i 2 ei siii [ 2 «I 9 ±7' 9' ± ( 2 /c + i ) yj

TRAVAUX d'aDAMS SUR LA THÉORIE DE LA LUNE. 297

/ est essentiellement différent de zéro. En remplaçant e par zéro et y< par y, il vient, puisque y] reste le même,

s =r y 2 4^0 sin ±j' 9' ± ( 3 A- + ,) Y) ] ,

La quantité

7ii:'i'-yC« = yi^(yn-y^(y^)

est évidemment divisible par y — y, ; e"^ est aussi divisible par y — y,, comme on l'a vu plus haut. On peut donc dire que les divers termes z — z^ contiennent en facteur soit y — y^ soit ey, . Posons maintenant

a, — "2 il ±./ © ±:./' 9' ±: 2 A" "n,

et appliquons la formule (8) : chacune des expressions de 77—7.' — ''n

M — u^ eiv — v^ se compose d'une série de termes en cosa, ayant tous y^ — y;' en facteur et d'une série de termes en cosaj contenant tous le facteur e. Chaque terme des développements

(■^) {7r^^' ijr>-"^- (^-7)<'-->'

s'obtient en prenant trois facteurs de la forme cosa,, ou deux facteurs cosa< et un facteur cosa,, ou un facteur cosa, et deux facteurs cosag, ou enfin trois facteurs cosas. Dans le second cas, cp ne peut pas disparaître, et l'on n'obtiendrait rien qui entre dans la partie non périodique de ^; dans le premier cas, le

produit de trois facteurs en cosa, contiendra (y^ — yi)^ Avec un facteur en cosa, et deux en cosaa, on aura d'une part y- — y,, et de l'autre e^ qui amène y^ — y?; donc, en somme, le facteur (y" — y;) existe dans tous les termes du groupe mentionné. Quand on prend trois facteurs cosaa, les valeurs dey ne peuvent pas être égales toutes à ±1, car alors deux de ces valeurs seraient égales entre elles et 9 ne disparaîtrait pas du produit des trois cosinus. Donc l'une au moins des valeurs de j doit être >2; le produit contiendra donc le facteur et, par suite, (y^ — y?). Ainsi donc, toutes les parties non périodiques des développements (i3) contiennent (y- — y'^ / en facteur.

T. - ni. 38

298 CHAPITRE XVI. — TRAVAUX d'aDÂMS SUR LA THÉORIE DE LA LUNE.

Reste à examiner la partie constante de (j; — j^(z — s,)^. Posons

z — z^ se compose de termes en cos (3, contenant y — y, en facteur et de termes en cos^a contenant e. On verra aisément qu'on ne peut prendre que les trois combinaisons suivantes, à côté desquelles nous inscrirons les facteurs correspondants

I terme en cosoci et 2 en cos(3i (7^— yl) iy — yiY,

I terme en cosai et 2 en cos^a (y^ — Vi) ^' = (y^ — )^

I terme en cosaj» i en cosj3i et i en cos(32. (y-— y\) (y — yx)e.

On aura donc toujours le facteur (y — y,)^ ^t, par suite, (y^ — y;)^' puisque finalement la partie constante de ^ — ^ ne peut contenir que des puissances paires de y et y, . Or on a

— = A +Ee^+ 2Fe2yf ^ Gyî +

=A + Gy^ + ...,

d'où

- — -=Ee*4-2Fe2y?4-G(y* —

Gela doit être divisible par (y** — y;)^' tenant compte de la relation (12), on voit que l'expression