FN
■ ^'(y^ + yn-^yi doit être divisible par y^ — yî ; ce qui donne
c'est la seconde des relations (10) que l'on voulait démontrer.
La seconde partie du théorème d'Adams constitue une tentative très heureuse pour rattacher les développements de c et ^- à celui de la portion constante de -•
130. Hansen a exposé sa méthode dans l'Ouvrage intitulé : Fundamenta nova invesligationis orbitœ verœ quam Luna perlustrat (i838). Il y a apporté ensuite quelques modifications dans sa Darlegung der iheoretischen Berechnung derin den Mondlafeln angewandten Stôrungen (1862-1864), et c'est de ce dernier Ouvrage, surtout du Tome I, que nous allons rendre compte ici.
Soient a, 11, e, i, G, cr, C, r, /, £ le demi grand axe, le moyen mouvement, l'excentricité, l'inclinaison, la longitude du nœud ascendant, celle du périgée, celle de l'époque, le rayon vecteur, l'anomalie vraie et l'anomalie excentrique de la Lune à l'époque t; ce sont donc les éléments elliptiques variables. Les formules
/ £ — e siiu — nt-\-C — — nt -\- c,
(i) I /•cos/= a(cos£ — e), r sin/= a y/i — e'^ sine,
[ n'^à^=iy.{i^ m)
feront connaître r et /. Si l'on suppose connus ô, i et xs, la position de la Lune, à l'époque t, sera complètement déterminée. Nous avons représenté par x l'attraction de deux unités de masse à l'unité de distance, par m la masse de la Lune, celle de la Terre étant prise pour unité; nous désignerons par m' la masse du Soleil, et par
x(i + /?i)S, et x(i + m)Z
les composantes de la force perturbatrice provenant de l'attraction du Soleil, suivant trois axes mobiles, le rayon vecteur de la Lune, la perpendiculaire à ce rayon située dans le plan de l'orbite et la normale à l'orbite. En se reportant aux
3oo
formules (a), page 29 de ce Volume, on pourra écrire comme il suit les équations qui donnent les dérivées des éléments elliptiques :
= 2 -— = h e sin/ H- G — , y i — e- \ f /
da
di - ^ de „ ,
S sin/H- -
. . \ di (2) / — -
/.rcos{f+7n — 9), smt ~ = —
ac y/ ]
Zr sin(/4- CTT —9),
e dzn
i dh
— ^ 2 e sin^- — 4- na^sj i —
2 dt
S cos/h- © ( I
777 = — 2/mS/-H , -77 4-2 v/i —
, + y/, ^2 dt
. ,i dQ ^ 2 dt
Soient ic', /, z' les coordonnées du Soleil, rapportées aux axes mobiles définis plus haut, A et r ses distances à la Lune et à la Terre; on aura
131. Dans l'orbite mobile, Hansen introduit un point X, origine des longi-
tudes {fig. 9), tel que, si l'on pose
NX = (7,
on ait
da
.dQ
-7- = COS l ,
dt dt
l'arc NX n'étant défini que par sa différentielle, a n'est pas entièrement défini mais il le deviendra si l'on s'impose, au début, la condition
Hansen pose
XM = x+/.
On aura
dr/ da c/cr dB dw , ..dB
dt dt dt dt dt ^ ' dt
d'où, en tenant compte de l'expression (2) de ^5
3oi
^^—na^\J\ — e' — S cos/+ S (^i + -^^ sin/J
On voit que l'expression de ^ est plus simple que celle de On sera conduit plus tard à poser (4) sin<sina=7?, sint cosa = ^y.
On en tire, en différentiant et remplaçant par cosî ^)
dp . ( . di . .d9\
-j- = cosi siiio- -y- -+■ coso- sini -7- h dt \ dt dt J
dq .( di . . .de\
— i- = cost coso--; sino- sini -n »
dt \ dt dt J
d'où, à cause des valeurs (2) de et sini ^5
~ Z/. cosi [ sin(/+ C7 — 0) coso- + cos(/+ xn — 9) sin u],
dt y/ 1 —
^ — — '-^^ 7. r cosi [— sin(/H- G? — 0) sino- -h cos(/+ isr — 9) coso-] ; dt ^ I — ^2
mais on a
f +ta5 — 9 = ç — a.
Il vient ainsi simplement
rf n nn
Zrco^i sine,
dp
na
dt
dq
na
Tît
Z/'COS f COS V.
Rappelons encore les formules suivantes qui nous serviront bientôt (t. I, p. 463)
/ d^r dv' if-o} , , ^
où V désigne bien la longitude comptée dans l'orbite mobile, à partir du point X.
132. Hansen considère une ellipse de grandeur et de forme constantes, qu'il fait tourner dans le plan de l'orbite mobile, d'un mouvement uniforme, afin de tenir compte, dès la première approximation, du mouvement moyen du périgée. Soient «o» '^o» l^s éléments rigoureusement constants de cette ellipse : ce seront les valeurs moyennes des éléments variables a, nete; désignons, en outre, par n^y la vitesse angulaire de rotation de l'ellipse, et par tto une constante. A désignant la position occupée à l'époque t par le point le plus voisin de la Terre, on aura
XOA = 710+ «oy^«
Soit M la position correspondante de la Lune; le rayon MO rencontre l'ellipse mobile en N {/ig- lo); Hansen désigne par r et f le rayon ON et l'anomalie
Fig. 10.
vraie AON dans l'ellipse auxiliaire, par /z^s l'anomalie moyenne, et £ l'anomalie excentrique. On aura donc
[ £ — ^0 sins =r /«o ni al = -\-
(7) 1 /• ces/ = ao(cos£ — Co), r sin/ = (7o v^i — e^sins,
[ P =7 + TTo + «oj^ =/+'/.
On voit que, pour le calcul de ç^, on fait porter toutes les perturbations sur l'anomalie moyenne de l'ellipse auxiliaire; z est une fonction de t que nous apprendrons à calculer. On voit aussi que, si v est le même dans les deux orbites, il n'en est pas de même des rayons vecteurs ON et OM. Hansen pose
On va calculer^; on a, d'après la seconde équation (6), quand la force perturbatrice s'annule.
Cette expression convient encore au mouvement troublé; seulement on doit
prendre, les éléments étant devenus variables,
dina^ J I — e'M , ,
(9) ât ^='^(1 + '^)^^'
On a ensuite
iiaP- J i — df df dz
Mais on a aussi
dz
-^df 2 / ?
en
tirant de là ^> et le reportant dans l'équation précédente, il vient
dz nà^ sji — e'^ ( ''\ 7 / ^
^^^^ dt ~ «o«o\/i — el \'' ) v/i^-ëf^^" Or on a
ce qui permet d'écrire
dz na'^Ji — e' r / v y { y r
dt n,als/i-el{ V' + V ) s/i-el\(^o
On élimine r à l'aide de la relation
I e cos/
et l'on pose
et il vient
V/i — e;^ \/ao{i — el)
dt h ho ao i — el h\i-\-vJ ^2 \ao
On fait encore
/ X TÎ7 ^0 h r 1-hecosf hp i — v
(I2) W=— I rH-2-; n--r^ — ^ — ,
3o4 CHAPITRE XVII.
et il vient
ai h \\ + v) \j\ — e\ \f^o
On aurait aussi les formules
{.30 g+-=^fzy=-4-=i+^=,-^w+i^(',+w-^î
^1 d \aj /'(i + -''Y i — 4 \ h
Enfin l'expression de W peut s'écrire, en ayant égard à la troisième des formules (7),
(14) >v — __,^'o I 7 i + gcos(7+^^o.r^ + 7ro-x)
133. La quantité W, définie par la formule (i4), contient le temps L de trois façons : par n^yt, par r et / qui dépendent de z au moyen des relations (7), et par les éléments variables h, e et y^. Pour introduire les composantes de la force perturbatrice, il faudrait remplacer h, e ely^ par leurs valeurs en fonction de t.
Irvaudra mieux calculer —, parce que ce ne sont pas h, e et x qui sont donnés
immédiatement, mais ^ et ^ - Nous formerons ^ ou plutôt sans faire
varier le temps qui figure dans r et / par 2 ; il convient, pour plus de clarté, de remplacer t par t dans r, f et s, qui deviendront ainsi p, 9 et on aura donc
I £0 — eo sinso = Ç,
(15) ' p coscp = «o(COS£o— ^o),
' p sin 9 = «0 V ^ ^0 si" ^0 ;
par ce changement partiel de t en t> W deviendra W, et l'on aura
(16) >v— j ^^0 I - t + gcos(9 + ^or^ + TCo — x)
Si l'on faisait, dans cette expression, t = on retrouverait W. On trouve aisément
ôtl h a/ a,{i-el) J
THÉORIE DE LA LUNE DE HANSEN. 3o5
dans la première partie du second membre, on doit faire varier t seulement dans h, e et '/ , et non dans n^^^yt.
Or, si l'on a égard aux relations suivantes qui découlent des formules (i.'î),
«0 y/i — gp
l'équation (i6) donne
r)W h . - iH- e cosfcg H- /?o r H- TTo — x)
=2-r-e, siiicp ■—
noO^ n, {i — eiy-
d'oii, en vertu de la formule (i6),
âp a
smcp ;
h «0 e sin ( cp + yt 4-^0 — y )
h ciq e sin (y + /Iq 4- ttq — y)
Si l'on tire de là la valeur de e sin(cp + /?o7^ + - /J pour la porter dans
l'expression de on trouve
cm
/* - 1 + e cos(ct + /^, + ttq — D'ailleurs les formules (2), (3), (9) et (i i) donnent
ho
dt
dh
dt ~~
Hz- =r-
de ,
dy , e = na-\
— Scos/ + e(
On en tire aisément
I dhe'bxwy X ( I -h /n ) dt
I dheQ,o%y
T. - ni.
G - e sin x + sin^ S sm/ + " \ 7. — -
+ cosxj^- Scos/+ sin/J,
-S^ecosx+cosx|^S sin/+ ^(^^ -
- sin X S cos/ + G (^i -h ^) sin/J ,
3o6 CHAPITRE XVII
et, en tenant compte de la relation
il vient
cos /',
S cosc 4- G + ~ j (siii/^ cos f-h cosx; siii /),
I dheco^y . / /A
xlTT^ ^?r-" = b sui . + (. (^i + - j (cosx cos/- sin x sin/),
OU, plus simplement,
1 c/Aesin^ x(i + m) dt
I dheco^y
S cos(^ 4- ( i + - ) s sin V,
S sio 4- ( I + - ) Gcos(\
y.{i -\- m) dt En ayant égard aux relations (18) et (19), il vient 1 d
^ i 2 — I + e cos ( 9 H- »o y ^ 4- 77» — y )
m) dt\^ Il
2 p 1 Ao «0(1 — e^)J />
cos(9 4- n^yt 4- tîo)
s sin (^4-^1 -
— S cosp + ■
[A^ /<o «0(1 — e^) J + ^ .„(r-eg) [s sin (7 - ^) 4- (. + ^) cos(7- 9)^ .
Après quoi la formule (17) donne, si l'on tient compte de la relation
x(i + m) =: h'ip,, = lî'p,
^ = 2/iop S sin(/— 9)
