TRAVAUX D ADAMS SUR LA THÉORIE DE LA LUNE

125. Recherches d'Adams sur le mouvement moyen du nœud {Monthly Notices, t. XXXVIII, p. 45-49)- — L'équation {b) du Chapitre XIV est

en posant, comme précédemment,

il vient

Cherchons les inégalités de z qui contiennent y en facteur, sans e ni e' ; la formule

donne, en négligeant y^,

On peut remplacer x et j par leurs valeurs indépendantes de e, e' et y, telles

qu'on les a trouvées dans le Chapitre XIV, et par sa valeur (40), page 278;

on aura donc, pour déterminer les inégalités en question, une équation de la forme

(0 -h z{g^ -i- 2gi C0S2T + 2^2COs4t + . . .) = o;

c'est l'équation de Gyldén-Lindstedt généralisée. On sait que son intégrale gé-

TRAVAUX d'aDAMS SUR LA THÉORIE DE LA LUNE. 287

nérale peut se mettre sous la forme

; = +oo

la constante h est déterminée par l'équation transcendante

sm^ - h

sin^ — a

A désignant un déterminant infini, composé, comme on l'a vu au Chapitre IV,

avec g, qi, q^, Les rapports y^'V'T'' "' dépendent aussi de q, q^,q^, ...

et de A; ils sont réels si h l'est lui-même, et c'est le cas; reste arbitraire, et l'on a la solution

En supposant réel, et prenant la partie réelle et le coefficient de \/— i, on a deux solutions, que l'on peut réunir dans la formule

z — hç^'s>m.{hx-\-'^)^h^ sin (At + 4* + 2t) -h sin (At H- + 4^) + . . .

H- 6 i sin(AT + tj; — 2t) 4- 6 2 sin(/iT H- 4' — 4t) + . . . ,

OÙ désigne une constante arbitraire; c'est l'intégrale générale de l'équation (1).

D'autre part, quand on fait e = e' = o, j = j' = k = o, et qu'on néglige dans la troisième des formules (ii) du Chapitre XIV, on trouve pour z une expression de la forme

c Bo sinv] H- Bi sin (y) + 2t) + B2 sin (y] + 4t) H- ■ • .

H- B i sin(yi — ix) + B 2 sin(Yî — 4^) +. . .;

Y] = m + £ — Çi désigne la distance moyenne de la Lune à son nœud ascendant.

En comparant les deux expressions de z, il vient

hT ^ = h{n — n')t -\-']^x = ri,

d'où

— = ng — h{n — n'),

OÙ ^ a la signification ordinaire. On connaîtra donc g quand on aura calculé h. Adams a trouvé ainsi

Delaunay a obtenu, en s'arrêtant au terme en m\ pour la partie de g qui est indépendante de e, e et y,

g~ T, 00000 OOOOO O

On voit que la huitième décimale est déjà erronée; néanmoins, l'erreur relative n'est que de .-jnrôïïïïî ^lle est bien moindre que dans le cas du périgée.

On voit que, grâce au travail d'Adams, la partie principale de g est obtenue maintenant avec une approximation qui ne laisse rien à désirer.

126. Théorème remarquable d'Adams {Monthly Notices, t. XXXVIII, p. 460- 472).

La partie non périodique du développementy^W de y si l'on n'a pas égard aux termes qui contiennent en facteur des puissances de ^> est de la forme

OÙ nous supposons e et y définis comme chez Delaunay. Les coefficients A, B, C, . . . sont des fonctions de e"- ,

enfin, les coefficients A,, B,, Q sont des séries développées suivant les puissances de m. Plana a constaté que B^ et Cq étaient nuls, en tenant compte des termes en et m^; de Pontécoulant a fait la même constatation en ayant égard aux termes en m" et m'\ Adams a pensé que la chose est générale, et il a réussi à prouver, non seulement que Bo et Co sont nuls, en tenant compte de toutes les puissances de m, mais qu'il en est de même de B<, Bo, C,, C2, . . . , de sorte que l'on a identiquement

= Ao+ Al e'2 + A2e'* + . . ., = Bo+Bie'2+B2e'* + . . ., = Co + C, e'^+C^e''

B = o et C — o ;

TRAVAUX d'aDAMS SUR LA THÉORIE DE LA LUNE. 289

c'est la première partie de son théorème; ainsi, les termes en e^e'^/' et en y^e'-'' manquent dans la partie constante de y Voici la démonstration remarquable qu'il en a donnée.

Soient x, y, z, r; x\ y', o, r' les coordonnées de la Lune et du Soleil; on a vu, au commencement du Chapitre XIV, que, si l'on néglige les termes qui donneraient naissance aux inégalités parallactiques, on a les équations différentielles

i ai' I ~ I ' I ~

d'-z 'dë' '

[ dt''

IXXa

3 fjt.'^'

\ dt^

Désignons para?,, y,, z^,r^ = ^jx] -^y\ -\- les coordonnées, pour la même époque t, d'une lune fictive soumise à la même attraction, mais avec des données initiales différentes. On aura

On forme aisément les combinaisons suivantes

d^Xy d^'x d^Yi d^ y

^d^-Zi d^ z f i 1

qui peuvent s'écrire

~dë

dt' ^'dt' ' ^^-^Ih "h)-^'

, , I i\ d f dx dxi dy ^r, dz dz,

F{^^. +yy.+-^ù [-.-T^)^dt -""dl -dt -y-dF dt - '-ITt

d f dz dz

\ ^^^'\7\~ r'^)^ dtV' dt ^ dt

Les expressions

sont donc les dérivées de fonctions qui sont évidemment développables en séries de sinus ou de cosinus d'arcs de la forme 4- (3, car il en est ainsi de x,

doc

y, z,x^, . . ., — ; • ■ .; par suite, elles ne renfermeront pas de partie constante. On a d'ailleurs

d'où

rr,

Donc, si, relativement à une certaine quantité petite, les différences x — œ,, J — Jn ^ — ^1» et par suite ~r — j.^ sont du premier ordre, alors l'expression

sera forcément au moins du troisième ordre. Cette conclusion s'applique aux coefficients de chaque sinus ou cosinus de y.t-h [3 et à la partie non périodique de l'expression précédente. Or on vient de voir que la partie non périodique de

(^^i-^yfi--^- ^^-i) - jr^ est nulle; il en résulte que la partie non périodique de ^ — ^. est au moins du troisième ordre de petitesse. D'après les formules du Chapitre XIV, on peut écrire

/ X =- a cos { nt -Jr e) — i> sin {nt -h e), ^ ] y ~ u sin (nt -h s) + ç cos{nt -+ s),

J UiCOs{nt + e) — (^isin {nt -\~ e),

\ yi = Uisin {nt + e) -h ('iCos(/?^ -+- s).

Nous supposerons dans ce qui suit que les éléments a et £, et par suite n, sont communs à la Lune réelle et à la Lune fictive (on ne fera même porter les différences que sur les éléments e et y) ; c'est ce qui a permis d'écrire dans les deux dernières formules ni + z, et non pas n^t + £,. On a ensuite

TRAVAUX d'aDAMS SUR LA THÉORIE DE LA LUNE. 29 I

Donc, dans l'application du principe précédent, on pourra remplacer, dans l'équation (4), la quantité

par

Les développements trigonométriques de a? et 7 contiennent cinq arguments, tandis que ceux de u eiv n'en renferment que quatre. D'après les formules (10)

du Chapitre XIY. ^ (^nous dirons désormais ^ pour abréger^ et u sont dévelop-

pables en séries de cosinus d'arcs de la forme

±ycp ±j' (s^' ±zikr\;

V contient les sinus des mêmes arcs; ^ tient désormais la place de t. Chaque coefficient est le produit de e^e'^'y^* par une série procédant suivant les puissances de m, e^, e'^ et y'- La coordonnée z se développe en une série de sinus d'arguments tels que

2 ± jo ±j'(sji' ± (2 A: + i)y) ;

chaque coefficient est le produit de e'J'-^^''+^ par une série procédant suivant les puissances de m, e% et

127. Ces préliminaires posés, admettons que ce, y, z répondent aux valeurs

oc^,y^ et s, correspondant à

Il en résulte z = z^ = o; i] ne figurera pas dans les arguments, et — sera de la forme

(6) y =^ (<^o + X^e^- + A,^e'* + . . .) cos(2 ±: y' 9') +^'\)be^' cos(2«4 ibytp ±y' 9') ;

dans cette formule, / est essentiellement différent de zéro, puisque nous avons mis à part les termes dans lesquels y = o. En faisant dans la formule précédente e =: o, on aura la valeur de

il en résulte

On aura des résultats de même forme pour les différences r — r, , u — u^ et v — v^, en changeant, au besoin, les cosinus en sinus. La formule (4) donne maintenant

3 fois la partie constante de f ^ — ^-

= part, const. de ri\

+ part, const. de | |(^^ - J;) [(/■-/■,)'— (« - "0'— - <^i)'] [777 + (7; " 7-) ] [ ^

il en résulte, d'après la formule (7) et les formules analogues relatives à u — Ut et V — i^f, que la partie constante de (^j^ — contient au moins le facteur e^.

Or les parties constantes de ^ et ^ se déduisent de l'expression

A + 6^2+ Cy-+Ee*+ 2Fe2y^4- Gy* + . . . ,

en y remplaçant par zéro, d'abord y, et ensuite e aussi; la partie constante du développement de — — - sera donc

(A + Be2 + Ee^+. . .) - A = Be'- + Ee* + . . . .

Puisque cette expression doit contenir au moins le facteur e% on doit avoir B = o, quelles que soient les valeurs de e' et de m; il en résulte donc bien

Pour prouver que l'on a G = o, il suffit de reprendre les mêmes raisonnements, en faisant jouer à y le rôle de e, et vice versa. On supposera donc

e =: G, y = O, dans ^, /, z, e — o, y<o, dans ^i,/i,Si.

On trouvera

dans cette dernière formule, k est essentiellement différent de o; -^^ — - con-

tient donc le facteur y-, et il en sera de même des différences r — r^, u — w,

TRAVAUX d'aDAMS SUR LA THÉORIE DE LA LUNE. 298

et(; — ç;,. On a d'ailleurs z=^o, et contient le facteur y. La formule (4) donne

3 fois la partie constante de ^ ^

(8) I part, const. de n\ (^y —

I + part, const. de j ^ (7^ - 7) [{r- r,Y- {u^ u.y— - v,Y~z\]^^^ -l- (^^^ - ^.j J | ;

la première portion du second membre contient le facteur f, et la seconde f. Or la partie constante de ^ — ^ est égale à

(A + Cy'--t- Gy* + . . .) --^ = Cy'+ - • • •

On a donc identiquement C = o, et par suite

Cl — C2 = . . • = o ; la première partie du théorème d'Adams est ainsi démontrée. 128. Adams a trouvé, par ses calculs directs,

il n'est pas allé plus loin, parce que, dans Ee'' + 2Ye^f -h G-(\ il aurait fallu déterminer des quantités du huitième ordre; celles du septième sont déjà difficiles à former.

On a, d'autre part,

ou bien

i ^=ri+...4-Me'- + Nf,

en posant

On peut écrire

On a donc les égalités approchées

Adams a démontré qu'elles sont rigoureuses, et c'est la seconde partie de son beau théorème.

Donnons k x, y, z les valeurs qui répondent à

et à a;,, j,, les valeurs qui répondent à

e = ei>o, y<o.

Nous déterminerons y par la condition que tp, et, par suite c,, soit le même dans les deux cas, ce qui nous donne, en vertu de la première relation (9),

d où

ainsi, y^ contient le facteur e - e,. Le développement de - est de la forme

,r =2 ^ + «î^i" y' + . • • ] COS ( 2 i I ±j 9 +y' 9') y^/c ^os (2 db /> ±y>'4- 2 /^rj ) ;

est essentiellement différent de zéro. On en déduit, en remplaçant y par o, e, par e, c['' par C^, sans toucher à ^, 9, cp', e', m,