en transportant ces valeurs dans la première et la cinquième, il vient
U.2=2Alj 4A 2- — 2^1 A 3,
U2 =4^2 ■—2h\ -+-2/i ih3;
on en conclut aisément des valeurs plus approchées de U,, U,, U 2, Uo,
U i — — 2(A,H- Al A 2+ Ail Al + . • •)» Ui =;+2(Ai + A iA2H- Af A-i-h. . .)>
On portera ces valeurs dans les relations (i5), après quoi la formule (H)
RECHERCHES DE M. HILL SUR LES INÉGALITÉS ETC
donne à M. Hill
( I) + W(i,i58844 — o>i i4o88 C0S2T — 0,000766 cos4t — 0,00001 8 cos6t+ ...) = o.
On tombe ainsi sur l'équation de Lindstedt généralisée. On peut l'intégrer en se reportant au Chapitre II : W se développera en une série de cosinus d'arguments que l'on obtiendra en ajoutant aux termes de la série
une même quantité [xt h- ^.
Si l'on se reporte aux formules (F) et (G), on voit que les développements de p, G, V et w sont de la même forme que celui de W. On a ensuite
et l'on sait, par les formules (i5) du Chapitre précédent, que Uq et 5o s'expriment à l'aide de séries où ne figurent que les multiples impairs de t. On en conclut que les différences u — u^, s — s^, et par suite ce — x^, y — y^, sont de la forme
^2°^ co"s [f^^ + ^ + + Ot^]-
Or les formules (11) du Chapitre XIV donnent, en négligeant e', y et e'*, et faisant, en conséquence, / = k — o, j =1 :
— ^oH- a)b cos[(2 i+i)x ± cp].
En comparant les deux expressions de — x^, on trouve
Or on a, n° 115,
do dw
dt dt
où ^ représente la valeur moyenne de la vitesse du périgée, quand on néglige dans cette vitesse e% e'^ et On a, d'autre part,
II en résulte
dz do dm ^dt = -tt^''-lû=^^"-"^^
I dm jU, |j.
Il dt 1 4- m \ -\- m
c a la même signification que chez Delaunay, sauf qu'on y fait e- =- é- = ^- = o. M. Hill a trouvé, en partant de l'équation
du Chapitre II, d'où
sin^ - u
sin^ - q 2 ^
jUL =; I ,07 l58 82774 16016, ^ :zz: 0,00867 26780 04864.
Il estime que les treize premières décimales de ^ ^ sont exactes, les deux
dernières restant seules incertaines (cela suppose exacte la valeur adoptée pour in).
Les huit termes calculés par Delaunay (en m\, m\, . . ., m]) donnent
1 dm
ndF= «'0<^^i9 6429 H- 294 2798 + 99 5700
Le quatrième chiffre significatif est donc inexact, et l'erreur relative de la valeur ^ déterminée par Delaunay est environ Le calcul très simple du Chapitre VIII nous avait donné seulement On voit que la partie la plus importante de ~, celle qui est indépendante de
e-, e'^ et y-, est maintenant connue, grâce aux recherches de M. Hill, avec une précision qui ne laisse plus rien à désirer.
RECHERCHES DE M. UILL SUR LES INÉGALITÉS ETC. 285
M. Hill a exprimé l'opinion que le mieux à faire, dans la théorie de la Lune, c'est de déterminer successivement les inégalités qui contiennent en facteur e", e, e^, e' , ee , c'est, en somme, la méthode d'Euler. Elle réussit très bien dans les deux cas considérés dans ce Chapitre et le précédent; il me semble que, plus loin, on rencontrerait des complications tenant à la présence de e^, e - et y'^ dans les quantités c et g.
